Lezione 11

Finanza matematica - Lezione 11
Il modello di Black & Scholes
1. Formalizzazione del modello
Black & Scholes considerano un mercato caratterizzato da due soli titoli e un derivato:
un’azione o stock il cui prezzo è descritto da un processo di Ito;
un bond il cui prezzo è precisamente dato da =
, con > 0 costante;
un derivato con sottostante , ovvero una funzione di nel tempo:
0
!
(
)
1.1 Replicazione
L’idea di Black & Scholes è di utilizzare i titoli a disposizione, (stock) e (bond), per replicare il derivato ossia per
generare un processo ricchezza, W, tale che alla scadenza di abbia
= ( ). Ovviamente non è detto che sia
possibile creare un portafoglio di replica che riproduce il comportamento del derivato e, se possibile, tale portafoglio
sarà più che altro una strategia, ossia un processo stocastico che prescrive ad ogni istante di tempo come aggiustare la
quota investita in stock e quella in bond. Tuttavia, il prezzo iniziale di tale portafoglio di replica non potrà mai scostarsi
da quello del derivato, altrimenti sarà sempre possibile fare arbitraggi comprando l’uno e vendendo l’altro. Si
unità del titolo rischioso (stock) e unità di
consideri dunque un portafoglio di replica in cui vengono acquistate
bond. Si avrà:
=
+
Secondo l’approccio microeconomico, il vincolo di bilancio di un agente è dato da:
=
−
+
è la ricchezza iniziale,
sono i consumi effettuati,
sono i singoli profitti finanziari dati
dove
dall’investimento nel singolo titolo -esimo, e dunque la sommatoria è la somma dei guadagni o delle perdite
dell’investimento totale. Supponendo consumi 0 otteniamo:
=
+
che può essere riscritta come:
=
+
+
Dato che la definizione microeconomica di ricchezza appena mostrata e quella scritta sopra dovranno essere uguali, si
avrà:
+
da cui eliminando
=
=
+
+
si ottiene la ricchezza in funzione del portafoglio replica:
=
−
+
+
Perché il portafoglio replica equivalga al derivato, vogliamo trovare il parametro
strategia produce sia proprio pari al derivato, ovvero
= ( ).
tale che la ricchezza che questa
Scriviamo una equazione molto semplice di evoluzione del prezzo del bond, ossia:
=
"
Con r costante. Dunque si può riscrivere:
=
(
+
)
−
+
L’idea di Black & Scholes per risolvere il problema è la seguente: si consideri una funzione deterministica #: ℝ& → ℝ,
# ∈ ). Si ha dunque che #(*, ,) dipende da due variabili, che possiamo indicare come * = " e , = . Supponendo
che per questa funzione esista una condizione finale:
#(!, ,) = (,)
allora l’idea di Black & Scholes è di sfruttare l’integrale di Ito:
#(",
) = #(0,
)+
#-
+
in quanto si è visto che 1 , 2 = 1 , 2 = 0 essendo
effettuata tramite un integrale di Ito:
=
+
=
+
#.
+
1
2
#.. 1 , 2
a variazione finita e
3
+
4
continuo. La descrizione di
viene
5 3, 4 > 0
più semplicemente scritta come:
7 con7 = 3" + 45
che tramite la trasformazione di Escher può essere riscritta come la seguente equazione differenziale stocastica:
quindi la funzione #(",
; <=>? @ = A
&
=
) potrà essere riscritta come:
#(",
) = #(0,
= #(0,
)+
)+
+
#-
B;@ = A C <=>?
&
=
#.
1
D#- + #.. 4 &
2
+
&
E
1
2
+
#.. 4 &
#.
&
Notiamo che il termine #. potrebbe interpretarsi come la quantità investita nello stock e il termine # come il valore
della ricchezza risultante. Tuttavia, perché tale interpretazione sia esatta è necessario che si abbia
1
D#- + #.. 4 &
2
&
E
=
F# − #.
G
Per ogni t quasi certamente. E’ facile vedere che questo accade se e solo se vale l’equazione alle derivate parziali:
1
#- + #.. 4 &
2
&
= F# − #.
G
Che è nota in letteratura come la PDE di Black & Scholes. La cosa interessante è che tale PDE è deterministica, non
possiede parti stocastiche. Se questa equazione è soddisfatta, abbiamo allora
#(",
) = #(0,
)+
F# − #.
Che coincide con l’equazione della ricchezza dopo aver sostituito:
#. ( , ) .
G
+
#.
= #. ( ,
Concludendo, considerando una funzione #(*, ,) che soddisfi:
CF)
#(!, ,) = (,)
PDE)
1
#- + #.. 4 & & = F# − #.
2
),
= #( ,
)e
= #( ,
)−
G
allora si può sfruttare la seguente relazione:
H
= #. ( , ) I
= #( , ) − #. ( , )
per determinare un portafoglio che sia una replica del derivato, ovvero tale per cui a scadenza la ricchezza generata
dal porafoglio di replica coincida con quella generata dal derivato. Ne consegue che l’esistenza del portafoglio di
replica è esprimibile come soluzione di una PDE.
Si supponga ora che 4, assunta come costante da Black & Scholes, sia invece una funzione non costante 4(", J ), dove
J è una generica variabile macroeconomica indicativa (ad esempio il PIL). Non è più possibile in questo caso ricavare
la PDE, in quanto non è possibile ricavare una # che risolva la PDE sopra per ogni J , avendo a destra dell’uguale due
variabili mentre a sinistra tre. In quel caso la funzione #(*, ,), dipendente da sole due variabili, dovrebbe essere
estesa a tre variabili, #(*, ,, K), con K = J . Ma in questo caso l’espansione di Ito di # avrà altri termini, in particolare
#L J che non si può interpretare come investimento in un’attività finanziaria, non essendo J un’attività
finanziaria. Ne consegue che non si ha in questo caso la possibilità di replicare il derivato con soli titoli. Si dice in
questo caso che si è in una situazione di mercati incompleti. Tale considerazione è alla base della critica al modello di
Black & Scholes, che proprio per la forte assunzione di volatilità 4 sia costante in genere non funziona. In questo senso
ciò che si cerca di fare da tempo in ambito di ricerca è sostituire J con un altro titolo fortemente correlato a questo,
sperando che tale esista, altrimenti la soluzione non può essere trovata.
1.2 Esemplificazioni
Si consideri una funzione #(*, ,) data da:
per:
#(*, ,) = ,MF (*, ,)G − N
@ ( @-)
MF (*, ,) − 4√! − *G
,
1
ln + B + 4 & C (! − *)
N
2
(*, ,) =
4√! − *
Questa funzione cerca di replicare il comportamento di una opzione call europea. È chiaro che la condizione finale di
questa funzione è rispettata, dato che supponendo che N sia lo strike price di un titolo sottostante:
#(!, ,) = Q(,) = (, − N)<
Infatti nella forma di # che se , > N allora si avrà , − N, altrimenti se , ≤ N allora si avrà 0, ne consegue che in primo
luogo la condizione finale è rispettata. Per dimostrarlo, si calcola quando:
#(*, ,) = ,MF (*, ,)G − N
N
@ ( @-)
MF (*, ,) − 4√! − *G = 0
,MF (*, ,)G
@ ( @-) MF
,
N
(*, ,) − 4√! − *G
( @-)
( @-)<ST
=
.
U
A
V ( @-)<ST .@ BW A @FW@=√ @-G CX
&
In secondo luogo, per calcolare la PDE calcoliamo le derivate di #:
derivata prima rispetto a ,:
#. = M( ) + ,Y( )
.
−N
@ ( @-)
YF − 4√! − *G
.
= M( ) +
= 1
=1
)−N
. Z,Y(
@ ( @-)
YF − 4√! − *G[ = M( )
essendo Z,Y( ) − N @ ( @-) YF − 4√! − *G[ = 0;
derivata seconda rispetto a ,,:
-
#.. = Y( )
.
derivata prima rispetto a *:
-
#- = ,Y( )
=
- Z,Y(
)−N
-
−N
@ ( @-)
YF − 4√! − *G \
YF − 4√! − *G[ − N
= −N
essendo Z,Y( ) − N
@ ( @-)
@ ( @-)
@ ( @-)
-
+
@ ( @-)
DYF − 4√! − *G
4
2√! − *
]−N
@ ( @-)
DYF − 4√! − *G
4
2√! − *
4
MF − 4√! − *G
2√! − *
+ MF − 4√! − *GE
+ MF − 4√! − *GE
YF − 4√! − *G[ = 0.
Ne consegue che dovendo scrivere:
1
#- + #.. 4 &
2
avremo:
1
4,
Y( )
−N
2
√! − *
&
@ ( @-)
,
= F# − #.
G
= (*, ,) − 4√! − *
DY(
&)
√! − *
=N
4
2√! − *
1
4,
Y( )
=N
2
√! − *
Y( )
&
+ M(
@ ( @-)
DY(
&)
@ ( @-)
DY(
&)
& )E
=− N
4
2√! − *
1
√! − *
E
E
@ ( @-)
M(
&)

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