7 – Tweedegraads functies
7.2 – De abc-formule
7 a x2 + x + 1 = 0
D = b2 − 4ac = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = −3 < 0
Dus de vergelijking heeft geen oplossingen.
b x 2 + 3x + 1 = 0
D = b2 − 4ac = 32 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 5 > 0
Dus de vergelijking heeft twee oplossingen.
c x2 + x − 1 = 0
D = b2 − 4ac = 12 − 4 ⋅ 1 ⋅ −1 = 1 + 4 = 5 > 0
Dus de vergelijking heeft twee oplossingen.
d x2 + 2 x + 1 = 0
D = b2 − 4ac = 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0
Dus de vergelijking heeft één oplossing.
e 2t 2 + 3t + 1 = 0
D = b2 − 4ac = 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 = 1 > 0
Dus de vergelijking heeft twee oplossingen.
f 4 p2 + 4 p + 1 = 0
D = b2 − 4ac = 42 − 4 ⋅ 4 ⋅ 1 = 0
Dus de vergelijking heeft één oplossing.
g 1 2
s + 2s + 2 = 0
2
1
D = b2 − 4ac = 22 − 4 ⋅ ⋅ 2 = 4 − 4 = 0
2
Dus de vergelijking heeft één oplossing.
h 4q 2 + 3 = 5q ⇔ 4 q 2 − 5q + 3 = 0
D = b2 − 4ac = ( −5) − 4 ⋅ 4 ⋅ 3 = 25 − 48 = −13 < 0
Dus de vergelijking heeft geen oplossingen.
2
i 2a 2 + 3a − 1 = 0
D = b2 − 4ac = 32 − 4 ⋅ 2 ⋅ −1 = 17 > 0
Dus de vergelijking heeft twee oplossingen.
j b 2 = 3b + 1 ⇔ b 2 − 3b − 1 = 0
D = b2 − 4ac = (−3) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ −1 = 13 > 0
Dus de vergelijking heeft twee oplossingen.
k 5c 2 + 4c + 1 = 0
D = b2 − 4ac = 42 − 4 ⋅ 5 ⋅ 1 = −4 < 0
Dus de vergelijking heeft geen oplossingen.
l 3d 2 = 4d − 2 ⇔ 3d 2 − 4d + 2 = 0
D = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 = −8 < 0
Dus de vergelijking heeft geen oplossingen.
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
1
7 – Tweedegraads functies
8 a Los op: x 2 + 4 x + 1 = 0
x1,2 =
−b ± b2 − 4ac −4 ± 42 − 4 ⋅1 ⋅ 1 −4 1
1
=
=
±
12 = −2 ±
4 3
2a
2 ⋅1
2 2
2
De oplossingen zijn: x1 = −2 + 3 en x2 = −2 − 3
b Los op: x 2 + 4 x − 3 = 0
x1,2 =
−b ± b2 − 4ac −4 ± 42 − 4 ⋅ 1 ⋅ −3 −4 1
1
=
=
±
28 = −2 ±
4 7
2a
2 ⋅1
2 2
2
De oplossingen zijn: x1 = −2 + 7 en x2 = −2 − 7
c Los op: 3x 2 + 4 x + 1 = 0
−b ± b2 − 4ac −4 ± 42 − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 −4 ± 4
4 2
=
=
=− ±
2a
2⋅3
6
6 6
2
1
6
De oplossingen zijn: x1 = − = − en x2 = − = −1
6
3
6
x1,2 =
d Los op: 3x 2 − 6 x + 2 = 0
−b ± b2 − 4ac − ( −6 ) ± ( −6 ) − 4 ⋅ 3 ⋅ 2 6 ± 24 6 1
=
=
= ±
4 6
2a
2⋅3
6
6 6
1
1
De oplossingen zijn: x1 = 1 +
6 en x2 = 1 −
6
6
6
2
x1,2 =
e Los op: − 2t 2 + 3t + 2 = 0
−b ± b2 − 4ac −3 ± 32 − 4 ⋅ −2 ⋅ 2 −3 ± 25 −3 ± 5
=
=
=
2a
2 ⋅ −2
−4
−4
2
1
−8
De oplossingen zijn: t1 =
= − en t2 =
=2
−4
2
−4
t1,2 =
f Los op: 7 s = 2 s 2 + 4 ⇔ −2s 2 + 7 s − 4 = 0
−b ± b2 − 4ac −7 ± 72 − 4 ⋅ −2 ⋅ −4 −7 ± 17
=
=
2a
2 ⋅ −2
−4
7 1
7 1
De oplossingen zijn: s1 = +
17 en s2 = −
17
4 4
4 4
s1,2 =
g Los op: − 3q 2 = 1 − 6q ⇔ −3q 2 + 6q − 1 = 0 ⇔ 3q 2 − 6q + 1 = 0
−b ± b2 − 4ac − − 6 ± ( −6 ) − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 6 ± 24 6
4 6
q1,2 =
=
=
= ±
2a
2⋅3
6
6
6
1
1
De oplossingen zijn: q1 = 1 +
6 en q2 = 1 −
6
3
3
2
h Los op: 5 p 2 + 2 = 1 − 7 p ⇔ 5 p 2 + 7 p + 1 = 0
−b ± b2 − 4ac −7 ± 7 2 − 4 ⋅ 5 ⋅ 1 −7 ± 29
=
=
2a
2⋅5
10
7 1
7 1
De oplossingen zijn: p1 = − −
29 en p2 = − +
29
10 10
10 10
p1,2 =
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
2
7 – Tweedegraads functies
i Los op: 2a 2 + 5a + 3 = 0
−b ± b2 − 4ac −5 ± 52 − 4 ⋅ 2 ⋅ 3 −5 ± 1
=
=
2a
2⋅ 2
4
−5 − 1
1
−5 + 1
De oplossingen zijn: a1 =
= −1 en a2 =
= −1
4
2
4
a1,2 =
j Los op: b2 = 5b + 3 ⇔ b2 − 5b − 3 = 0
b1,2 =
2
−b ± b2 − 4ac 5 ± ( −5) − 4 ⋅ 1 ⋅ −3 5 ± 37
=
=
2a
2 ⋅1
2
De oplossingen zijn: b1 =
5 − 37
5 + 37
en b2 =
2
2
k Los op: − 2m 2 − 11m = 15 ⇔ −2m 2 − 11m − 15 = 0 ⇔ 2m 2 + 11m + 15 = 0
−b ± b2 − 4ac −11 ± 112 − 4 ⋅ 2 ⋅ 15 −5 ± 1
=
=
2a
2⋅2
4
1
−5 − 1
−5 + 1
De oplossingen zijn: m1 =
= −1 en m2 =
= −1
4
2
4
m1,2 =
l 2n 2 − 11n = 5 ⇔ 2n 2 − 11n − 5 = 0
2
−b ± b 2 − 4ac 11 ± ( −11) − 4 ⋅ 2 ⋅ −5 11 ± 141
=
=
2a
2⋅2
4
11 1
11 1
De oplossingen zijn: n1 = −
141 en n2 = +
141
4 4
4 4
n1,2 =
9 a x2 + 2 x + 3 = 0
D = b2 − 4ac = 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = −8 < 0
Dus de vergelijking heeft geen oplossingen.
b Los op: x 2 + 2 x − 4 = 0
x1,2 =
−b ± b2 − 4ac −2 ± 22 − 4 ⋅ 1 ⋅ −4 −2 ± 20
2 1
=
=
=− ±
4 5
2a
2 ⋅1
2
2 2
De oplossingen zijn: x1 = −1 + 5 en x2 = −1 − 5
c Los op: 3x 2 + 5 x − 2 = 0
−b ± b2 − 4ac −5 ± 52 − 4 ⋅ 3 ⋅ −2 −5 ± 49 −5 ± 7
=
=
=
2a
2⋅3
6
6
12
2 1
De oplossingen zijn: x1 = − = −2 en x2 = =
6
6 3
x1,2 =
d Los op: 2x 2 + 7 x + 1 = 0
−b ± b2 − 4ac −7 ± 7 2 − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 −7 ± 41
=
=
2a
2⋅2
4
7 1
7 1
De oplossingen zijn: x1 = − −
41 en x2 = − +
41
4 4
4 4
x1,2 =
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
3
7 – Tweedegraads functies
e 7t = 5t 2 + 3 ⇔ 5t 2 − 7t + 3 = 0
D = b2 − 4ac = ( −7 ) − 4 ⋅ 5 ⋅ 3 = 49 − 60 = −11 < 0
Dus de vergelijking heeft geen oplossingen.
2
f Los op: 8v = 5v 2 + 3 ⇔ 5v 2 − 8v + 3 = 0
−b ± b 2 − 4ac − − 8 ± ( −8) − 4 ⋅ 5 ⋅ 3 8 ± 4 8 ± 2
v1,2 =
=
=
=
2a
2⋅5
10
10
6 3
10
De oplossingen zijn: v1 =
= en v2 = = 1
10 5
10
2
g Los op: s 2 + 8s − 3 = 2s 2 ⇔ − s 2 + 8s − 3 = 0
s1,2 =
−b ± b2 − 4ac −8 ± 82 − 4 ⋅ −1 ⋅ −3 −8 ± 52 −8 ± 4 13
=
=
=
2a
2 ⋅ −1
−2
−2
De oplossingen zijn: s1 = 4 + 13 en s2 = 4 − 13
h Los op: a 2 = 4a + 3 ⇔ a 2 − 4a − 3 = 0
−b ± b2 − 4ac − − 4 ± ( −4 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ −3 4 ± 28 4 ± 4 7
=
=
=
2a
2 ⋅1
2
2
De oplossingen zijn: a1 = 2 + 7 en a2 = 2 − 7
2
a1,2 =
i
j
1 2
b +b+3=0
2
1
D = b2 − 4ac = 12 − 4 ⋅ ⋅ 3 = −5 < 0, dus er zijn geen oplossingen.
2
Los op:
1 2
1
p + 4 = p + 1 ⇔ p2 − p + 3 = 0
3
3
1
D = b2 − 4ac = (−1) 2 − 4 ⋅ ⋅ 3 = −3 < 0, dus er zijn geen oplossingen.
3
Los op:
k Los op: 2q 2 − q = 2q − 1 ⇔ 2q 2 − 3q + 1 = 0
−b ± b2 − 4ac 3 ± ( −3) − 4 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ± 1 3 ± 1
q1,2 =
=
=
=
2a
2⋅2
4
4
3 −1 1
3+1
De oplossingen zijn: q1 =
= en q2 =
=1
4
2
4
2
l Los op: r 2 + 5r − 1 = 0
−b ± b2 − 4ac −5 ± 52 − 4 ⋅ 1 ⋅ −1 −5 ± 29
=
=
2a
2 ⋅1
2
5 1
5 1
De oplossingen zijn: r1 = − −
29 en r2 = − +
29
2 2
2 2
r1,2 =
10 a Los op: x 2 − 30 = 0 ⇔ x 2 = 30
De oplossingen zijn: x1 = 30 en x2 = − 30
b Los op: x 2 − 24 = 0 ⇔ x 2 = 24
De oplossingen zijn: x1 = 24 = 2 6 en x2 = − 24 = −2 6
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
4
7 – Tweedegraads functies
c Los op: ( x − 3)( x − 5) = −1
⇔ x 2 − 3x − 5 x + 15 + 1 = 0
⇔ x 2 − 8x + 16 = 0
⇔ ( x − 4 )( x − 4 ) = 0
⇔ x−4=0
⇔ x=4
d Los op: ( x − 3)( x − 5) = 1
⇔ x 2 − 3x − 5 x + 15 − 1 = 0
⇔ x 2 − 8 x + 14 = 0
−b ± b2 − 4ac − − 8 ± ( −8) − 4 ⋅ 1 ⋅14 8 ± 8 8 ± 4 2 8 ± 2 2
x1,2 =
=
=
=
=
2a
2 ⋅1
2
2
2
De oplossingen zijn: x1 = 4 + 2 en x2 = 4 − 2
2
e Los op: x ( x − 3) = 3
⇔ x 2 − 3x − 3 = 0
−b ± b2 − 4ac − − 3 ± ( −3) − 4 ⋅ 1 ⋅ −3 3 ± 21
=
=
x1,2 =
2a
2 ⋅1
2
1 1
1 1
De oplossingen zijn: x1 = 1 +
21 en x2 = 1 −
21
2 2
2 2
2
f Los op: x ( x + 5) = 2
⇔ x2 + 5 x − 2 = 0
−b ± b2 − 4ac −5 ± 52 − 4 ⋅1 ⋅ −2 −5 ± 33
=
=
2a
2 ⋅1
2
1 1
1 1
De oplossingen zijn: x1 = −2 +
33 en x2 = −2 −
33
2 2
2 2
x1,2 =
g Los op: ( t − 1)( t + 5 ) − 2 = 0
⇔ t 2 − t + 5t − 5 − 2 = 0
⇔ t 2 + 4t − 7 = 0
−b ± b2 − 4ac −4 ± 42 − 4 ⋅ 1 ⋅ −7 −4 ± 44 −4 ± 4 11
=
=
=
2a
2 ⋅1
2
2
De oplossingen zijn: x1 = −2 − 11 en x2 = −2 + 11
x1,2 =
h Los op: ( p − 1)( p + 1) + 2 = 0
⇔ p2 − 1 + 2 = 0
⇔ p2 + 0 ⋅ p + 1 = 0
D = b2 − 4ac = 02 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = −4 < 0
Dus de vergelijking heeft geen oplossingen.
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
5
7 – Tweedegraads functies
i Los op: a ( a + 1) = a + 2
⇔ a2 + a − a − 2 = 0
⇔ a2 − 2 = 0
⇔ a2 = 2
De oplossingen zijn a1 = − 2 en a2 = 2
j Los op: ( b + 1)( b − 1) = −5
⇔ b2 − 1 + 5 = 0
⇔ b2 + 4 = 0
Er zijn geen oplossingen, want kwadraat +4 is altijd ≥ 4.
k Los op: 3q ( 2 − q ) = 3q − 1
⇔ −3q 2 + 3q + 1 = 0
2
−b ± b2 − 4ac −3 ± ( −3) − 4 ⋅ −3 ⋅ 1 −3 ± 21
=
=
−6
2a
2 ⋅ −3
1 1
1 1
De oplossingen zijn: q1 = −
21 en q2 = +
21
2 6
2 6
q1,2 =
l Los op: r ( 2 − r ) = r 2 + 2 ⇔ −2r 2 + 2r − 2 = 0 ⇔ r 2 − r + 1 = 0
D = b2 − 4ac = ( −1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = −3 < 0, dus er zijn geen oplossingen.
11 a 1 2
x + x +1 = 0
2
1
D = b2 − 4ac = 12 − 4 ⋅ ⋅ 1 = −1 < 0
2
De vergelijking heeft geen oplossingen.
b 2 2
x − 3x + 5 = 0
5
2
D = b2 − 4ac = ( −3) 2 − 4 ⋅ ⋅ 5 = 1 > 0
5
De vergelijking heeft twee oplossingen:
x1 =
c
x2 +
5
1
5
−b − D 3 − 1
−b + D 3 + 1
=
= 2 ⋅ = 2 en x' 2 =
=
= 4⋅ = 5
2
2
2a
4
2
2a
4
2⋅
2⋅
5
5
1
x +1 = 0
2
2
3
1
D = b − 4ac =   − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = −3 < 0
4
2
De vergelijking heeft geen oplossingen.
2
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
6
7 – Tweedegraads functies
d
x2 +
1
x −1 = 0
2
2
1
1
D = b2 − 4ac =   − 4 ⋅ 1 ⋅ −1 = 4 > 0
2
4
 
De vergelijking heeft twee oplossingen:
−b − D
=
x1 =
2a
1
17
1
17
− −
− +
2
4 = − 1 − 1 17 en x == −b + D = 2
4 = − 1 + 1 17
'2
2 ⋅1
4 4
2a
2 ⋅1
4 4
e 2 x 2 = 3x + 4 ⇔ 2 x 2 − 3x − 4 = 0
D = b2 − 4ac = ( −3) − 4 ⋅ 1 ⋅ −4 = 25 > 0
2
De vergelijking heeft twee oplossingen:
x1 =
−b − D 3 − 25 3 − 5
−b + D 3 + 5
1
=
=
=
=2
= − en x' 2 ==
2a
2⋅2
4
2
2a
4
f 3x 2 = x − 1 ⇔ 3x 2 − x + 1 = 0
D = b2 − 4ac = ( −1) − 4 ⋅ 3 ⋅ 1 = −11 < 0
2
De vergelijking heeft geen oplossingen.
g 1 2 3
1
3
x = x − 2 ⇔ x2 − x + 2 = 0
3
4
3
4
2
1
 3
D = b − 4ac =  −  − 4 ⋅ ⋅ 2 < 0
3
 4
De vergelijking heeft geen oplossingen.
2
h
x2 =
1
1
x + 1 ⇔ x2 − x − 1 = 0
5
5
2
1
 1
D = b2 − 4ac =  −  − 4 ⋅ 1 ⋅ −1 = 4 > 0
5
25


De vergelijking heeft twee oplossingen:
1
101 1 1
−
− 101
−b − D 5
−b + D 1 1
1 1
25
5
5
=
=
= −
= +
x1 =
101 en x' 2 =
101
2a
2 ⋅1
2
10 10
2a
10 10
i 2 x = x2 + 3 ⇔ x2 − 2 x + 3 = 0
D = b2 − 4ac = ( −2 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ 3 = −8 < 0
2
De vergelijking heeft geen oplossingen.
j 1
1
x = x2 − 1 ⇔ x 2 − x − 1 = 0
2
2
2
1
 1
D = b2 − 4ac =  −  − 4 ⋅ 1 ⋅ −1 = 4 > 0
4
 2
De vergelijking heeft twee oplossingen:
1
17 1 1
−
17
−
1 1
−b − D 2
−b + D 1 1
4 =2 2
x1 =
=
= −
17 en x' 2 =
= +
17
2a
2 ⋅1
2
4 4
2a
4 4
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
7
7 – Tweedegraads functies
k
1
1
⇔ x2 − 4x + = 0
2
2
1
2
2
D = b − 4ac = ( −4 ) − 4 ⋅ 1 ⋅ = 14 > 0
2
De vergelijking heeft twee oplossingen:
4 x = x2 +
x1 =
l
−b − D 4 − 14
−b + D
1
1
=
= 2−
=2+
14 en x' 2 =
14
2a
2 ⋅1
2
2a
2
1
1
⇔ 2 x 2 − 3x + = 0
4
4
1
2
2
D = b − 4ac = ( −3) − 4 ⋅ 2 ⋅ = 7 > 0
4
De vergelijking heeft twee oplossingen:
3x = 2 x 2 +
x1 =
−b − D 3 − 7 3 1
−b + D 3 1
=
= −
= +
7 en x' 2 =
7
2a
2⋅2
4 4
2a
4 4
© Noordhoff Uitgevers
Uitwerkingen
8

スライド 1

Extra Oefening Hs1 Exponentiële en Logaritmische Functies

4.3 - mathonline