capitolo 5

INTRODUZIONE ALLA DINAMICA
DI INQUINANTI NELLA
SINGOLA FASE FLUIDA
DINAMICA di inquinante nella singola fase
=
TRASPORTO + REAZIONI CHIMICHE
tenendo conto di eventuali condizioni “aggiuntive”:
- produzione diretta (source) / scomparsa diretta (sink) di specie nella fase
- trasferimento della specie da/a altre fasi attraverso le interfacce
Opereremo nello spazio Cartesiano tridimensionale.
Punto in coordinate Cartesiane rispetto ad un sistema di assi fisso:
r = ( x, y , z )
Vettore. Un generico vettore, scritto con notazione “bold”, ad es. a,
possiede tre componenti organizzate in colonna (matrice 3 × 1):
 ax 
a = a y 
 
 az 
Il prodotto scalare tra due vettori a e b è definito come:
bx 
a ⋅ b =  ax a y az  by  = axbx + a y by + a z bz
 
bz 
L’operazione è intesa come prodotto matriciale riga-per-colonna e il
simbolo “•” indica che il vettore che lo precede deve essere
rappresentato come trasposto, cioè come riga (matrice 1×3).
Geometricamente, il valore del prodotto scalare dà a × b × cos θ ab con
a e b i moduli dei vettori (loro lunghezze) e θ ab l’angolo compreso
tra essi; se i vettori sono paralleli il prodotto scalare è massimo (in
valore assoluto), se sono ortogonali è nullo.
a
θ ab
b
Operatore gradiente (con componenti disposte in colonna), ∇
E’ un operatore differenziale che si applica a funzioni del punto e
genera un vettore:
 ∂f ( x, y, z ) 


∂
x


 ∂f ( x, y, z ) 

∇f (r) ≡ 
∂y




 ∂f ( x, y, z ) 


∂z


Se la funzione è costante in ogni punto, f(r) = cost.,
allora il gradiente è nullo. Funzioni (continue) il cui
valore cambia rapidamente nello spazio hanno
componenti elevate del gradiente
Operatore divergenza, ∇ ⋅
E’ un operatore differenziale che si applica a vettori e genera uno
scalare, cioè una singola funzione del punto:
∂a y ( x, y, z ) ∂az ( x, y, z )
∂
a
(
x
,
y
,
z
)
x
∇⋅ a(r) =
+
+
∂x
∂y
∂z
Versore: un vettore di modulo unitario. Sarà indicato con il
cappelletto “^”, ad esempio uˆ . Specifica una direzione/verso con
riferimento alla terna degli assi Cartesiani scelta:
Le componenti u x = uˆ ⋅ xˆ , u y = uˆ ⋅ yˆ , u z = uˆ ⋅ zˆ sono le
proiezioni di uˆ sugli assi del sistema di riferimento (i
“coseni direttori” del versore uˆ ),
Dato un vettore a e un versore uˆ , il prodotto scalare a ⋅ uˆ dà la proiezione
di a sull’asse orientato specificato dal versore.
Matrici 3×
×3 (anch’esse scritte con notazione “bold”)
M
 xx

M =  M yx

M
 zx
M xy M xz 


M yy M yz 
M zy

M zz 
Meccanismi di trasporto
fase fluida = mezzo di trasporto dell’inquinante
flusso medio(1) del mezzo
ADVECTION
(ADVEZIONE)
di inquinante
altra fase
(1) linee di flusso medie
moto locale (2) (rispetto alla direzione media)
DISPERSIONE/DIFFUSIONE
di inquinante
persistenti (cioè variabili su
scale spaziali e/o temporali
ampie; es. vento medio)
(2) linee di flusso mutevoli
(cioè rapidamente variabili su
scale spaziali e/o temporali
ridotte), oppure moto proprio
delle molecole di inquinante
ADVECTION
E’ il trasporto di inquinante che viene “trascinato” dal flusso del
mezzo fluido in cui si trova. Il processo consente di trasportare la
specie su lunghe distanze.
Ad esempio, l’advection può essere determinata da scorrimento di
masse d’acqua che scendono per gravità (es. un fiume che scorre nel
proprio alveo) o da correnti generate da gradienti di densità del
mezzo dovuti a inomogeneità di temperatura (moti convettivi).
L’advection è regolata dal campo di velocità del fluido, u(r,t), che è
definito in ogni punto della regione ed è generalmente dipendente dal
tempo (es. un vento che cambia di velocità nel corso della giornata…)
u x (r, t ) 
u(r, t ) = u y (r, t ) 


u z (r, t ) 
DISPERSIONE
E’ il meccanismo di trasporto locale di inquinante, dovuto a
spostamento di porzioni di fluido relativamente al flusso medio,
oppure per moto proprio delle singole molecole della specie.
Rispetto all’advection, consente di coprire brevi distanze a parità di
tempo (processo locale)
Nella categoria della dispersione sono inclusi diversi meccanismi:
- dispersione per scorrimento (shear)
- per turbolenza
- idrodinamica
- moto molecolare (diffusione)
Dispersione per scorrimento (“shear”): il campo di velocità u(r,t) del
mezzo presenta dei gradienti locali, cioè la velocità del fluido in punti
vicinali ha diverso modulo e/o direzione.
Le molecole di inquinante, seguendo diverse linee di flusso, vengono
disperse. Ad esempio, si osserva alla foce di fiumi.
Metafora della nuvola (acqua condensata) che
viene disgregata per dispersione delle linee di
flusso dell’aria…
Dispersione turbolenta o vorticosa (“eddy diffusion”): si verifica
quando la struttura regolare delle linee di flusso viene persa a causa
della formazione di vortici. Fenomeno frequente nella bassa atmosfera
e in ampie masse d’acqua (es. oceani).
Dispersione idrodinamica: si osserva quando il mezzo fluisce
attraverso un materiale inomogeneo con canali tali da indurre
mescolamento. Ad esempio, flusso di acqua sotterranea attraverso uno
strato argilloso.
Diffusione molecolare: trasporto che avviene per moto proprio delle
singole molecole della specie nel mezzo fluido che la ospita.
E’ un processo che avviene anche se il mezzo è in quiete, ed è
rilevante proprio in tale limite (altrimenti i processi di dispersione
sono dominanti). Ad esempio, diffusione dell’aroma da un
profumatore di ambienti in una stanza chiusa e a temperatura
omogenea. Ricordiamo la diffusione negli strati stagnanti in
prossimità dell’interfaccia con un’altra fase (qui la fase-mezzo è in
quiete).
In un fluido omogeneo, la
diffusione tende a rimuovere i
gradienti di concentrazione
della specie chimica fino ad
equalizzarne la concentrazione in
ogni punto della regione.
Ricordiamo l’obiettivo generale: data la regione “di controllo” (di
indagine), determinare l’evoluzione della concentrazione di
inquinante nel tempo t in ogni punto r.
La regione viene suddivisa
in “cellette”, ognuna centrata
in un dato punto r.
c(r, t ) = ?
Il profilo (campo) di concentrazione
evolve a causa di tutti i processi
dinamici.
Obiettivo: determinarne l’evoluzione
a partire da un profilo iniziale noto.
L’equazione ADR (“Advection-Diffusion-Reaction”)
Suddividiamo la regione di spazio sotto indagine (“regione di
controllo”), di volume V, in piccoli elementi di volume ∆V (“cellette”)
La generica celletta sia centrata sul punto r = (x, y, z); le coordinate
sono riferite ad un sistema di assi fisso:
Ogni celletta deve essere sufficientemente piccola tale che, al suo
interno, l’inquinante sia distribuito omogeneamente e sia possibile
definirne la concentrazione volumetrica ad ogni istante: c(r,t).
Concentrazioni a due istanti successivi: c(r,t) e c(r, t+∆t)
Bilancio di materia per la specie:
∆m = ∆V × [c(r, t + ∆t ) − c(r, t )] = variazione di massa in ∆V nel tempo ∆t
Per ∆t → 0 possiamo adottare lo sviluppo al primo ordine:
c(r, t + ∆t ) ≃ c(r, t ) + ∆t ∂c(r, t ) / ∂t
∆m
∆V × ∂c(r, t ) =
∂t
∆t
= tasso di variazione di massa in ∆V
∂c(r, t ) ≡ tasso di variazione di massa in ∆V
∆V
∂t
Abbiamo attribuito un significato fisico alla derivata parziale ∂c(r, t )
∂t
In ogni celletta della regione di controllo:
∂c(r, t ) ≡ tasso di variazione di massa in ∆V
∆V
∂t
Il 1° membro della
equazione ADR
Ciò che segue consiste nel tradurre in termini matematici il
concetto di “tasso di variazione di massa in ∆V diviso per il volume
della celletta” sulla base di ogni processo dinamico che può
contribuire.
costruire il 2° membro dell’equazione ADR.
Due tipi di processi concorrono indipendentemente alla variazione
della quantità di specie nella singola celletta (che è fissa nello spazio)
Processi interni nella celletta:
- reazioni chimiche/degrado biologico della specie
- generici atti diretti di produzione (source) e smaltimento (sink)
Processi di flusso (trasporto) attraverso la celletta:
- fluidodinamica (advection/dispersione)
- diffusione molecolare
∂c(r, t ) =  ∂c(r, t ) 
+


∂t
 ∂t flusso
 ∂c(r, t ) 


∂
t

proc.
interni
Processi interni
 ∂c(r, t ) 


∂
t

proc.
interni
= R[c(r, t )] + S (r, t )
contributo di processi “reattivi”
in senso ampio
contributo di processi source/sink
R[c(r, t )] ∆V ∆t = contributo a ∆m dovuto a processi reattivi
nel volume ∆V e nel tempo ∆t
La dimensione fisica di R[c(r, t )] è quella della velocità di una reazione
chimica, quindi M L-3 T-1 (ad es. moli litro-1 s-1).
La forma specifica di R[c(r, t )] è data dalla legge cinetica della reazione.
Ad es., se la specie viene consumata con una cinetica del 1° ordine
allora R[c(r, t )] ≡ −kRc(r, t. )
Il termine di source/sink, S(r, t), è tale che
S (r, t ) ∆V ∆t = contributo a ∆m dovuto a immissione/sottrazione
diretta di specie nel volume ∆V e nel tempo ∆t
Per “immissione” (source) si intende proprio l’atto di inquinamento,
cioè l’introduzione diretta di inquinante: in una o più zone all’interno
della regione di controllo possono esserci delle sorgenti che immettono
la specie in esame. Ad es., un fusto di inquinante volatile aperto
all’atmosfera.
Se l’immissione interessa anche la celletta centrata in r, il tasso di
immissione locale sarà S(r,t) > 0, eventualmente dipendente dal tempo.
Per “sottrazione” (sink), corrispondente a S(r,t) < 0, si intendono
generici processi di smaltimento (“abbattimento” diretto) della
specie dalla fase in esame.
Attenzione a distinguere correttamente processi reattivi e processi
di source/sink!
R[c(r, t )] dipende dalla concentrazione locale della specie (attraverso la
specifica legge cinetica della reazione), mentre il termine S (r, t ) è
indipendente da essa (è regolato solo da fattori esterni).
[Nota tecnica: di fatto, i termini di source/sink corrispondono a
processi irreversibili di produzione/decadimento con legge cinetica di
ordine zero!]
Qualche esempio di processi di source/sink?
Processi di flusso
Introduciamo il vettore flusso di materia (della specie in esame):
 J (r, t ) 
 x

J(r, t ) =  J y (r, t ) 


 J z (r, t ) 


Direzione/verso di J(r,t) sono gli stessi del moto medio della specie
nel punto r al tempo t
Il modulo |J(r,t)| è determinato considerando una superficie
infinitesima di area ∆A⊥ , contenente il punto r e ortogonale al moto
della specie, e valutando la quantità di materia ∆m (massa) di specie
che transita attraverso tale superficie nel tempo ∆t :
| J(r, t )|=
∆m
∆A⊥ ×∆t
|J(r,t)| dà la quantità di specie che transita attraverso l’unità di
superficie ortogonale alla direzione del moto, nell’unità di tempo.
La dimensione fisica del flusso è M L-2 T-1 .
Passiamo ad una superficie infinitesima di area ∆A orientata non
ortogonalmente al moto. Indichiamo con sˆ il versore ortogonale a tale
superficie nel punto r.
Dato il flusso J(r,t) , vale che J(r, t ) ⋅ sˆ ×∆A × ∆t = ∆m con ∆m la
quantità di materia che ha attraversato la superficie nel tempo ∆t :
J (r, t ) ⋅ sˆ ×∆A = ∆m / ∆t : tasso di trasferimento di massa
attraverso la superficie
Consideriamo la celletta a forma di parallelepipedo centrata nel punto
r = (x, y, z), e valutiamo il flusso totale di materia attraverso le
facce che la delimitano.
Direzione dei versori ortogonali alle facce: uscenti dalla cella
Dati i versori degli assi del sistema di riferimento ( xˆ , yˆ , zˆ ), abbiamo 6
casi: sˆ ≡ ± xˆ , sˆ ≡ ± yˆ , sˆ ≡ ± zˆ
6
∑ J i ⋅ sˆi ∆Ai =
( ∆m )uscente
i =1
dalla cella
∆t
∆m
=−
∆t
area della
faccia i-esima
normale uscente
dalla faccia i-esima
flusso valutato (al tempo t)
nel centro della faccia i-esima
zˆ
yˆ
xˆ
Esempio per le due facce ortogonali all’asse-x :
Consideriamo il contributo del flusso attraverso tutte le facce
(attenzione ai segni!):
∆m
=
∆t
∆V ×  ∂c(r, t ) 
= −  J x ( x + ∆x / 2, y, z, t ) − J x ( x − ∆x / 2, y, z, t )  ∆y∆z
 ∂t
flusso
−  J y ( x, y + ∆y / 2, z, t ) − J y ( x, y − ∆y / 2, z, t )  ∆x∆z
variazione netta di
−  J z ( x, y, z + ∆z / 2, t ) − J z ( x, y, z − ∆z / 2, t )  ∆x∆y
massa (della specie)
nella celletta,
∂J ( x, y, z, t )
∂J ( x, y, z, t )
nel tempo ∆t
=− x
∆x∆y∆z − y
∆y∆x∆z
∂x
∂y
∂J ( x, y, z, t )
− z
∆z∆x∆y
∂z


≡ −∇⋅ J(r, t ) ∆V
divergenza
 ∂c(r, t ) 


t
∂

flusso
= −∇⋅ J(r, t )
Considerando dinamica del fluido e diffusione molecolare come processi
indipendenti l’uno dall’altro, i loro contributi al flusso si sovrappongono:
J(r, t ) = J(r, t )Fluidodinamica + J(r, t )Diffusione
 ∂c(r, t ) 
 ∂c(r, t ) 
 ∂c(r, t ) 
=
+
 ∂t 





flusso  ∂t Fluidodinamica  ∂t Diffusione
 ∂c(r, t ) 


 ∂t
Fluidodinamica
 ∂c(r, t ) 


 ∂t
Diffusione
= −∇⋅ J(r, t )Fluidodinamica
= −∇⋅ J(r, t )Diffusione
Per procedere occorre dare una forma esplicita ai flussi !
Flusso (di specie) per dinamica del mezzo
La specie si sposta solidale con il fluido, il quale si muove con la
propria dinamica. Quindi il moto della specie è il moto del fluido :
J(r, t )Fluidodin. ≡ u(r, t ) c(r, t )
velocità del fluido
Infatti:
| J(r, t )Fluidodin. | ∆A⊥ ∆t = | u(r, t )| ∆t ∆A⊥ × c(r, t )
= (∆V )trasf. × c(r, t ) ≡ (∆m)trasf.
con (∆V )trasf. il volume di fluido transitato attraverso la sezione
trasversale ∆A⊥ , e (∆m)trasf. la quantità di specie “trascinata” da esso.
 ∂c(r, t ) 
= −∇⋅ J(r, t )Fluidodin. = −∇⋅[u(r, t )c(r, t )]


 ∂t
Fluidodin.
Applicando la regola di derivazione di un prodotto di funzioni:
 ∂c(r, t ) 
= −  c(r, t )∇⋅ u(r, t ) + u(r, t ) ⋅∇c(r, t ) 


 ∂t
Fluidodin.
L’espressione si semplifica assumendo fluido incomprimibile:
∇⋅ u(r, t ) = 0
(fluidi incomprimibili)
[L’origine di questa condizione matematica sarà chiarita nel capitolo
dedicato alla fluidodinamica.] L’assunzione è ammissibile per i liquidi,
ma è spesso applicata anche all’aria. Segue:
−∇⋅ J(r, t )Fluidodin. ≃ −u(r, t ) ⋅∇c(r, t )
Il contributo di tipo fluidodinamico è interamente determinato se
viene fornito il profilo del campo di velocità del fluido di trasporto,
u(r,t), nello spazio e nel tempo.
Equazioni della
fluidodinamica
(Navier-Stokes)
u(r, t )
L’impossibilità pratica di trattare numericamente le evoluzioni locali
e rapide impone di trattare separatamente, e in modo statistico, i
fenomeni di dispersione dai moti su ampia scala (advection).
u(r, t )
u (r, t )
Flusso medio da
Navier-Stokes
a “grana grossa”
Advection
δu
fast
(r, t )
Fluttuazioni rapide
rispetto al
flusso medio
Dispersione
Procediamo affrontando i meccanismi del trasporto locale:
1) Moto molecolare per diffusione (propriamente detta);
2) Diffusione vorticosa in regime di moto turbolento del fluido di
trasporto;
3) Dispersione idrodinamica in materiali inomogenei.
Obiettivo: Dare una forma ai contributi dinamici “locali”
 ∂c(r, t ) 
= −∇⋅[u (r, t )c(r, t )]


 ∂t flusso
Advection dovuta al flusso
“medio” (da definire!)
 ∂c(r, t ) 
+

 ∂t loc.
diffusione
molecolare
dispersione
idrodinamica
“diffusione”
turbolenta

Download Report