Il libro degli e/orrori

Il libro degli e/orrori
Alessandro Allegri
6 aprile 2014
Indice
1
2
Calcolo numerico
1.1 Potenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Errato elevamento al cubo . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Errato quadrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Errata moltiplicazione di frazione per intero
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Calcolo letterale
2.1 Calcolo di base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Confusione tra prodotto e potenza . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Parentesi mancanti in prodotti multipli . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Errore di calcolo nella potenza del monomio . . . . . . . . .
2.1.4 Errato esponente in somme di monomi simili . . . . . . . .
2.1.5 Elisione tra fattori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.6 Semplificazioni tra addendi di fattori diversi . . . . . . . . .
2.2 Prodotti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Doppi prodotti mancanti in quadrati di polinomi . . . . . .
2.2.2 Segno errato nei termini elevati al quadrato . . . . . . . . . .
2.2.3 Errato segno in somma per differenza . . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Differenza di cubi e cubo della differenza . . . . . . . . . . .
2.2.5 Prodotti misti mancanti in potenze del binomio . . . . . .
2.2.6 Errata costruzione prodotti misti in cubo binomio . . . . .
2.2.7 Errato segno in sottrazione prodotti notevoli . . . . . . . .
2.2.8 Errato svolgimento del prodotto di somma per differenza
2.2.9 Doppie somme invece che doppi prodotti . . . . . . . . . . .
2.2.10 Errato sviluppo somma per differenza con termini binomi
2.2.11 Errato sviluppo potenza binomio con triangolo di Tartaglia
2.2.12 Errore di segno nei doppi prodotti con doppio segno meno
2.2.13 Doppi prodotti in somma per differenza . . . . . . . . . . . .
2.2.14 Errori potenze in binomio per falso quadrato . . . . . . . .
2.3 Scomposizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Errato esponente letterale dopo raccoglimento . . . . . . .
2.3.2 Raccoglimento a fattor comune mancante o incompleto .
2.3.3 Errato raccoglimento coefficiente numerico frazionario .
1
4
4
4
4
4
6
6
6
6
6
7
7
7
8
8
8
9
9
10
10
11
11
11
12
12
13
13
13
14
14
14
14
2.3.4
2.3.5
Errato segno in raccoglimento fattore binomio . . . . . . .
Parentesi mancante in raccoglimento binomio . . . . . . . .
2
15
15
Introduzione
Questo documento contiene un campionario di errori rilevati durante lo svolgimento delle verifiche di matematica, nel tentativo di favorire un recupero puntuale
sulle cause degli stessi.
Sono qui ovviamente esclusi gli errori di distrazione.
I riferimenti a parti del programma da ripassare per meglio comprendere gli
errori sono segnalati in grassetto.
3
Capitolo 1
Calcolo numerico
1.1
1.1.1
Potenze
Errato elevamento al cubo
Errore tipico: 33 = 9.
Espressione corretta: 33 = 27.
Spiegazione: l’elevamento al cubo, o alla terza potenza, implica una moltiplicazione ripetuta tre volte: nel nostro caso 3 · 3 · 3 = 27.
1.1.2
Errato quadrato
2
1
1
= .
3
6
2
1
1
Espressione corretta: 32 = 9,
= .
3
9
Errore tipico: 32 = 6,
Spiegazione: non bisogna confondere la potenza con la moltiplicazione. 3·2 = 6,
mentre 32 = 3 · 3 = 9.
1.1.3
Errata moltiplicazione di frazione per intero
Errore tipico:
5
10
·2= .
3
6
Espressione corretta:
5
10
·2= .
3
3
Spiegazione: l’errore viene dal non considerare l’intero come una frazione, o
nell’errata traduzione dell’intero in una frazione. Un numero intero può
essere rappresentato come una frazione che ha il numero stesso a nume2
ratore, mentre a denominatore l’unità. Perciò, ad esempio, 2 = , oppure
1
4
−3
. Pertanto, la moltiplicazione per un intero deve essere vista come
1
una moltiplicazione tra frazioni:
−3 =
5
5 2 5 · 2 10
·2= · =
=
3
3 1 3·1
3
5
Capitolo 2
Calcolo letterale
2.1
2.1.1
Calcolo di base
Confusione tra prodotto e potenza
Errore tipico: 2 · x · 3 = 3x 2 .
Errore tipico: 2 · x · 3 = 9x.
Espressione corretta: 2 · x · 3 = 6x
Spiegazione: l’errore, specialmente in occasione del calcolo dei “doppi prodotti”
nei quadrati di binomio o di trinomio, ha origine nel fatto che non si è
ben capito che per “doppio” si intende una moltiplicazione per due e non
un elevamento a potenza.
2.1.2
Parentesi mancanti in prodotti multipli
Errore tipico: (x + a) (x − 2a) (x + 3a) = x 2 − 2a x + a x − 2a 2 (x + 3a).
Espressione corretta: (x + a) (x − 2a) (x + 3a) = x 2 − 2a x + a x − 2a 2 (x + 3a).
Spiegazione: la moltiplicazione è un’operazione tra due fattori; qualora vi siano
più di due fattori, bisogna svolgere l’operazione tra due di essi, poi moltiplicare il risultato per il terzo fattore eccetera. Nell’esempio, quindi, sono
necessarie le parentesi intorno al primo risultato per indicare che è questo
il primo fattore della nuova moltiplicazione con il fattore rimanente. Non
mettendo le parentesi, la scrittura sembrerebbe invece implicare che sia il
solo ultimo addendo del risultato (2a 2 ) a dover essere moltiplicato per il
fattore ancora non utilizzato (x + 3a).
2.1.3
Errore di calcolo nella potenza del monomio
Errore tipico: (3x y)2 = 9x 2 y.
6
Espressione corretta: (3x y)2 = 9x 2 y 2 .
Spiegazione: la potenza del monomio richiede che si elevi a potenza sia la parte
numerica (32 = 9), ma anche la parte letterale: (x y)2 = x 2 y 2 . In altre parole,
la potenza si distribuisce su tutti i fattori presenti nel monomio, siano essi
numerici o letterali.
2.1.4
Errato esponente in somme di monomi simili
Errore tipico: x 2 + x 2 = x 4 .
Espressione corretta: x 2 + x 2 = 2x 2 .
Spiegazione: la somma algebrica di monomi si può operare solo tra monomi
simili, e ha come risultato un monomio simile agli operandi. Mantenendo
gli stessi operandi, il risultato x 4 può essere il risultato della loro moltiplicazione, certamente non della loro somma. Così come a + a = 2 · a, anche
con monomi (simili) dotati di parti letterali con esponenti maggiori di 1 la
somma viene calcolata nello stesso modo: x 5 + x 5 = 2 · x 5 = 2x 5 .
2.1.5
Elisione tra fattori
2
+x2 − 2y .
−x
+ 2y Errore tipico: Espressione corretta: −x 2 + 2y +x 2 − 2y = −x 4 + 4x 2 y − 4y 2 .
Spiegazione: l’elisione, cioè la cancellazione di monomi opposti (stessa parte letterale, parte numerica identica, segno opposto), è possibile quando l’operazione tra i due opposti dà effettivamente il monomio nullo, cioè quando
i monomi opposti sono sommati. Quando i monomi opposti sono invece
moltiplicati, come nel caso in esempio, il loro prodotto è il quadrato di uno
dei monomi opposti, con segno negativo.
2.1.6
Semplificazioni tra addendi di fattori diversi

1
4
Errore tipico:
x + 3 y 2 x − y
2
3

1
4
1
1 42
4
Espressione corretta:
x + 3y 2x − y = 2 x 2 −
x y + 6x y − 3 y 2
2
3
2
2 3
3

Spiegazione: la semplificazione tra fattori a numeratore e a denominatore è un’operazione importante che è bene svolgere appena possibile. Nel caso in
esempio, tuttavia, si ha un prodotto di due binomi: in questo caso, ognuno
dei due termini del primo binomio deve essere moltiplicato per ognuno dei
7
termini del secondo binomio. Come si vede dallo sviluppo della moltiplicazione, nella espressione corretta, non tutte queste moltiplicazioni consentono una semplificazione. Per questo, la semplificazione dev’essere posposta alla moltiplicazione dei due binomi, per operarla solo sui prodotti che
effettivamente consentono una semplificazione.
2.2
2.2.1
Prodotti notevoli
Doppi prodotti mancanti in quadrati di polinomi
Errore tipico: (x + a)2 = x 2 + a 2 .
Espressione corretta: (x + a)2 = x 2 + a 2 + 2a x.
Errore tipico: (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 .
Espressione corretta: (a + b + c)2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2a b + 2b c + 2ac.
Spiegazione: in qualunque situazione si trovi il quadrato di un’espressione contenente la somma di due termini (=“binomio”), è necessario tenere in considerazione i prodotti misti: quelli cioè che derivano dal prodotto incrociato.
Svolgendo il quadrato come moltiplicazione ripetuta si ottiene che
(x + a) (x + a) = x x + xa + a x + aa = x 2 + 2a x + a 2
Il doppio prodotto, in sostanza, appare sempre qualora vi sia il quadrato di
un binomio, in qualunque espressione esso appaia.
Lo stesso vale per qualunque altro polinomio (trinomio, quadrinomio, ecc.)
elevato al quadrato: sviluppando ad esempio il quadrato del trinomio in
esempio come (a + b + c)2 = (a + b + c) (a + b + c), ossia come una moltiplicazione del polinomio per se stesso, è evidente che vi sia da considerare
anche tutti i prodotti misti ottenuti per combinazione dei termini differenti, ciascuno contato due volte per la proprietà commutativa della moltiplicazione: ac + ca = ac + ac = 2ac.
2.2.2
Segno errato nei termini elevati al quadrato
Errore tipico: (x − y)2 = x 2 − 2x y − y 2 .
Espressione corretta: (x − y)2 = x 2 − 2x y + y 2 .
Spiegazione: il quadrato di binomio è il prodotto notevole che si ottiene quando un binomio viene moltiplicato per un altro binomio identico. I termini quadratici sono quelli che provengono dalla moltiplicazione dei termini
identici tra i due fattori: il primo col primo e il secondo col secondo. Sono
quindi dei veri e propri quadrati. In quanto tali, il loro segno sarà sempre
positivo, indipendentemente dal segno del monomio da cui derivano. A
8
patto, quindi, che non vi sia un segno negativo prima del prodotto notevole, entrambi i termini quadratici che compaiono nello sviluppo del quadrato
di un binomio avranno segno positivo.
2.2.3
Errato segno in somma per differenza
Errore tipico: (−a + b ) (a + b ) = a 2 − b 2 .
Espressione corretta: (−a + b ) (a + b ) = b 2 − a 2 .
Spiegazione: nello sviluppo del prodotto notevole somma per differenza, è necessario che vi siano due fattori contenenti alcuni termini identici, segno
compreso, nei due fattori, e altri termini che differiscano, tra i due fattori, solo per il segno. Il prodotto notevole risulterà, come è facile accertarsi
svolgendo il prodotto in modo esteso, nel quadrato del monomio o del polinomio che compare identico nei due fattori meno il quadrato del monomio
o del polinomio che compare con segno opposto tra i due fattori. Il segno
positivo non va quindi anteposto al quadrato del primo termine, ma al quadrato del termine che presenta segni identici nei due fattori, mentre il segno
negativo non precede necessariamente il quadrato del secondo termine, ma il
quadrato del termine che, tra i due fattori, compare con segni opposti. Nel
caso in esempio, il primo termine, a, è quello che cambia segno tra le due
parentesi: il suo quadrato dovrà quindi essere preceduto da un segno negativo; il secondo termine, invece, b , mantiene lo stesso segno nei due fattori,
e quindi il segno che caratterizzerà il suo quadrato nel prodotto è quello
positivo.
2.2.4
Differenza di cubi e cubo della differenza
Errore tipico: (x − a) x 2 + a x + a 2 = (x − a)3 .
Espressione corretta: (x − a) x 2 + a x + a 2 = x 3 − a 3 .
Spiegazione: il prodotto notevole binomio
per falso quadrato, nell’esempio
qui sopra, (x − a) x 2 + ax + a 2 ha come risultato la differenza dei cubi dei
termini del binomio: x 3 − a 3 ; per assicurarsene basta svolgere la moltiplicazione e vedere che tutti i prodotti misti si elidono. La differenza dei cubi è cosa diversa dal cubo del binomio, ossia dal cubo della differenza tra
due termini, il quale, oltre alla differenza dei cubi, comprende anche due
prodotti misti, i tripli prodotti:
(x − a)3 = x 3 − a 3 − 3x 2 a + 3xa 2
e si ottiene moltiplicando il binomio x −a per il vero quadrato x 2 −2a x +a 2 ,
visto che (x − a)3 = (x − a) (x − a)2 .
9
2.2.5
Prodotti misti mancanti in potenze del binomio
Errore tipico: (x + y)4 = x 4 + y 4 .
Espressione corretta: (x + y)4 = x 4 + y 4 + 4x 3 y + 6x 2 y 2 + 4x y 3 .
Spiegazione: la potenza di un binomio non è mai composta, in nessun caso, dalla
semplice somma delle potenze dei singoli monomi che compongono il binomio.
Vi è sempre un numero di “prodotti misti” (di potenze del primo termine
per potenze del secondo) pari a n − 1, dove n è l’esponente della potenza. Ad esempio, se la potenza è 4 come in questo caso, i prodotti misti
sono 4 − 1 = 3, come nell’espressione corretta. I coefficienti sono dati dai
coefficienti “interni” del triangolo di Tartaglia, oppure possono essere trovati scomponendo la potenza in un prodotto di un opportuno numero di
quadrati o cubi dello stesso binomio. Ad esempio, nel caso in questione,
2
(x + y)4 = (x + y)2 .
2.2.6
Errata costruzione prodotti misti in cubo binomio
Errore tipico: (2a − 3b )3 = 8a 3 − 27b 3 − 12a 2 b + 12a b 2 .
Espressione corretta: (2a − 3b )3 = 8a 3 − 27b 3 − 36a 2 b + 54a b 2 .
Spiegazione: è bene ricordare a memoria la formula per costruire il cubo del
binomio: cubo del primo termine, più cubo del secondo termine, più triplo
prodotto del quadrato del primo per il secondo, più triplo prodotto del primo
per il quadrato del secondo. Una volta ricordato, la scrittura può seguire
letteralmente tale formula. Nel caso in esempio:
8a 3 − 27b 3 + 3 · (2a)2 · (−3b ) + 3 · (2a) (−3b )2
che corrisponde, una volta svolti i calcoli, all’espressione corretta qui sopra.
In modo particolare va curata la scelta dei segni. Se per quanto riguarda i
termini cubici non c’è normalmente problema, in quanto essi seguono il segno dei monomi di cui essi sono potenza dispari ((+a)3 = a 3 , (−b )3 = −b 3 ,
il problema spesso sorge per i tripli prodotti. Se i monomi che formano il
binomio elevato al cubo recano lo stesso segno, i tripli prodotti avranno
anch’essi lo stesso segno. Ad esempio, in (a + b )3 i tripli prodotti avranno entrambi segno positivo, mentre in (−a − b )3 entrambi segno negativo.
In caso di segni discordi per i due monomi della base, avrà segno positivo
quello in cui il monomio con segno negativo viene elevato al quadrato, e
segno negativo quello in cui il monomio con segno negativo è alla prima
potenza. Quindi in (33a − 44b )3 avrà segno positivo il triplo prodotto con
parte letterale a b 2 e segno negativo quello con parte letterale a 2 b .
10
2.2.7
Errato segno in sottrazione prodotti notevoli
Errore tipico: x 2 − (x − 2) (x + 2) = x 2 − x 2 − 4.
Espressione corretta: x 2 − (x − 2) (x + 2) = x 2 − x 2 + 4.
Spiegazione: il segno davanti al prodotto notevole si riferisce al risultato della
moltiplicazione:
x 2 − [(x − 2) (x + 2)] = x 2 − x 2 − 4
e perciò cambia segno a tutti i termini del prodotto notevole stesso, non
solamente al primo. E’ buona norma scrivere il risultato del prodotto notevole tra parentesi e solo in un secondo tempo eliminare le parentesi distribuendo il segno su tutti i termini all’interno.
2.2.8
Errato svolgimento del prodotto di somma per differenza
Errore tipico: (2x + 1) (2x − 1) = 2x − 1.
Espressione corretta: (2x + 1) (2x − 1) = 4x 2 − 1.
Spiegazione: il prodotto notevole “somma per differenza” è composto dal quadrato del termine presente in entrambi i fattori con lo stesso segno meno
il quadrato del termine presente in entrambi i fattori con segni opposti.
L’elevamento al quadrato deve essere operato due volte, come è evidente
svolgendo il prodotto in modo ordinario, moltiplicando ogni termine del
primo fattore per ogni termine del secondo.
2.2.9
Doppie somme invece che doppi prodotti

1 2
1
16
Errore tipico: 3x + y = 9x 2 + y 2 + x y.
3
9
3

2
1
1
Espressione corretta: 3x + y = 9x 2 + y 2 + 2x y.
3
9

2
1
1
5
Errore tipico:
x + 2 = x 2 + 4 + x.
2
4
2

2
1
1
Espressione corretta:
x + 2 = x 2 + 4 + 2x.
2
4
Spiegazione: l’errore viene dall’applicazione di una fantasiosa regola per la moltiplicazione delle frazioni, che è in realtà la regola per la somma. Infatti
3+
1
9 + 1 + 6 16
+2=
=
3
3
3
11
oppure
1 5
=
2 2
(perdendo in quest’ultimo caso anche il “doppio”), mentre il quadrato del
binomio prevede la presenza del doppio prodotto, ossia del prodotto del primo termine per il secondo termine del binomio, moltiplicato per 2. Ossia,
nei casi in esempio:
2+
e
2.2.10
1
3 1 2 2
3x · y · 2 = x · y · = x y = 2x y
3
1 3 1 1
2 1 2 2
1
2 · x · 2 = · x · = x = 2x
2
1 2 1 1
Errato sviluppo somma per differenza con termini binomi

Errore tipico: (3 + b + c) (3 + b − c) = (3 + b )2 + c 2 (3 + b )2 − c 2 .
Espressione corretta: (3 + b + c) (3 + b − c) = (3 + b )2 − c 2 .
Spiegazione: l’errore viene da una mancata comprensione del prodotto notevole
somma per differenza. Si rimanda agli errori 2.2.3, 2.2.8 per una ulteriore
spiegazione.
2.2.11
Errato sviluppo potenza binomio con triangolo di Tartaglia
Errore tipico: (2x + 3)4 = 1 · 24 · 3 + . . ..
Espressione corretta: (2x + 3)4 = 1 · (2x)4 · 30 + . . ..
Spiegazione: la potenza (a + b )n risulta in un polinomio di n-esimo grado omogeneo, con coefficienti dati dai coefficienti binomiali del triangolo di Tartaglia. Ad esempio,
(a + b )4 = 1a 4 b 0 + 4a 3 b 1 + 6a 2 b 2 + 4a 1 b 3 + 1a 0 b 4
da cui si vede che se la 5a riga nel triangolo (quella corrispondente alla potenza 4, visto che la prima riga, contenente solo il numero 1, è quella relativa
alla potenza 0) è 1 4 6 4 1, questi numeri si riferiscono a tutti i possibili monomi come si incontrano quando il polinomio è ordinato con le lettere a
decrescente e b crescente.
Nel caso in cui a e b siano a loro volta monomi più complessi, deve essere
comunque calcolata la loro potenza come già visto, ossia, usando l’esempio:
(2x + 3)4 = 1 (2x)4 (3)0 +4 (2x)3 (3)1 +6 (2x)2 (3)2 +4 (2x)1 (3)3 +1 (2x)0 (3)4
con l’avvertenza di inserire anche gli eventuali segni meno nelle potenze da
calcolare. Ad esempio,
(2x − 3)4 = 1 (2x)4 (−3)0 +4 (2x)3 (−3)1 +6 (2x)2 (−3)2 +4 (2x)1 (−3)3 +1 (2x)0 (−3)4
12
2.2.12
Errore di segno nei doppi prodotti con doppio segno meno
Errore tipico: (−x − y)2 = x 2 + y 2 − 2x y.
Espressione corretta: (−x − y)2 = x 2 + y 2 + 2x y.
Spiegazione: il doppio prodotto è il prodotto del primo monomio del binomio
per il secondo. Se entrambi recano un segno negativo, il segno complessivo
sarà, ovviamente, positivo.
2.2.13
Doppi prodotti in somma per differenza
Errore tipico: (−x + y) (x + y) = −x 2 + y 2 − 2x y.
Espressione corretta: (−x + y) (x + y) = −x 2 + y 2 .
Errore tipico: (a − x + y) (a − x − y) = a 2 − 2a x + x 2 − y 2 − 2ay + 2x y.
Espressione corretta: (a − x + y) (a − x − y) = a 2 − 2a x + x 2 − y 2 .
Spiegazione: sviluppando il prodotto notevole somma per differenza, è facile
vedere che i prodotti misti sono sempre opposti e quindi si elidono. Quindi,
se il prodotto notevole di somma per differenza è composto da due binomi,
non vi saranno mai altri termini oltre a quelli quadratici.
Se invece, come nel secondo esempio, il prodotto di somma per differenza è tra polinomi con più di due termini ciascuno, compariranno i doppi
prodotti relativi al quadrato di binomio. Ad esempio, il secondo esempio
(a − x + y) (a − x − y) = [(a − x) + y] [(a − x) − y] = (a − x)2 − y 2
dove appunto il quadrato di binomio (a − x) sviluppa il doppio prodotto
−2a x, che sarà però l’unico presente.
2.2.14
Errori potenze in binomio per falso quadrato
Errore tipico: (x − b ) x 2 + b x + b 2 = x 6 − b 6 .
Espressione corretta: (x − b ) x 2 + b x + b 2 = x 3 − b 3 .
Spiegazione: il prodotto di un binomio di primo grado per un trinomio di secondo grado non può risultare in un polinomio di sesto grado. Il prodotto
notevole, sviluppato, ha il risultato dato in espressione corretta.
2.3
2.3.1
Scomposizioni
Errato esponente letterale dopo raccoglimento
Errore tipico: 16x 3 y 2 + 8x 2 y 3 + 24x y 4 = 8x y 2 2x y + x y + 3y 2 .
13
Espressione corretta: 16x 3 y 2 + 8x 2 y 3 + 24x y 4 = 8x y 2 2x 2 + x y + 3y 2 .
Spiegazione: raccogliere un fattore comune implica una divisione tra monomi.
All’interno della parentesi rimangono i quozienti della divisione tra i singoli
monomi dell’espressione iniziale per il monomio raccolto come massimo
comun divisore. Nel caso particolare: 16x 3 y 2 : 8x y 2 = 2x 2 , svolgendo
quindi la divisione tra i coefficienti numerici e la sottrazione tra gli esponenti
delle parti letterali (3 − 1 = 2 per la lettera x e 2 − 2 = 0 per la y, ricordando
che y 0 = 1).
2.3.2
Raccoglimento a fattor comune mancante o incompleto
Errore tipico: x 3 y 3 + x 2 y 2 = x y x 2 y 2 + x y .
Espressione corretta: x 3 y 3 + x 2 y 2 = x 2 y 2 (x y + 1).
Errore tipico: 5x (3x + 2y) + 15x y (3x + 2y) = (5x + 15x y) (3x + 2y).
Espressione corretta: 5x (3x + 2y) + 15x y (3x + 2y) = 5x (1 + 3y) (3x + 2y).

3 2
9 2
3
9
Errore tipico: x y + x y = x y
x+ y .
8
8
8
8
Espressione corretta:
9
3
3 2
x y + x y 2 = x y (x + 3y).
8
8
8
Spiegazione: nella scomposizione in fattori di un polinomio, la prima operazione da svolgere è l’eventuale raccoglimento a fattor comune. Vi possono
essere più fattori comuni da raccogliere, alcuni monomiali, altri binomiali.
Non importa l’ordine con cui lo si fa, ma tutti devono essere raccolti. E’
pertanto importante controllare nel risultato del raccoglimento se non sia
possibile raccogliere ulteriormente, all’interno di uno o più fattori risultanti, altri fattori comuni. Negli esempi, una volta ottenuta la scomposizione
indicata come “errata” (che in realtà non è tale,
solo incompleta) qui sopra,
è possibile notare che nel termine x 2 y 2 + x y o (5x + 15x y) vi è ancora la
possibilità di raccogliere dei fattori (rispettivamente x y e 5x) e questo deve
essere fatto, come indicato nell’espressione corretta, in verde.
Nel caso i coefficienti numerici siano frazionari con lo stesso denominatore,
è buona norma raccogliere anche la frazione unitaria con tale denominatore
comune, ed eventualmente il massimo comun divisore del numeratore.
2.3.3
Errato raccoglimento coefficiente numerico frazionario
Errore tipico:

3 2
5
1 1
1
x y + x y2 =
x+ y .
8
8
8 3
5
Espressione corretta:
3 2
6
3
x y + x y 2 = (x + 2y).
8
8
8
14
2 2 3 2
1
x y + x y = x y (7y + 5x).
5
7
35

2
3
2
3
Espressione corretta: x y 2 + x 2 y = x y y + x .
5
7
5
7
Errore tipico:
Spiegazione: nel caso nel monomio in cui svolgere un raccoglimento a fattor
comune siano presenti coefficienti frazionari, è opportuno raccogliere un
coefficiente numerico frazionario solo se il denominatore è già comune, ossia
se tutti i coefficienti hanno già lo stesso denominatore. In questo caso, si
raccoglie un coefficiente frazionario avente come denominatore il denomi1
natore comune a tutti i coefficienti (nel primo esempio, ), e come numera8
tore il massimo comun divisore tra i numeratori dei coefficienti frazionari
(nel primo esempio, il massimo comun divisore tra 3 e 6 è 3). Dentro la
parentesi andranno ora solo coefficienti interi dati dalla divisione dei numeratori originari per il massimo comun divisore già raccolto: 3 : 3 = 1 e
6 : 3 = 2.
Altrimenti, se non vi è un denominatore comune, è buona norma, onde
evitare errori di calcolo, lasciare 1 come coefficiente numerico raccolto e
occuparsi solo delle parti letterali.
2.3.4
Errato segno in raccoglimento fattore binomio
Errore tipico: 5x (2x − 3) − 2y (3 − 2x) = (2x − 3) (5x − 2y).
Espressione corretta: 5x (2x − 3) − 2y (3 − 2x) = (2x − 3) (5x + 2y).
Spiegazione: il raccoglimento di un fattore comune è possibile solo se il fattore
è esattamente lo stesso. Nel caso d’esempio, (2x − 3) e (3 − 2x) non sono identici, ma differiscono per il segno: − (2x − 3) = (3 − 2x). E’ quindi
possibile sostituire alla seconda di queste espressioni la prima cambiata di
segno. Il segno meno, però, equivale a una moltiplicazione per −1, e non
può essere tralasciato:
5x (2x − 3) − 2y (3 − 2x) = 5x (2x − 3) − 2y [− (2x − 3)]
e il segno negativo così introdotto va a cambiare il segno di −2y conducendo
all’espressione
5x (2x − 3) − 2y (3 − 2x) = 5x (2x − 3) + 2y (2x − 3)
da cui il risultato corretto. In altre parole, è possibile cambiare il segno
di un fattore per renderlo identico a un altro da raccogliere solo a patto di
bilanciare contemporaneamente questo cambiamento di segno con un altro
cambiamento di segno a carico dello stesso termine a cui il fattore comune
su cui si interviene appartiene.
15
2.3.5
Parentesi mancante in raccoglimento binomio
Errore tipico: 3x (2a + 3b ) + 4y (2a + 3b ) = 3x + 4y (2a + 3b ).
Espressione corretta: 3x (2a + 3b ) + 4y (2a + 3b ) = (3x + 4y) (2a + 3b ).
Spiegazione: le parentesi sono necessarie per indicare che è l’intero binomio (e
non solo l’ultimo termine del binomio, 4y) ad essere fattore che moltiplica
la seconda parentesi.
16

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