Registro delle lezioni corso di Geometria A

Registro delle lezioni corso di
Geometria A-L a.a. 2014/15
docente Raffaella Paoletti
17 Settembre 2014 [2h]
Presentazione del corso. Vettori applicati: definizione, esempi. Vettori paralleli, congruenti,
equivalenti. Vettori liberi. Somma di vettori, moltiplicazione per uno scalare e relative proprietà.
Esempi svolti.
19 Settembre 2014 [3h]
Definizione ed esempi di spazio vettoriale. Vettori paralleli, complanari, proporzionali.
Combinazioni lineari di vettori. Vettori linearmente dipendenti/indipendenti. Esempi svolti.
24 Settembre 2014 [2h]
Dipendenza/indipendenza lineare per due o tre vettori. Sottospazio vettoriale di V_0 generato da un
vettore o da due vettori. Generatori, basi e coordinate. Definizione di sottospazio vettoriale, spazio
generato, sistema di generatori, base e coordinate. Esempi svolti.
Esercizi: Esercizi n.1 dal sito web e nn.1.1, 1.2, 1.4, 1.8 pag.24 Eserciziario
26 Settembre 2014
[3h]
Descrizione di un vettore attraverso un sistema di generatori e attraverso una base. Coordinate di un
vettore. Esempi svolti. Prodotto scalare: definizione, proprietà, interpretazione geometrica. Angolo
formato da due vettori e norma di un vettore attraverso il prodotto scalare. Proiezione di un vettore
su un altro vettore. Esempi svolti. Basi ortogonali e ortonormali. Relativa espressione del prodotto
scalare. Esempi svolti.
I° Ottobre 2014
[2h]
Orientazione su una retta, su un piano e nello spazio. Basi ortonormali positivamente orientate.
Prodotto vettoriale: definizione, proprietà, interpretazione geometrica. Esempi svolti. Applicazioni
del prodotto scalare e del prodotto vettoriale. Simmetrico di un vettore rispetto ad un altro vettore.
Esempi svolti.
Esercizi: Esercizi n.2 dal sito web e nn.1.3, 1.5-1.7, 1.12-1.17, 1.19 pag.24 Eserciziario
3 Ottobre 2014
[3h]
Proiezione di un vettore su un piano e simmetrico di un vettore rispetto ad un piano. Esempi svolti.
Spazio vettoriale R^2: struttura di spazio vettoriale, isomorfismo con lo spazio dei vettori di un
piano, prodotto scalare e applicazioni. Esempi. Spazio vettoriale R^n. Basi e base canonica.
Prodotto scalare e applicazioni. Esempi svolti.
Esercizi: completare cap.I Eserciziario
8 Ottobre 2014
[2h]
Forma cartesiana e forma parametrica di un sottospazio vettoriale di R^n. Passaggio dall'una
all'altra. Esempi svolti. Ortogonale di un vettore e ortogonale ad un ssv di R^n: definizione,
dimensione, costruzione. Esempi svolti.
Esercizi: Esercizi n.3a dal sito web e nn.4.1, 4.2, 4.5-4.7, 4.18-4.21, 4.24 pag.132 Eserciziario
10 Ottobre 2014
[3h]
Intersezione di ssv di R^n. Esempi svolti. Esercizi di riepilogo sui svv di R^n. Spazio R_n[x] e suoi
ssv. Esercizi svolti. Matrici: definizione, matrici di forma speciale, traccia e trasposta. Somma,
moltiplicazione per uno scalare. Spazio vettoriale delle matrici di forma fissata. Basi e ssv. Esercizi
svolti.
Esercizi: Esercizi n.3b dal sito web nn.3.17-3.27 e nn.4.3, 4.4, 4.8-4.10, 4.22, 4.26 pag.132
Eserciziario
15 Ottobre 2014
[2h]
Moltiplicazione di matrici: definizione, principali proprietà. Esempi svolti. Determinante di matrici
quadrate: calcolo con lo sviluppo di Laplace, principali proprietà, esempi svolti. Significato
geometrico. Esempi svolti. Determinante di matrici con parametro. Regola di Sarrus per matrici di
ordine 3. Esempi svolti.
Esercizi: Esercizi n.3b dal sito web nn.3.28-3.34 e nn. 2.5-2.8, 2.13, 2.15-2.16, 2.21-2.23 da
pag.47 Eserciziario
17 Ottobre 2014
[3h]
Caratteristica di una matrice: definizione e calcolo partendo dai minori di ordine massimo o con il
metodo degli orlati. Esempi svolti. Rango di una matrice: definizione ed equivalenza con la
caratteristica. Metodo di riduzione a scala di Gauss. Esempi svolti. Calcolo del rango di matrici con
parametro. Applicazioni del rango. Esercizi di riepilogo.
Calcolo del prodotto vettoriale e del doppio prodotto misto di vettori di R^3 con l'ausilio del
determinante.
Esercizi: Esercizi n.3b dal sito web nn.3.35-3.36 e Esercizi n.4 dal sito web nn.4.1-4.12 e 2.17,
2.18, 2.26-2.35 pag.49 Eserciziario
22 Ottobre 2014
[2h]
Sistemi lineari: definizione, soluzione; sistemi omogenei. Teorema di RouchèCapelli e Teorema di
struttura delle soluzioni. Sistemi equivalenti ottenuti con la riduzione di Gauss. Esempi svolti.
Sistemi con parametro. Esempi svolti.
Esercizi: Esercizi n.4 dal sito web nn.4.13 e nn. 3.1-3.20, 3.33, 3.36 da pag.94 Eserciziario
24 Ottobre 2014
[3h]
Sistemi lineari risolubili con il metodo di Cramer. Generalizzazione a sistemi non quadrati.
Discussione e risoluzione di sistemi parametrici. Esempi svolti. Esercizi di riepilogo.
Esercizi: Esercizi n.4 dal sito web nn.4.16 – 4.24 e nn. 3.26-3.32, 3.34, 3.35, 3.37-3.44 da
pag.96 Eserciziario
29 Ottobre 2014
[2h]
Sottospazi affini di spazi vettoriali: definizione, giacitura e dimensione, rappresentazione cartesiana
e parametrica. Esempi. Equazione di una retta nel piano: forma parametrica e forma cartesiana,
vettore direttore e vettore normale, significato dei coefficienti dell'equazione. Rette parallele, rette
ortogonali, fascio di rette per un punto. Esercizi svolti.
Esercizi: dal capitolo 6 pag.209 Eserciziario
31 Ottobre 2014
[3h]
Equazione parametrica della retta nello spazio; vettore direttore. Equazione cartesiana di un piano
nello spazio: giacitura, passaggio per un punto, vettore normale, significato geometrico dei
coefficienti dell'equazione. Esercizi svolti. Condizioni di parallelismo e ortogonalità fra due piani e
fra un piano ed una retta. Esercizi svolti. Equazione cartesiana di una retta nello spazio e suo vettore
direttore. Esercizi svolti.
Esercizi: dal capitolo 7 pag.251 Eserciziario
7 Novembre 2014 [3h]
Fasci proprio/improprio di piani: definizione, equazioni e utilizzo negli esercizi. Posizioni
reciproche di due rette nel piano e di due rette o due piani o un piano e una retta nello spazio.
Esercizi: dal capitolo 7 pag.251 Eserciziario
14 Novembre 2014 [3h]
Concetto di distanza. Distanze nel piano: fra due punti, fra un punto ed una retta, fra due rette.
Distanze nello spazio: fra due punti, fra un punto ed un piano, fra una retta ed un piano, fra due
piani, fra un punto ed una retta. Distanza fra due rette nello spazio. Retta di minima distanza per due
rette sghembe. Esempi svolti.
Esercizi: dal capitolo 7 pag.251 Eserciziario
19 Novembre 2014 [2h]
Angolo formato fra due rette, due piani, un piano e una retta.
Applicazioni lineari: definizione, proprietà principali. Esempi di applicazioni lineari. Unicità
dell'applicazione lineare definita sui vettori di una base. Nucleo e immagine come ssv e Teorema di
nullità più rango. Iniettività e suriettività. Esercizi svolti.
Esercizi: dal capitolo 5 pag.181 Eserciziario: nn. 5.1-5.9, 5.16-5.19
21 Novembre 2014 [3h]
Matrice associata ad una applicazione lineare. Applicazioni nel calcolo delle dimensioni di nucleo e
immagine, nella ricerca di basi di nucleo e immagine. Matrici associate alla somma, prodotto per
uno scalare, composizione di funzioni. Matrice associata all'applicazione inversa. Esempi svolti.
Esercizi: dal capitolo 5 pag.182 Eserciziario: nn. 5.21 e dal sito web.
26 Novembre 2014 [2h]
Endomorfismi diagonalizzabili: definizione, esempi. Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio
caratteristico e ricerca di autovettori. Esempi svolti.
Esercizi: dal capitolo 5 pag.182 Eserciziario: nn. 5.23, 5.26, 5.28, 5.30, 5.31, 5.33, 5.34
28 Novembre 2014 [3h]
Molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Condizioni necessarie e sufficienti per la
diagonalizzazione. Teorema spettrale. Diagonalizzazione di matrici con parametro. Esempi svolti.
3 Dicembre 2014
[2h]
Iperbole: definizione, equazione canonica, elementi notevoli, proprietà geometriche.
Le coniche in forma generale: intersezione di un cono con un piano; polinomio e matrice associata.
Classificazione affine. Coniche degeneri. Esercizi svolti.
5 Dicembre 2014
[3h]
Polarità indotta da una conica non degenere. Retta tangente ad una conica in un suo punto. Centro,
assi e vertici di una conica in forma generale. Riduzione a forma canonica. Esempi svolti.

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