ホモロジー群とその応用
平岡 裕章
広島大学理学研究科
講義内容
1. トポロジーとは？
2. ホモロジー群入門
3. 情報通信分野へ応用してみよう
--- R. Ghrist(Pennsylvania大学)の研究紹介
講義のスライドが欲しい人は：
http://www.mis.hiroshima-u.ac.jp/~hiraoka/
の classページ へ
1. トポロジーとは？
幾何学：ものの形を研究する数学の分野
図形の分類の仕方は基準の定め方によって様々
基準「合同」：図形が重なり合うときは同じとみなす
∼
=
∼
=
�
∼
=
基準「相似」：スケールをかえて重なり合う図形は
同じとみなす
∼
=
∼
=
�
代数的（定量的）には，，，
合同：図形が重なり合うときは同じとみなす
∼
�
=
①
３辺の長さが同じ３角形は同じと見なす
∼
=
∼
=
相似：スケールをかえて重なり合う図形は同じとみなす
∼
=
∼
=
�
②
２組の角が同じ３角形は同じと見なす
①や②は代数的不変量とよばれるものの例
それぞれの代数的不変量を調べることで図形の分類が可能
トポロジー：幾何学の１分野でその基準は
「切り貼りせずに連続的に変形させて重なり合う
図形は同じものとみなす」
で与えられます
∼
=
∼
=
∼
=
�
∼
=
∼
=
�
∼
=
∼
=
トポロジー ＝ 切り貼りしない連続変形はOK！
疑問：何でもありって感じの世界だけど，そんな世界
で不変な量ってあるの？
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
∼
=
連結成分
わっか
空洞
1
0
0
2
0
0
1
1
0
1
0
1
連結成分，わっか，空洞の数は不変量だ！
連結成分，わっか，空洞：もののつながり方を表す量
０次元の「穴」：連結成分
１次元の「穴」：わっか
２次元の「穴」：空洞
トポロジー：各次元の「穴」を不変にする変形で
重なり合う図形は同じと見なす
不満：あまりにも「穴」の定義があいまいだ、、、
正確な定義 ＝ 代数化（定量化）
ホモロジー群
ホモロジー群とは
X
幾何学的対象 に対して
H0 (X) = Rk0
H1 (X) = Rk1
k0：連結成分の数
k1：わっかの数
Hq (X) = Rk2
k2：空洞の数
Hq (X) = Rkq
kq：q次元の「穴」の数
を表す，代数的な道具（現代数学に必須！）
H0 ( 西浦先生 ) = R
H1 ( 西浦先生 ) = R36
10
H0 (
)=R
H1 (
) = R847
H2 (
)=0
今日の目標１：ホモロジー群を定義してみよう
問題点：「穴」に着目した代数化（定量化）をどうする？
「穴」は何によって特徴づけられている
かを考え直す必要あり
「穴」の次元も反映されるべき
今日の目標２：ホモロジー群の応用例を見てみよう
センサーネットワーク（工学）への応用
R. Ghrist(Pennsylvania大学)の研究紹介
数学記号の準備
R：実数の集まり
ある性質 P を持ったものの集まりを集合とよぶ
X = {x | x は P を満たす }
x が の要素であるとき と表す
x∈X
X
Rn = {(x1 , · · · , xn ) | xi ∈ R, i = 1, · · · , n}
�
�
2
1
2
2
S = (x1 , x2 ) ∈ R | x1 + x2 = 1
X
Y Y ⊂ X と表す
集合 の部分集合 を S 1 ⊂ R2
和集合 X1 ∪ X2 = {x | x ∈ X1 or x ∈ X2 }
共通部分 X1 ∩ X2 = {x | x ∈ X1 and x ∈ X2 }
R3
x2
S1
1
x1
x Y
X
の各要素 に のある要素を１つ対応させる
f X
Y
ルール を から への写像といい
f :X→Y
x∈X y∈Y
で表す．また が に写されるとき
f : X � x �→ y ∈ Y
と表す．
f : R � x �→ (x, x2 ) ∈ R2
x2
x1
x∈X
f : X → Y, g : Y → Z について に
２つの写像 f g
g(f (x)) ∈ Z を対応させる写像を と の合成写像といい
(g ◦ f )(x) = g(f (x))
g ◦ f で表す； ∀ ：任意の
２．ホモロジー群入門
ホモロジー群：連結成分，わっか，空洞を代数的に 扱う道具
ホモロジー群の導入の流れ
単体複体
（多面体）
代数化
幾何学的対象
穴の情報抽出
鎖複体
(chain complex)
代数的対象
ホモロジー群
2.1 単体複体（多面体）
Ω
R
Ω
十分大きな (自然数)が定める 内で考える
大雑把に言うと単体複体とは
点
辺
三角形
四面体
三角形の
高次元版
をズレないように張り合わせてできる
図形のこと
そこでまずは三角形の一般化（高次元化）を考えよう
Xが凸集合 任意のXの２点間を結ぶ直線もXに含まれる
x
∀x, y ∈ X に対して
λx + (1 − λ)y ∈ X, 0 ≤ ∀λ ≤ 1
が成立
y
v2
v0
v3
v1
v0 , v1 , v2 , v3 を含む
同一平面上にない４点 (#3)
最小の凸集合
三角形 (2次元)
v2
v0
v1
v0 , v1 , v2
同一直線上にない３点 を含む
(#2)
最小の凸集合
四面体 (3次元)
n次元三角形：(#n)を含む最小の凸集合
v2
v0
三角形
(#2)
v2
v0
四面体
(#3)
v1
v0 , v1 , v2
同一直線上にない３点 を含む
(#2)
最小の凸集合
−
→
−
−→
v−
v
=
a
v
0 1
0 v2 , a ∈ R, と表されない
→
−
−→
a1 −
v−
v
+
a
v
a1 , a2 ∈ R
0 1
2 0 v2 = 0 を満たす は
a1 = a2 = 0 に限る
v3
v1
v0 , v1 , v2 , v3 を含む
同一平面上にない４点 (#3)
最小の凸集合
−
→
−
−→
−
−→
v−
v
,
v
v
,
v
0 1 0 2 0 v3 の一つのベクトルが残りのベクトル
を使って表されない
→
−
−→
−
−→
a1 −
v−
v
+
a
v
v
+
a
v
0 1
2 0 2
3 0 v3 = 0 を満たす a1 , a2 , a3 ∈ R
は a1 = a2 = a3 = 0 に限る
一般の位置にある３点 v0 , v1 , v2
→
−
−→
a1 −
v−
v
+
a
v
a1 , a2 ∈ R
0 1
2 0 v2 = 0 を満たす は
a1 = a2 = 0 に限る
(#2)
一般の位置にある４点 v0 , v1 , v2 , v3
→
−
−→
−
−→
a1 −
v−
v
+
a
v
v
+
a
v
0 1
2 0 2
3 0 v3 = 0 を満たす a1 , a2 , a3 ∈ R
は a1 = a2 = a3 = 0 に限る
(#3)
一般の位置にある(n+1)点 v0 , · · · , vn
→
−
−v→ = 0
a1 −
v−
v
+
·
·
·
+
a
v
を満たす a1 , · · · , an ∈ R
0 1
n 0 n
は a1 = · · · = an = 0 に限る
(#n)
v2
v0
v3
v1
v0 , v1 , v2 , v3 を含む
同一平面上にない４点 (#3)
最小の凸集合
三角形 (2次元)
v2
v0
v1
v0 , v1 , v2
同一直線上にない３点 を含む
(#2)
最小の凸集合
四面体 (3次元)
n次元三角形
(#n)を含む最小の凸集合
v2
v0 , v1 , v2
一般の位置にある３点 を含む
v0
v1
最小の凸集合
v3
v1
v0 , v1 , v2 , v3 を含む
一般の位置にある４点 v1 v2 |
|v0(2次元)
2単体
三角形
v2
v0
v1 v2 v3 |
|v0(3次元)
3単体
四面体
n単体
|v0 · · · vn |
n = n単体の次元
最小の凸集合
v0 , · · · , vn
一般の位置にある(n+1)点 を含む
最小の凸集合：
{λ0 v0 + · · · + λn vn | λ0 + · · · + λn = 1, λi ≥ 0}
注意）０単体＝点，１単体＝辺，２単体＝三角形，３単体＝四面体
σ = |v0 · · · vn | から異なる(m+1)個の頂点 vi0 , · · · , vim
n単体 を選ぶと，それらは一般の位置にあるので m単体
τ
τ = |vi0 · · · vim |
を定める．この を面単体とよび
τ ≺σ
で表す．
例）σ = |v0 v1 v2 |：２単体
v2
|v0 v1 v2 | ≺ σ
v0
三角形
v1
|v0 v1 |, |v0 v2 |, |v1 v2 | ≺ σ
|v0 |, |v1 |, |v2 | ≺ σ
では単体複体の定義を与えます．思い出しておくと，，，
大雑把に言うと単体複体とは
点
辺
三角形
四面体
をズレないように張り合わせてできる
図形のこと
でした．
n単体
三角形の
高次元版
定義（単体複体）：
内の有限個の単体の集まり
K が次の条件を満たすとき
RΩ
単体複体とよぶ：
τ ≺σ
σ ∈ K ならば全ての面単体 も
τ ∈K
(1) σ, τ ∈ K かつ ならば かつ
σ ∩ τ �= ∅
σ∩τ ≺τ
σ∩τ ≺σ
(2) Kに含まれる単体の次元の最大値をKの次元とよぶ．
単体複体 Kが定める多面体 |K| :=
例１） v2
v0
�
σ∈K
σ ⊂ RΩ
K2 = {|v0 v1 v2 |, |v0 v1 |, |v0 v1 |, |v1 v2 |, |v0 |, |v1 |, |v2 |}
|K2 | = 三角形
v1
は単体複体
Kn = n単体の全ての面 } は単体複体
より一般に {
定義（単体複体）：
内の有限個の単体の集まり
K が次の条件を満たすとき
RΩ
単体複体とよぶ：
τ ≺σ
σ ∈ K ならば全ての面単体 も
τ ∈K
(1) σ, τ ∈ K かつ ならば かつ
σ ∩ τ �= ∅
σ∩τ ≺τ
σ∩τ ≺σ
(2) Kに含まれる単体の次元の最大値をKの次元とよぶ．
v2
例2）
v0
v2
v3
v4
v1
K = K2 ∪ {|v3 v4 |, |v3 |, |v4 |}
は単体複体ではない
∵ |v1 v2 | ∩ |v3 v4 | = |v4 |
|v1 v2 |
が の面単体ではない
v0
v3
v4
v1
とすれば単体複体になる
m切片 K (m)：次元がm以下の の単体の集まり
K
K (m) ⊂ K
m切片自身単体複体になる（ ）
L ⊂ K が単体複体になるとき を部分単体複体
部分集合 L
とよぶ
v2
例） v2
v0
三角形
v1
v0
(1)
K2
v1
= {|v0 v1 |, |v0 v1 |, |v1 v2 |, |v0 |, |v1 |, |v2 |}
K2 の1切片
は 単体の向きについて：
同じ2単体でも頂点の並べ方は 6=3! 通り
v2
|v0 v1 v2 |, |v1 v2 v0 |, |v2 v0 v1 | ：互いに偶数回の互換で
移り合うグループ
v0
三角形
v1 |v v v |, |v v v |, |v v v |
0 2 1
1 0 2
2 1 0 ：互いに偶数回の互換で
移り合うグループ
注意）互換とは２つの頂点を入れ換える操作のこと
同じグループに所属する並べ方は同じ向きをもつとみなす
v2
�v0 v1 v2 � = �v1 v2 v0 � = �v2 v0 v1 �
�v0 v2 v1 � = �v1 v0 v2 � = �v2 v1 v0 �
v0
v0
v2
v1
v1
注意）１つの単体には２つの向きが入ることになる
今後単体の向き（頂点の順序）を考慮するときは＜＞を使う
単体の向きについて：
v0 , · · · , vn が定めるn単体の場合も同様 (並べ方は (n + 1)! 個)
(n + 1)!/2
�v0 v1 v2 · · · vn � が定める向き（ 個の並べ換え）
(n + 1)!/2
�v1 v0 v2 · · · vn � が定める向き（ 個の並べ替え）
例）
1単体：
v0
v1
v0
�v0 v1 �
v0
v1
�v1 v0 �
v0
v3
3単体：
v1
v2
�v0 v1 v2 v3 �
v3
v1
v2
�v0 v1 v3 v2 �
2.2 鎖複体（chain complex）
ホモロジー群の導入の流れ
単体複体
（多面体）
幾何学的対象
代数化
穴の情報抽出
鎖複体
(chain complex)
ホモロジー群
代数的対象
次は穴に着目した代数化を行いたい！
が、そもそも穴って何だ？どうやって
定式化する？？
１次元の穴：わっか
1次元図形は境界がなければ「わっか」？
わっかなし
わっかあり
そうでもない
わっかなし
境界あり
境界なし
1次元図形 には境界がないが
２次元図形 の境界になっているので
わっかが消失！
１次元の穴（わっか）の特徴付け
境界のない１次元図形で２次元図形の境界になって
いないもの
り
2次元図形は境界がなければ「空洞」？
空洞なし
中
そうでもない
空洞あり
境界あり
身
あ
中
身
な
し
２次元の穴：空洞
境界なし
空洞なし
２次元図形には境界がないが
３次元図形の境界になっているので
空洞が消失！
２次元の穴（空洞）の特徴付け
境界のない２次元図形で３次元図形の境界になって
いないもの
１次元の穴（わっか）の特徴付け
境界のない１次元図形で２次元図形の境界になって
いないもの
２次元の穴（空洞）の特徴付け
境界のない２次元図形で３次元図形の境界になって
いないもの
q 次元の「穴」の特徴付け
境界のない q次元図形で(q+1)次元図形の境界に
なっていないもの
KEYWORD：境界
ホモロジー群のこころ
境界に着目した定式化を行うことで穴を代数化する
目標：境界に着目した代数化を行う
K：単体複体（n次元）
定義： q 鎖群
Cq (K) :=
��
Cq (K) := 0,
�
αi vi0 · · · viq
q < 0, q > n
�
| αi ∈ R,
�
�
�
vi0 · · · viq ：Kの q 単体 0 ≤ q ≤ n
� �
�
vi0 · · · viq , vj0 · · · vjq
ただし異なる向きを持つ２つの単体 は
�
�
�
�
vi0 · · · viq = − vj0 · · · vjq とする
Cq (K)
�
q
の元を 鎖とよぶ
注意）各次元でスライスした形で代数化を行っている
演算（たし算とひき算）は各単体の向きによって導かれている
目標：境界に着目した代数化を行う
K：単体複体（n次元）
定義： q 鎖群
Cq (K) :=
��
Cq (K) := 0,
�
αi vi0 · · · viq
q < 0, q > n
�
| αi ∈ R,
�
�
�
vi0 · · · viq ：Kの q 単体 0 ≤ q ≤ n
� �
�
vi0 · · · viq , vj0 · · · vjq
ただし異なる向きを持つ２つの単体 は
�
�
�
�
vi0 · · · viq = − vj0 · · · vjq とする
Cq (K)
例）
v0
�
q
の元を 鎖とよぶ
v2
三角形
K2 = {|v0 v1 v2 |, |v0 v1 |, |v0 v1 |, |v1 v2 |, |v0 |, |v1 |, |v2 |}
v1
C2 (K2 ) � �v0 v1 v2 � + �v0 v1 v2 � = 2 �v0 v1 v2 � = −2 �v1 v0 v2 �
C1 (K2 ) � 3 �v0 v1 � + 2 �v2 v3 � = 3 �v0 v1 � − 2 �v3 v2 �
境界を代数的にとりだしてみよう！
v2
例）
境界は �v1 v2 � + �v2 v0 � + �v0 v1 � ∈ C1 (K2 )
v0
除く
= �v1 v2 � − �v0 v2 � + �v0 v1 �
v1
= (−1)0 �v�0 v1 v2 � + (−1)1 �v0 v�1 v2 � + (−1)2 �v0 v1 v�2 �
�v0 v1 v2 � ∈ C2 (K2 )
=: ∂2 �v0 v1 v2 � （と表すことにする）
∂2 : C2 (K2 ) → C1 (K2 )
この例を一般化すると，，，
�
�
∂q vi0 · · · viq :=
∂q
��
�
�
q
�
l=0
vi0 · · · viq + vj0 · · · vjq
∈
∈
定義：境界作用素 ∂q : Cq (K) → Cq−1 (K)
�
�
�
�
vi0 · · · viq �→ ∂q vi0 · · · viq
�
(−1) vi0 · · · v�
il · · · viq
l
��
�
�
�
�
= ∂q vi0 · · · viq + ∂q vj0 · · · vjq
�
境界の特徴の１つ：境界の境界は空集合
境界
境界
∅（空集合）
境界作用素は同様の性質を保っている？
命題： ∂q−1 ◦ ∂q = 0
∂q
∂q−1
ここで左辺は写像の合成 Cq (K) −→ Cq−1 (K) −→ Cq−2 (K)
注意）代数的に「境界の境界は空集合」を表現している
∂2
∂1
q = 2 で確認：C2 (K) −→
C1 (K) −→
C0 (K)
∂1 ◦ ∂2 �v0 v1 v2 � = ∂1 (�v1 v2 � − �v0 v2 � + �v0 v1 �)
= ∂1 �v1 v2 � − ∂1 �v0 v2 � + ∂1 �v0 v1 �
= �v2 � − �v1 � − �v2 � + �v0 � + �v1 � − �v0 � = 0
q
宿題：一般の でも証明してみましょう
2.3 ホモロジー群
ホモロジー群の導入の流れ
単体複体
（多面体）
幾何学的対象
代数化
穴の情報抽出
鎖複体
(chain complex)
ホモロジー群
代数的対象
q 次元の「穴」
境界のない q次元図形で(q+1)次元図形の境界に
なっていないもの
q 次元の「穴」
境界のない q次元図形で(q+1)次元図形の境界に
①
②
なっていないもの
①を代数的に表すと
Zq (K) := {c ∈ Cq (K) | ∂q c = 0} サイクルとよぶ
②を代数的に表すと
Bq (K) := {c ∈ Cq (K) | c = ∂q+1 c� , c� ∈ Cq+1 (K)}
バウンダリとよぶ
∂q−1 ◦ ∂q = 0 より Bq (K) ⊂ Zq (K) ⊂ Cq (K)
命題 q 次元の「穴」
境界のない q次元図形で(q+1)次元図形の境界に
①
②
なっていないもの
③
よって q次元の「穴」を代数的に表現すると
Zq (K)
Bq (K)
「 に対して を零にする操作で生き残るもの」
①
②
Q
（操作を と表す）
③
�
�
z
=
z
+
b,
z,
z
∈ Zq (K), b ∈ Bq (K)
すると に対して
Q(z � ) = Q(z) + Q(b) = Q(z)
Zq (K)の中で違いが である要素ごとにグループ分け
Bq (K)
した各グループがq次元の「穴」を表現することになる
定義：ホモロジー群
Hq (K) := Q(Zq (K)) = Zq (K)/Bq (K)
= {[z] | z ∈ Zq (K)}
[z] は が所属するグループを表す
z
ここで をq次元ホモロジー群とよぶ
注意１）q次元ホモロジー群は「q次元の穴」を代数的に表します
H0 (K)：連結成分
H1 (K)：わっか
H2 (K)：空洞
[z] + [z � ] := [z + z � ]
Hq (K)
注意２） 上での演算 は幾何学的な穴の
操作としての意味をもちます
∂
1
鎖複体 0 → C1 → C0 → 0
例） v2
v0
v1
C0 = {α0 �v0 � + α1 �v1 � + α2 �v2 � | αi ∈ R}
C1 = {β0 �v0 v1 � + β1 �v1 v2 � + β2 �v0 v2 � | βi ∈ R}
∂1 �v0 v1 � = �v1 � − �v0 �
∂1 �v1 v2 � = �v2 � − �v1 �
∂1 �v0 v2 � = �v2 � − �v0 �
まとめて書くと（行列表示）
−1
0 −1
0
∂1 (�v0 v1 � �v1 v2 � �v0 v2 �) = (�v0 � �v1 � �v2 �) 1 −1
0
1
1
Z1 � β0 �v0 v1 � + β1 �v1 v2 � + β2 �v0 v2 �
0 = ∂1 (β0 �v0 v1 � + β1 �v1 v2 � + β2 �v0 v2 �)
= β0 ∂1 �v0 v1 � + β1 ∂1 �v1 v2 � + β2∂1 �v0 v2 �
β0
= (∂1 �v0 v1 � ∂1 �v1 v2 � ∂1 �v0 v2 �) β1
β2
−1
0 −1
β0
0 β1
= (�v0 � �v1 � �v2 �) 1 −1
0
1
1
β2
例）
v0
∂
1
鎖複体 0 → C1 → C0 → 0
v2
v1
C0 = {α0 �v0 � + α1 �v1 � + α2 �v2 � | αi ∈ R}
C1 = {β0 �v0 v1 � + β1 �v1 v2 � + β2 �v0 v2 � | βi ∈ R}
Z1 � β0 �v0 v1 � + β1 �v1 v2 � +β2 �v0 v2 �
−1
0 −1
β0
0 β1
0 = (�v0 � �v1 � �v2 �) 1 −1
0
1
1
β2
−1
0 −1
β0
1 −1
0 β1 = 0
同次連立１次方程式の解
0
1
1
β2
β0
1
よって
β1 = β 1
Z1 = {β(�v0 v1 � + �v1 v2 � − �v0 v2 �) | β ∈ R}
β2
−1
v2
一方 B1 = 0 (∵ ∂2 = 0)
ゆえに H1 = {β(�v0 v1 � + �v1 v2 � − �v0 v2 �) | β ∈ R}
わっかを代数的に表現！
v0
v1
3. 情報通信分野へ応用してみよう --- R. Ghristの研究紹介
昔のGhrist
R. Ghrist の紹介
アメリカの数学者
Pennsylvania大学教授
研究テーマ「トポロジーの工学への
応用」において顕著な成果をあげる
最近のGhrist
ホモロジー群のセンサーネットワーク
研究への応用を見てみよう
センサーネットワーク
センサー = sense + -er = 感知する + 装置
例）自動ドア，防犯センサー，iPadなどのタッチパネル
ネットワーク ＝ 点と線でつながっているもの（グラフ）
例）インターネット，人間関係，道路や鉄道網
センサーネットワーク：多数のセンサーを対象領域に
配置し，情報交換を行えるネットワークを構成したもの
制約条件：各センサーは低性能
「高価なセンサーをそぉっと配置するのではなく，１つや２つ
くらいなら潰れてもいい安いセンサーをバァッとバラまく」
という雰囲気
各センサーからの局所的な情報を統合して大域的な
情報を抽出する必要がある
研究テーマ
１．各センサーからくる膨大な情報の効率的な統合方法や
データ伝搬
２．どのような有益な情報を抜き出せるか（ 局所→大域 ）
領域被覆問題を考えてみよう！
領域被覆問題
対象領域 D
センサーの計測領域：B(xi ; rc )
xi 半径 rc の円板
中心 xi
領域被覆問題
対象領域 D
領域被覆問題： D ⊂
�
xi :sensor
B(xi ; rc ) ？
D
問題設定
D ⊂ R2
対象領域 は有界閉集合
D
の境界はその上のセンサーが定める区分線形な線分
P := {xi ∈ D | i = 1, · · · , N }：センサーの集合
rb ：通信半径（半径 円内にある他のセンサーと
rb
rb
通信可能．境界上の隣接センサー距離は 以下）
√
rc ：計測半径．rc ≥ rb / 3
�
U=
B(xi ; rc )：計測領域
xi ∈P
領域被覆問題：D ⊂ U ?
注意）各センサーの絶対位置の情報を仮定しない！
（GPSなどの高価な機材は積んでいない）
What s in Ghrist s Mind?
興味の対象は計測領域 U =
�
B(xi ; rc )
xi ∈P
�
しかし交わり B(xi ; rc ) B(xj ; rc ) を調べることは不可能
センサーは近傍のセンサーと 通信可能／不可能 はわかる
rb が定める）
（半径 Ghrist’s Strategy
センサーの通信ネットワークから抽象的な
単体複体を構成し，そのホモロジー群（穴）
情報から領域被覆状態を調べる
通信単体複体 K
頂点集合 K (0) := P
K � |vi vj |
vi , vj が通信可能
K � |vi vj vk |
どの２つのセンサー間でも通信可能
K � |vi0 · · · viq |
どの２つのセンサー間でも通信可能
1単体
vj
vi と 間距離が 以下
rb
2単体
q単体
通信ネットワーク
通信単体複体 K
注意）ここで現れた単体複体はVietoris-Rips複体という数学的な概念
領域被覆定理（de Silva & Ghrist）：
[σ] ∈ H2 (K, F ) が存在し となるならば
δ[σ] �= 0
D⊂U
（つまりセンサー達は領域を被覆している）
δ
→ H2 (K) → H2 (K, F ) → H1 (F ) → H1 (K) →
領域被覆定理（簡易版）： H1 (K) = 0 ならば D ⊂ U
注）通信単体複体に「わっか」がなければ領域被覆は達成されている
その他の話題
ターゲットカウント：各センサーの局所ターゲット数
から大域ターゲット数を計算できる？
Ghrist の解答： ターゲット数 ＝
χ(K) :=
dimK
�
�
hdχ
χ
ここで はオイラー数
(−1)q（Kに含まれるq単体の個数）
q=0
v2
v0
三角形
v1
χ=3−3+1=1
今日の話のまとめ
ものの形を大雑把に分類する「穴」について考えた
ホモロジー群という道具を使うと幾何学的な「穴」を
代数的に扱える
ホモロジー群は工学にも応用されつつある
参考資料
トポロジーの入門書
瀬山士郎，トポロジー：柔らかい幾何学，日本評論社
トポロジーの工学（ロボット，情報通信）への応用
R. Ghrist（Pennsylvania大学）のwebpage
http://www.math.upenn.edu/~ghrist/
ホモロジー群のソフトウェア
CHomP
http://chomp.rutgers.edu/
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