Slide Geometria - laboratorio di analisi numerica

Algoritmi di approssimazione numerica
Elementi di Geometria
R. Caira, M.I. Gualtieri
Dipartimento di Matematica, Universit`
a della Calabria - ITALY
R. Caira, M.I. Gualtieri
Elementi di Geometria
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Overview
Elementi di geometria
L’insieme IR
Spazio Vettoriale
Spazio affine
Spazio Vettoriale con prodotto interno
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Elementi di Geometria
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Introduzione
Introduzione
La Computer Graphic o Grafica Digitale `
e un’applicazione dell’Informatica
attraverso la quale, per mezzo del computer, le immagini vengono
generate
manipolate
trasformate
utilizzando tecniche ed algoritmi dell’Analisi Numerica
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Introduzione
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Introduzione
Computer Graphic
La Computer Graphic trova applicazioni in
Business graphic Grafica per applicazioni economiche. Molti risultati
vengono presentati con l’ausilio di grafici ed algoritmi non particolarmente
complicati.
Animazione Si codificano programmi in grado di animare disegni con
risoluzione cos`ı alta da dare la sensazione del movimento. Trovano
applicazione nei videogiochi, nei filmati cinematografici, rinnovando sia la
classica animazione bidimensionale, sia creando e animando oggetti
tridimensionali. Nel 1995 nasce Toy-story il mondo dei giocattoli, il primo
lungometraggio d’animazione, interamente realizzato in computer animation
tridimensionale. Va comunque ricordato che nonostante i programmi siano
sempre pi`
u sofisticati, in grado di sostituire lunghissime e laboriose lavorazioni
manuali, ogni fase della creazione `
e comunque guidata dalla creativit`
a umana.
Progettazione in diversi campi
elettronica
architettura
industria
meccanica
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Spazio vettoriale
Spazio vettoriale
Per introdurre qualche nozione di grafica al calcolatore abbiamo bisogno di alcuni
concetti di geometria elementare e di algebra lineare, in particolare sono
importanti i concetti di :
Spazio vettoriale lineare: spazio vettoriale che contiene due tipi diversi di
oggetti: gli scalari ed i vettori;
Spazio affine: spazio vettoriale a cui si aggiunge il concetto di punto;
Spazio euclideo: spazio vettoriale che aggiunge il concetto di prodotto interno
(distanze ed angoli).
In questi spazi astratti gli oggetti sono definiti indipendentemente da qualsiasi
rappresentazione interna o implementazione su un particolare sistema.
Su tali spazi studieremo le trasformazioni geometriche.
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Spazio vettoriale
Punto, vettore, scalare
Gli elementi di base di questi spazi sono:
Il Punto
Il Vettore
Lo Scalare
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Spazio vettoriale
L’insieme IR
Gli scalari costituiscono l’insieme IR che assume la struttura di campo perch`
e le
due operazioni, somma e moltiplicazione tra scalari, soddisfano le seguenti
propriet`
a:
∀α, β, γ, ∈ IR
Elementi neutri
Commutativit`
a
1) α + β = β + α
5) ∃ 0 ∈ IR : ∀α ∈ IR α + 0 = α
6) ∃ 1 ∈ IR : ∀α ∈ IR α · 1 = α
2) α · β = β · α
Elementi inversi
Associativit`
a
3) α + (β + γ) = (α + β) + γ
Distribuzione
4) α · (β + γ) = α · β + α · γ
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7) ∀α ∈ IR ∃ (−α) ∈ IR :
α + (−α) = 0
8) ∀α 6= 0 ∈ IR
α · α−1 = 1
Elementi di Geometria
∃α−1 ∈ IR :
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Spazio vettoriale
Operazioni in uno spazio vettoriale
In uno spazio Vettoriale V ci sono due entit`
a:
scalari α, β, γ, . . . ;
vettori u, v, w, . . . ;
Le operazioni definite tra queste due entit`
a sono
somma e moltiplicazione tra scalari;
somma tra vettori;
moltiplicazione tra vettore e scalare.
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Spazio vettoriale
Propriet`a delle operazioni in uno spazio vettoriale
Lo spazio vettoriale `
e chiuso rispetto alla somma tra vettori e rispetto al prodotto
tra scalare e vettore, inoltre gode di alcune propriet`
a algebriche
Propriet`
a algebriche
Chiusura
3) u + v = v + u;
1) u + v ∈ V, ∀ u, v ∈ V
4) u + (v + w) = (u + v) + w;
2) αv ∈ V
5) ∃0 ∈ V : ∀u ∈ V u + 0 = u;
∀α ∈ IR e v ∈ V;
6) ∀u ∈ V ∃ (−u) ∈ V : u + (−u) =
0;
7 α (u + v) = αu + αv;
8) (α + β) u = αu + βu;
9) α (βu) = (αβ) u;
10) 1u = u
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Spazio vettoriale
Esempio di Spazio Vettoriale Geometrico
La definizione data `
e totalmente astratta, per semplicit`
a diamo due utili esempi di
spazi vettoriali lineari.
Geometrico;
Algebrico.
Un esempio concreto di Spazio Vettoriale Geometrico `
e dato dai segmenti orientati
liberi, ovvero senza un punto di applicazione specificato.
Un segmento orientato `
e un segmento caratterizzato da una lunghezza, una
direzione ed un verso di percorrenza. Un vettore libero si pu`
o pensare come
l’insieme di tutti i segmenti orientati concordemente, aventi la stessa lunghezza e
giacenti su rette parallele o sulla stessa retta.
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Spazio vettoriale
Vettore libero
Ogni vettore libero rappresenta quindi una classe di equivalenza cui appartengono
i segmenti orientati che hanno uguale
lunghezza;
direzione;
verso.
Secondo le operazioni definite in uno spazio vettoriale:
Il prodotto di un vettore per uno scalare cambia la lunghezza del vettore, ed
anche verso se lo scalare `
e negativo.
La somma di due vettori v e w si ottiene come il vettore rappresentato in
figura dalla diagonale maggiore del parallelogramma che ha per lati i due
vettori dati.
Tale regola `
e nota come regola del parallelogramma.
La differenza `
e rappresentata in figura dal vettore della diagonale minore.
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Spazio vettoriale
Esempio di Spazio Vettoriale Algebrico
Un altro esempio di spazio vettoriale `
e IRn dato dall’insieme i cui elementi
(vettori algebrici) sono le n-ple ordinate
v = (α1 , . . . , αn )
αi ∈ IR ∀ i
Il prodotto per uno scalare e la somma di due vettori sono definiti in modo
del tutto naturale:
(α1 , . . . , αn ) + (β1 , . . . , βn ) = (α1 + β1 , . . . , αn + βn )
λ (α1 , . . . , αn ) = (λα1 , . . . , λαn )
E’ facile vedere qual `
e l’elemento neutro e qual `
e l’inverso di un vettore
algebrico.
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Spazio vettoriale
Altri esempi di Spazi Vettoriali
L’insieme delle matrici IR(m,n) di m righe ed n colonne, ad elementi reali, rispetto
all’operazione di somma di matrici e al prodotto di una matrice per uno scalare.
L’insieme delle funzioni reali a variabile reale continue su un intervallo
[a, b], (C[a, b]) costituisce uno spazio vettoriale su IR, dove la somma tra due
funzioni `
e definita da
(f + g) (x) = f (x) + g(x)
e il prodotto di una funzione per uno scalare `
e dato da
(λf ) (x) = λ (f (x)) x ∈ IR
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Spazio vettoriale
Vettori in uno spazio vettoriale
Dati n vettori non nulli, si dicono linearmente indipendenti se qualsiasi
loro combinazione lineare a coefficienti non nulli `
e diversa dal vettore nullo.
α1 v1 + . . . αn vn = 0 ⇔ αi = 0 ∀i
si dice dimensione di uno spazio vettoriale il massimo numero di vettori
linearmente indipendenti
In uno spazio vettoriale di dimensione n, un insieme di n vettori linearmente
indipendenti costituisce una base per lo spazio
ogni vettore pu`
o essere scritto come combinazione lineare dei vettori di una
base
∀ v ∈ V ∃ (α1 , · · · , αn ) : v = α1 v1 + · · · αn vn
Gli scalari α1 , · · · , αn si chiamano componenti del vettore v e vengono spesso
rappresentati con una colonna di scalari, anzich`
e con una riga;

α1
 .

= .

.
αn

T
(α1 , · · · , αn )
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Spazi affini
Dagli spazi vettoriali agli spazi affini
I vettori non rappresentano punti nello spazio, ma solo spostamenti.
Per potere introdurre il concetto di posizione si deve passare agli spazi affini che
sono gli spazi vettoriali a cui si aggiunge il concetto astratto di punto
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Spazi affini
Definizione ed operazioni nello Spazio Affine
Lo spazio affine `
e uno spazio in cui sono presenti tre entit`
a
scalari α, β, γ, . . .
vettori u, v, w, . . .
punti P, Q, R . . .
Le operazioni definite sono
quelle di uno spazio vettoriale
sottrazione tra punti
Non sono definite le operazioni di addizione tra due punti e di moltiplicazione di
un punto per uno scalare.
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Spazi affini
I Punti
I punti sono definiti in senso astratto come nuovi elementi con cui `
e possibile
effettuare solo una operazione: la sottrazione
La differenza di due punti P e Q `
e un vettore, uscente da Q con la freccia su P:
P−Q=v
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Spazi affini
Dato un punto Q :


q1
 .


Q=
 ..

qn
ed un vettore v :


α1
 .


v=
 ..

αn
esiste un unico punto P tale che


P=Q+v=

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
q1 + α1

.

.

.
qn + αn
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Spazi affini
Interpretazione geometrica
i punti sono locazioni nello spazio e dal vettore libero passiamo al vettore
applicato;
un vettore libero genera vettori applicati diversi se applicato a punti diversi;
fissato un qualsiasi punto O, detto origine, ogni segmento orientato `
e
equivalente ad un segmento orientato con punto d’applicazione l’origine. Si ha
quindi una relazione biunivoca tra un vettore applicato e i segmenti orientati
per l’origine;(ogni vettore si pu`
o pensare applicato nell’origine).
ogni punto P si pu`
o identificare con il vettore u = P − O applicato in O;
ogni vettore w che parte da un punto Q ed arriva ad un punto P si pu`
o
vedere come differenza tra i due vettori u = P − O e v = Q − O o anche
w = u − v = (P − O) − (Q − O) = P − Q
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Spazio vettoriale Euclideo
Da Spazio affine a Spazio euclideo
In uno spazio affine non `
e definito
il concetto di distanza tra punti;
il concetto di angolo tra vettori;
Si introduce allora il concetto di spazio vettoriale euclideo.
Uno spazio vettoriale euclideo `
e uno spazio affine provvisto di prodotto interno o
prodotto scalare (inner product o dot product)
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Spazio vettoriale Euclideo
Prodotto scalare
Siano u, v, w vettori nello spazio vettoriale V costruito su IR.
Definizione
Si definisce prodotto scalare la funzione
· : V × V −→ IR
che associa ad ogni coppia di vettori u, v ∈ V, il numero reale indicato con u · v
Valgono le seguenti propriet`
a:
Positivit`
a
v · v ≥ 0, v · v = 0 ⇔ v = 0
Commutativit`
a
u · v = v · u ∈ IR
Omogeneit`
a e linearit`
a
(αu + βv) · w = αu · w + βv · w∀ α, β ∈ IR
N.B. Non confondere la somma tra vettori con la somma tra scalari
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Spazio vettoriale Euclideo
Prodotto Scalare Euclideo
Uno spazio vettoriale V definito su IR su cui `
e definito un prodotto scalare prende
il nome di Spazio Vettoriale Euclideo.
In particolare il prodotto scalare
f : IRn × IRn → IR
u · v = (α1 , · · · , αn ) · (β1 , · · · , βn ) = α1 β1 + · · · αn βn
prende il nome di prodotto scalare standard o prodotto scalare Euclideo e IRn `
e
detto Spazio Euclideo di dimensione n
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Spazio vettoriale Euclideo
Esempi di prodotto scalare
Anche la funzione definita
f : IR3 × IR3 → IR
(x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = 3x1 y1 + 4x2 y2 + 5x3 y3 )
`
e un prodotto scalare ma diverso da quello standard, mentre la funzione
f : IR3 × IR3 → IR
(x1 , x2 , x3 ) · (y1 , y2 , y3 ) = x1 y1 + x2 y2 − x3 y3 )
non `
e un prodotto scalare su IR3
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Spazio vettoriale Euclideo
Prodotto scalare in altri spazi vettoriali
Esempio
Supponiamo che f = f(x) e che g = g(x) siano due funzioni dello spazio vettoriale
C[a, b]. Un prodotto interno su C[a, b] pu`
o essere definito come
Z
b
(f · g) =
f(x)g(x)dx
a
Esempio
Supponiamo che
A=
a1
a3
a2
a4
,
B=
b1
b3
b2
b4
∈ IR2,2
La relazione definita nell’insieme delle matrici di ordine 2
A · B = tr AT B
definisce un prodotto scalare.
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Spazio vettoriale Euclideo
Norma Euclidea
Il prodotto interno euclideo permette di definire la lunghezza di un vettore, e
quindi la distanza tra due punti, e l’angolo tra due vettori.
Il numero reale positivo dato da
kvk =
√
v·v=
q
2
Σn
i=1 αi
definisce la norma euclidea del vettore v, e coincide con l’usuale lunghezza del
vettore v.
Inoltre se
v=P−Q
allora
kvk =
p
(P − Q) · (P − Q ) =
q
2
Σn
i=1 (xi − yi )
rappresenta non solo la lunghezza del vettore v ma anche la distanza euclidea fra i
due punti P e Q di coordinate rispettivamente xi ed yi , i = 1, · · · , n.
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Spazio vettoriale Euclideo
Interpretazione geometrica del prodotto scalare
u = |u| cos α, |u| sin α ,
u·v
=
=
v = |v| cos β, |v| sin β
|u| cos α |v| cos β + |u| sin α |v| sin β =
|u| |v| cos α cos β + sin α sin β = |u| |v| cos β − α ,
cio`
e
u · v = |u| |v| cos θ
dove 0 ≤ θ ≤ π `
e l’angolo convesso compreso tra u e v.
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Spazio vettoriale Euclideo
Vettori ortogonali o paralleli
Questa formula permette di enunciare le seguenti propriet`
a:
u · v = 0, u 6= 0, v 6= 0
perpendicolari fra loro;
⇒
cos θ = 0 e θ = 90◦ , cio`
e u e v sono
u · v > 0 ⇒ |θ| < 90◦ . In particolare u · v = |u| |v| ⇒ cos θ = 1 e θ = 0◦ ,
cio`
e u e v sono paralleli tra loro e hanno la stessa direzione;
u · v < 0 ⇒ |θ| > 90◦ . In particolare u · v = − |u| |v| ⇒ cos θ = −1 e
θ = 180◦ , cio`
e u e v sono paralleli tra loro ma hanno direzione opposta.
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Spazio vettoriale Euclideo
Proiezione ortogonale
Il prodotto scalare pu`
o essere usato per trovare la proiezione di un vettore lungo
una retta.
Sia dato il vettore v e la retta con direzione identificata dal vettore di lunghezza
unitaria u. Se v’ `
e il vettore ottenuto proiettando v lungo la retta, allora
v’ = γu
e
γ = u · v =k u kk v k cos (α) =k v k cos (α)
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Spazio vettoriale Euclideo
Base ortonormale
Si dice che un vettore `
e normalizzato se la sua lunghezza `
e uguale ad 1;
un vettore qualsiasi si pu`
o normalizzare moltiplicando per il reciproco della
sua norma. Un vettore normalizzato si dice anche versore;
Si dice che una base per i vettori di uno spazio euclideo `
e ortonormale se `
e
formata da versori a due a due ortogonali
(e1 , . . . , en ) : kei k = 1 ∀ i
e
ei · ej = 0
∀ i 6= j
Data una base ortonormale il prodotto scalare tra due vettori si esprime come
somma dei prodotti delle componenti
u · v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn
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La geometria analitica
Sistemi di riferimento
La geometria analitica, nata in Francia nel XVII secolo grazie ai contribuiti di
Cartesio(1596-1650) e di Fermat (1601-1655), permette di esprimere forme
geometriche in termini algebrici, legando, attraverso delle relazioni algebriche, gli
elementi dello spazio vettoriale geometrico con gli elementi dello spazio vettoriale
algebrico.
punto: coppia ordinata di numeri (x, y);
retta: y=mx+q;
intersezione di curve: sistema delle equazioni che le descrivono
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La geometria analitica
Dal problema geometrico al problema algebrico
Per risolvere un problema geometrico con il metodo analitico:
si traduce il problema geometrico in un problema algebrico, associando a ogni
ente della geometria il corrispondente ente dell’algebra;
si risolve il problema dal punto di vista algebrico;
si interpretano geometricamente le soluzioni algebriche trovate.
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Sistemi di riferimento
Rappresentazione 2D e 3D
Nel piano 2D e nello spazio 3D gli oggetti sono definiti attraverso un sistema di
coordinate. Ciascun punto `
e individuato da un set di coordinate in un sistema di
riferimento.
Un sistema di riferimento 2D `
e rappresentato da una coppia di assi
perpendicolari x e y;
Un sistema di riferimento 3D `
e rappresentato da una terna di assi
perpendicolari x , y e z
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Sistemi di riferimento
Sistema 3D left-handed e right-handed
In un sistema 3D la disposizione degli assi determina l’orientazione degli assi e la
direzione delle rotazioni.
3D right-handed
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3D left-handed
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Prodotto vettoriale
Prodotto vettoriale (cross product)
Si definisce prodotto vettoriale u × v tra u e v, vettori di IR3 , il vettore w tale
che
|w| = |u| |w| sin(α) essendo α l’angolo convesso compreso tra i due vettori ;
direzione perpendicolare al piano individuato da u e v;
verso definito secondo la regola della mano destra ( u, v, w sono orientati
come pollice, indice e medio della mano destra);
Le componenti del vettore u × v si possono indicare in modi equivalenti
u × v = (u2 v3 − u3 v2 , u3 v1 − u1 v3 , u1 v2 − v1 u2 ) (secondo le componenti dei
due vettori)
usando il determinante della matrice
i
u1
v1
3×3
j
u2
v2
k
u3
v3
u × v = (u2 v3 − u3 v2 ) i + (u3 v1 − u1 v3 ) j + (u1 v2 − v1 u2 ) k
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Prodotto vettoriale
Prodotto vettoriale (cross product)
Notiamo che il modulo |u × v| rappresenta l’area del parallelogramma che ha due
lati coincidenti con i due vettori u e v quindi |u × v| = 0 se e solo se uno dei due
vettori `
e nullo oppure i due vettori hanno la stessa direzione.
Propriet`
a del prodotto vettoriale
anticommutativa: per ogni coppia di vettori u e v si ha
u × v = −v × u
distributiva: ∀u, v, w
u × (v + w) = u × v + u × w
e
(v + w) × u = v × u + w × u
di annullamento: per ogni vettore u si ha u × u = 0
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La retta
Equazione cartesiana di una retta
Una retta nel piano ha equazione
ax + by + c = 0
(1)
con
a, b, c ∈ IR;
c termine noto .
Se b 6= 0, si pu`
o ricavare l’equazione esplicita
y = mx + q
dove
a
b
c
q=−
b
m=−
e
m`
e la pendenza
q`
e l’ intercetta (ossia l’ordinata del punto di intersezione con l’asse y).
Se b = 0 l’equazione della retta diventa
ax + c = 0
c E’ una retta parallela all’asse y ed interseca l’asse x nel punto − , 0 .
a
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La retta
Rette parallele e rette perpendicolari
Due rette
ax + by + c = 0
e
a1 x + b1 y + c1 = 0
sono parallele se hanno la stessa pendenza:
−
a
a1
=−
b
b1
o anche
a · b1 = b · a1
Se b e b1 sono entrambi uguali a zero le rette sono parallele all’asse y e quindi sono
parallele fra loro.
Due rette sono perpendicolari se e solo se il prodotto delle loro pendenze `
e −1,
cio`
e
a · a1 = −b · b1 .
o anche
a · a1 + b · b1 = 0
.
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La retta
Equazione vettoriale di una retta
Una retta nel piano o nello spazio pu`
o essere rappresentata facendo uso dei vettori.
Una retta `
e univocamente determinata da un punto base Q e da un vettore
direzione v, 6= 0 che ne determina in modo univoco la direzione. Il punto P sta
sulla retta se e solo se esiste un numero reale t tale che
P − Q = tv
Questa `
e l’equazione vettoriale della retta o, in modo equivalente,
P = Q + tv
Al variare di t in IR si scorrono tutti e soli i punti della retta avente la direzione
del vettore v. In molte applicazioni il vettore direzione `
e un vettore unitario.
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Il piano
Equazione di un piano
Un piano nello spazio ha equazione
Ax + By + Cz + D = 0.
Essa dipende da quattro coefficienti reali A, B, C e D; D `
e detto termine noto.
Un piano, in forma vettoriale, `
e definito da
un punto base B;
un suo vettore normale n.
Per ogni punto arbitrario X del piano, il vettore posizione da B a X, X − B, deve
essere perpendicolare al vettore normale n, da cui l’equazione del piano
(X − B) · n = 0.
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Elementi di Geometria
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Il piano
Punto di intersezione tra retta e piano
Con la notazione vettoriale di rette e piani, `
e molto facile calcolare il punto di
intersezione tra una retta e un piano.
P = A + tv
(X − B) · n = 0
da cui imponendo P = X si ha :
P = A + tv
(A + tv − B) · n = 0
Dalla seconda equazione si ricava il valore dello scalare t che individua il punto di
intersezione.
(B − A) · n
t=
v·n
Se fosse v · n = 0, la retta sarebbe perpendicolare al vettore normale n che a sua
volta `
e perpendicolare al piano, pertanto la retta e il piano sarebbero paralleli e
non potrebbero avere alcun punto di intersezione.
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Combinazioni lineari
Combinazioni lineari affini
Siano v1 , v2 , . . . , vm m vettori dello spazio n−dimensionale.
Definizione
Si definisce combinazione lineare di v1 , v2 , . . . , vm un vettore del tipo
w = α1 v 1 + α2 v 2 + . . . + αm v m .
Definizione
Si definisce combinazione affine di v1 , v2 , . . . , vm una combinazione lineare
w = α1 v 1 + α2 v 2 + . . . + αm v m
tale che
m
X
αk = 1.
k=1
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Combinazioni lineari
Combinazioni convesse
Definizione
Si definisce combinazione convessa di v1 , v2 , . . . , vm una combinazione lineare
w = α1 v 1 + α2 v 2 + . . . + αm v m
tale che
m
X
αk = 1
e
αk ≥ 0 k = 1, 2, . . . , m.
k=1
Una combinazione convessa `
e una particolare combinazione affine, con la
condizione che tutti i coefficienti sono non negativi, quindi vale
α1 + α2 + . . . + αm = 1
=⇒ 0 ≤ αk ≤ 1 ∀k.
αk ≥ 0
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Elementi di Geometria
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Combinazioni lineari
Combinazione convessa di due punti
Dati due punti A e B la loro combinazione convessa `
e il punto
A = (1 − t)P + tQ = P + t(Q − P) (somma punto vettore) che giace sul segmento
che li unisce.
In particolare, essendo 0 ≤ t ≤ 1, se
t = 0 si ottiene il punto P;
t = 1 si ottiene il punto Q;
t = 12 il punto risultante `
e a met`
a tra i due punti.
L’insieme delle combinazioni convesse di due punti, ottenuto al variare del
parametro t tra 0 e 1, `
e il segmento che congiunge i due punti.
R. Caira, M.I. Gualtieri
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Combinazioni lineari
Combinazione convessa di tre punti non allineati
La combinazione convessa di 3 punti non allineati , A, B, C, o anche dei due
vettori v1 = B − A e v2 = C − A `
e un vettore.
(1 − t) (B − A) + t (C − A))
= (B − A) + t (C − A + A − B)
= (B − A) + t (C − B)
= v1 + t (v2 − v1 )
Anche in questo caso se
t = 0 si ottiene il vettore v1 ;
t = 1 si ottiene il vettore v2 ;
L’insieme delle combinazioni convesse di tre punti non allineati, ottenuto al
variare del parametro t tra 0 e 1, coincide con il triangolo di vertici A, B, C
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Combinazioni lineari
Combinazione convessa di quattro punti non allineati
La combinazione convessa di quattro punti non complanari A, B, C, D o anche dei
tre vettori (non complanari)
v1 = D − A;
v2 = C − A;
v3 = B − A
`
e il vettore w dato da
w = α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ,
α1 , α2 , α3 ≥ 0,
α1 + α2 + α3 = 1,
cio`
e da tutti i vettori del tipo
w
= α1 v1 + α2 v2 + (1 − α1 − α2 ) v3
= v3 + α1 (v1 − v3 ) + α2 (v2 − v3 ) ,
0 ≤ α1 , α2 ≤ 1.
Geometricamente, la combinazione convessa di tre vettori v1 , v2 e v3 non
complanari `
e dato dal triangolo delimitata dalle linee tratteggiate in figura .
L’insieme delle combinazioni convesse al variare di α1 e α2 `
e l’intero tetraedo.
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Combinazioni lineari
Guscio convesso o Convex hull
Definizione
Si definisce Guscio convesso o Convex hull di un insieme di punti `
e l’insieme di
tutte le loro combinazioni convesse.
Riepilogo :
il guscio convesso di due punti `
e il segmento che li congiunge;
il guscio convesso di tre punti non allineati `
e il triangolo di vertici i tre punti;
il guscio convesso di quattro punti non complanari `
e un tetraedro;
Definizione alternativa:
Definizione
Il Guscio convesso o Convex hull di due o pi`
u punti `
e il minimo insieme convesso
che li contiene.
Definizione
Un insieme convesso `
e un insieme di punti contenente ogni segmento che ne
congiunge due di essi
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Combinazioni lineari
Guscio convesso di n punti nel piano
Dati n punti nel piano il guscio convesso `
e il minimo poligono convesso che li
contiene tutti.
Quattro punti
P4 interno al triangolo
Il convex hull non cambia
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P4 esterno al triangolo
Il convex hull diventa
un quadrilatero
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Dalle coordinate cartesiane a quelle omogenee
Coordinate omogenee
Definizione
Si definiscono coordinate omogenee di un punto del piano P = (x, y) ∈ IR2 una
˜ = (x1 , x2 , x3 ) ∈ IR3 di numeri reali tali che
qualsiasi terna ordinata P
x3 6= 0;
x1
= x;
x3
x2
=y
x3
Allo stesso modo
Definizione
Le coordinate omogenee di un punto P = (x, y, z) ∈ IR3 sono una quadrupla di
˜ = (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ IR4 tali che
numeri P
x4 6= 0;
x1
= x;
x4
x2
= y;
x4
x3
= z.
x4
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Dalle coordinate cartesiane a quelle omogenee
Propriet`a coordinate omogenee
˜ espresso in coordinate omogenee equivale al punto reale P in modo tale
Il punto P
che
˜ = (x1 , x2 , x3 ) = x3 x1 , x2 , 1 = x3 (x, y, 1) , x3 6= 0
P
x3 x3
quindi
Le coordinate omogenee sono definite a meno di un coefficiente di proporzionalit`
a.
Allo stesso punto P di coordinate (x, y) corrispondono infinite terne di coordinate
omogenee
Ne segue
dato P = (x, y) `
e individuato un insieme ( classi di equivalenza) di terne
(x1 , x2 , x3 ) con x3 6= 0; una terna di tale classe `
e, ad esempio, (x, y, 1)
dato l’insieme (classi di equivalenza) della terna (x1 , x2 , x3 ), con x3 6= 0 `
e
x1
x2
individuato uno e un solo punto P = (x, y) dove x =
,y=
;
x3
x3
5 17
e (5, 17, 2)
P
→P=
,
2 2 5 17
e (−5, −17, −2)
P
→P=
,
2 2 6.25 21.25
5 17
e (6.25, 21.25, 2.5) → P =
P
,
=
,
2.5
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2.5
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2
2
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Dalle coordinate cartesiane a quelle omogenee
Punti all’infinito
Le coordinate omogenee possono facilmente catturare il concetto di infinito.
I punti in coordinate omogenee con coordinata x3 = 0 sono detti impropri, e non
hanno nessun significato geometrico nello spazio cartesiano, ma possono
rappresentare un punto all’infinito, nella direzione del vettore (x, y).
In coordinate omogenee c’`
e distinzione tra vettore (x3 = 0) e punto (x3 6= 0), cosa
che non accade con le coordinate euclidee.
Le coordinate omogenee permettono di rappresentare punti all’infinito e
consentono di esprimere tutte le trasformazioni di coordinate in forma matriciale.
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