Cover Page The handle http://hdl.handle.net/25871 holds

Cover Page
The handle http://hdl.handle.net/1887/25871 holds various files of this Leiden University
dissertation.
Author: Kosters, Michiel F.
Title: Groups and fields in arithmetic
Issue Date: 2014-06-04
Samenvatting
De Nederlandse vertaling van de titel van dit proefschrift is Groepen en lichamen
in de aritmetiek. Bij het maken van een samenvatting van dit proefschrift heb ik
de volgende keuze gemaakt. Om de samenvatting dicht bij de werkelijke inhoud van
dit proefschrift te houden, heb ik besloten slechts een samenvatting te geven van
Hoofdstuk 3, Hoofdstuk 4 en Hoofdstuk 7. Ik hoop hiermee toch een goede afspiegeling
te kunnen geven van de inhoud van dit proefschrift zonder dat het te technisch wordt.
Hoofdstuk 3 en Hoofdstuk 4
6.1. Polynomen over R. De re¨ele getallen, R, zijn alle getallen op de getallenlijn waarbij alle gaten√zijn opgevuld (de precieze definitie zal ik achterwege
laten). Zo zijn 2, 0, −1/3, 2 en π allemaal re¨ele getallen. Zij f een polynoom met
co¨effici¨enten in de re¨ele getallen. Dit betekent dat we f kunnen schrijven als f =
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 voor een zekere n waarbij alle ai re¨ele getallen
zijn. De graad van zo’n polynoom is de grootste i zodat
ai niet nul is. Een voorbeeld
√
van een polynoom van graad 3 is f = 3x3 + x2 − 2. Stel dat we zo’n polynoom f
hebben. Dan kunnen we een re¨eel getal r invullen in f √
en dan krijgen we weer een re¨eel
getal, en dit noteren we met f (r). Als f = 3x3 + x2 − 2, dan vinden we bijvoorbeeld
√
√ 3 √ 2 √
√
f ( 2) = 3 2 + 2 − 2 = 5 2 + 2. Dit geeft ons een afbeelding van R naar R: aan
een getal r uit R kennen we f (r) toe. Het beeld van deze afbeelding zijn alle waardes
f (r) waarbij r loopt over R.
In hoofdstuk 4 heb ik het volgende bewezen: als het beeld van zo’n afbeelding
niet heel R is, dan zijn er oneindig veel re¨ele getallen die niet in het beeld zitten. Het
kan dus niet zo zijn dat het beeld slechts ´e´en punt mist. In het bovenstaande geval is
het bewijs niet heel moeilijk. In mijn proefschrift heb ik een sterkere stelling bewezen
die een dergelijke uitspraak geeft over polynomiale afbeeldingen over “perfecte grote
lichamen”. In het volgende stukje zal ik kort uitleggen wat een lichaam is.
6.2. Lichamen. Een lichaam is een verzameling K met twee bewerkingen K ×
K → K, die we voor x, y ∈ K noteren met x + y respectievelijk x · y, en die voldoen
aan de volgende eigenschappen:
i. er is een element 0 in K zodat voor alle x in K geldt 0 + x = x;
ii. voor alle x, y in K geldt x + y = y + x;
iii. voor alle x in K bestaat er een y in K met x + y = 0;
iv. voor alle x, y, z in K geldt (x + y) + z = x + (y + z);
v. er is een element 1 in K zodat voor alle x in K geldt 1 · x = x;
vi. voor alle x, y in K geldt x · y = y · x;
147
148
Samenvatting
vii. voor alle x in K behalve 0 bestaat er een y in K met x · y = 1;
viii. voor alle x, y, z in K geldt x(y + z) = x · y + x · z.
Ik hoop dat ik de lezer nu niet heb afgeschrikt. Het komt er op neer dat een lichaam een
verzameling (een collectie dingen) is waar je kan optellen, aftrekken, vermenigvuldigen
en door een niet nul-element kan delen. Zo vormen de re¨ele getallen R een lichaam.
6.3. Polynomen over eindige lichamen. Er zijn oneindig veel re¨ele getallen.
Een lichaam waarvan de onderliggende verzameling eindig is, wordt een eindig lichaam
genoemd. De re¨ele getallen zijn dus geen eindig lichaam. Een voorbeeld van een eindig
lichaam is F2 , de verzameling die bestaat uit 0 en 1, met de volgende bewerkingen:
0 + 0 = 1 + 1 = 0, 1 + 0 = 0 + 1 = 1, 1 · 1 = 1 en 1 · 0 = 0 · 1 = 0 · 0 = 0.
Zij F een eindig lichaam. Dan kunnen we polynomen bekijken met co¨effici¨enten
in F. Zo’n polynoom geeft een afbeelding van F naar F. In Hoofdstuk 4 heb ik het
volgende bewezen: als het beeld onder zo’n polynomiale afbeelding niet heel F is en
maar weinig punten mist, dan is de graad van het polynoom groot.
Hoofdstuk 7
2
3
Bekijk de vergelijking Y = X − 2X. We zoeken oplossingen in het platte vlak
van deze vergelijking, dat wil zeggen, we zoeken re¨ele getallen x, y die voldoen aan
y 2 = x3 − 2x. Bijvoorbeeld
x = y = 0 is een oplossing, en dit punt noteren we als
√
(0, 0). Ook (x, y) = ( 2, 0) is een oplossing. Er zijn oneindig veel oplossingen voor
deze vergelijking en je krijgt het volgende plaatje als je de oplossingen in het platte
vlak tekent.
y
Y 2 = X 3 − 2X
x
De kromme, de oplossing van de vergelijking in het vlak samen met een extra punt
O, wordt een elliptische kromme genoemd. We noteren de kromme met E. De theorie
van de elliptische krommen valt onder de arithmetische meetkunde. Het bijzondere is
dat de elliptische kromme een abelse groep is als we een bepaalde bewerking beschouwen.
Dat wil zeggen, aan elk tweetal punten P, Q van E kennen we een derde punt P + Q
op de kromme toe, en deze bewerking voldoet aan een aantal regels. Laat mij eerst
de bewerking uitleggen. Stel dat we twee verschillende punten P en Q op de kromme
hebben in het vlak. Dan moeten we P + Q, een derde punt op de kromme, defini¨eren.
Het plaatje hieronder legt uit hoe dat werkt. Trek een lijn door P en Q. Neem aan
dat de lijn de kromme in een derde punt in het vlak snijdt. Dan is P + Q gedefinieerd
6. Hoofdstuk 7
149
als de spiegeling van dit derde punt in de x-as. Als er niet zo’n derde punt is, dan
zeggen we dat P + Q = O. Als we een punt P bij zichzelf optellen, dan trekken we de
raaklijn aan P in plaats van de lijn door P en Q als hierboven en volgen we verder
bovenstaande constructie. Verder defini¨eren we P + O = O + P = P voor een punt P
op de kromme.
y
•
Q•
x
P•
•P + Q
Deze optelling voldoet aan de volgende regels voor P, Q, R in E:
i.
ii.
iii.
iv.
P + Q = Q + P;
(P + Q) + R = P + (Q + R);
P + O = O + P = P;
er bestaat een punt −P op E met P + (−P ) = O.
Het is niet moeilijk om in te zien dat aan i, iii en iv voldaan zijn. Inderdaad, i volgt
uit de constructie. De lijn tussen P en Q is hetzelfde als de lijn tussen Q en P . Aan de
derde eigenschap is per definitie voldaan. We gaan nu de vierde eigenschap bewijzen.
Neem een punt P uit het vlak op de kromme, en spiegel dit punt in de x-as. Dan is het
gevonden punt −P en aan eigenschap iv is voldaan. Het is overigens niet eenvoudig
om te laten zien dat aan eigenschap ii voldaan is (er is een andere aanpak die dat vrij
direct geeft).
De regels hierboven zeggen precies dat E een abelse groep is met de bewerking die
we hebben gedefinieerd. We schrijven overigens P + (−Q) als P − Q en we zeggen dat
we Q van P aftrekken.
Beschouw de natuurlijke projectie van E zonder O op de x-as. Een punt (x, y) op
de kromme in het vlak wordt naar het punt x gestuurd. Het probleem dat ik bestudeerd
heb, in een net iets andere context, is het volgende. Neem een stuk (deelverzameling)
van de x-as en bekijk alle punten op E waarvoor de x-co¨ordinaat in deze verzameling
valt. Is het zo dat we met behulp van optellen en aftrekken alle punten van E uit deze
punten kunnen krijgen?
√ Ik geef twee voorbeelden. Bekijk eerst alle√punten met x-co¨ordinaat tussen 0 en
2, dat wil zeggen, in het gesloten interval [0, 2]. Het is niet heel
√ moeilijk om in te
zien dat we slechts twee punten vinden: P0 = (0, 0) en P1 = ( 2, 0). In een plaatje
ziet dit er als volgt uit.
150
Samenvatting
y
•
P0
P1
•
x
We gaan nu kijken welke punten we allemaal kunnen maken. Merk op dat P1 + P1 =
P0 +P0 = O, omdat zowel de raaklijn door P0 als de raaklijn door P1 verticaal is en
√ geen
derde snijpunt heeft met de kromme in het vlak. We vinden verder P0 + P1 = (− 2, 0),
het derde punt met y-coordinaat 0. We noemen dit punt P2 . Om eenzelfde reden
is P0 + P2 = P1 en P1 + P2 = P0 . Verder volgt uit bovenstaandat dat −P0 = P0 ,
−P1 = P1 en −P2 = P2 . We concluderen dat we alleen de punten O, P0 , P1 , P2 krijgen
(voor de wiskundigen: dit is de 2-torsie van de elliptische kromme).
Stel nu dat we beginnen met alle punten met x-coordinaat kleiner dan of gelijk aan
0. Dan beginnen we dus met de gesloten contour aan de linkerkant van onze plaatjes.
We gaan nu bewijzen dat we elk punt van de kromme kunnen krijgen door optellen en
aftrekken uit deze verzameling. Net als hierboven kunnen we O = P0 + P0 maken (een
wiskundige zou zeggen dat we O al kunnen maken door de lege som te nemen). Neem
nu een punt uit het vlak op de kromme buiten de contour, zeg Q. Spiegel dit punt in
de x-as en krijg −Q. Trek dan de lijn door P2 en −Q. We krijgen een derde snijpunt
met de contour, zeg Q0 . Maar dan geldt P2 + Q0 = Q. In een plaatje ziet dit er als
volgt uit.
y
•Q
P2
•
x
•
Q0
• −Q
Kortom, we kunnen alle punten op de elliptische kromme maken op deze manier.
In dit proefschrift heb ik naar eenzelfde probleem gekeken voor elliptische krommes
over eindige lichamen (ze worden ook gedefinieerd als de oplossingsverzameling van
een vergelijking). Het grote verschil met het bovenstaande stuk is dat je eigenlijk
6. Hoofdstuk 7
151
geen plaatjes meer kunt tekenen. Nog steeds vormen de punten van de kromme een
abelse groep en hebben we een projectie op een x-as. Neem nu een stuk van de
x-as. Dan kunnen we ons nog steeds afvragen of de punten met x-co¨ordinaat in deze
deelverzameling alle punten voortbrengen. Dit laatste is precies wat ik heb bestudeerd
in Hoofdstuk 7.

Download Report