Opgave 1 a. De vertikale drukspanning σzz wordt bepaald door de

Opgave
1
a. De vertikale drukspanning σzz wordt bepaald door de superpositie van de spanning
veroorzaakt door de opgelegde kracht F = 101kN kN en de drukspanning tengevolge
van het eigengewicht. Deze is maximaal onderaan de buis waar het volledige gewicht
van de binnenbuis op de dwarsdoorsnede drukt.
4F
+ ρgL
π(0.522 − 0.52 )
4(101000)
=
+ (7850)(9.81)(1000)
π(0.522 − 0.52 )
= 6.3 + 77 = 83.3 [MPa]
σzz =
[Pa]
b. Voor F = 0 is de vertikale spanning σzz = ρ g L. Deze spanning bereikt de elasticiteitsgrens σY als σY = ρgL. De lengte L wordt dan
σY
385 × 106
=
ρg
(7850)(9.81)
= 4999.45 m ≈ 5 km
L =
c. Door gebruik te maken van de definitie van de lineaire rektensor en de gradi¨entoperator
in de cylindrische basis, wordt ε in dat punt gevonden als
~ u = (a − 1)~er ~er + (a + b − 1) ~eθ ~eθ
∇~
r
ε = (a − 1) ~er ~er + (a + rb − 1) ~eθ ~eθ
d. De spanningstensor σ wordt bepaald door
E
Eν
tr(ε)I +
ε
(1 + ν)(1 − 2ν)
1+ν
= 157500 tr(ε) I + 157500 ε [M P a]
4
σ = C :ε =
= (15.75 − 157.5) ~er ~er + (15.75 + 17.33) ~eθ ~eθ + 15.75 ~ez ~ez
= −141.75 ~er ~er + 33.08 ~eθ ~eθ + 15.75 ~ez ~ez
[M P a]
[M P a]
e. Als de spanningstensor gegeven is door σ = −100 ~er ~er +300 ~eθ ~eθ +50 ~ez ~ez
[M P a]
dan is de maximale afschuifspanning voor het Tresca criterium in dit geval gelijk aan
(σθθ − σrr ) = 400 MPa (de drie spanningen zijn ook de hoofdspanningen, want de
spanningstensor staat ook in spectraalvorm). Deze Tresca spanning is groter dan de
elasticiteitsgrens σY . De spanningstoestand is dus niet meer elastisch.
f. Als het von Mises criterium gebruikt wordt, dan is de equivalente von Mises spanning
q
3 d
d
σvm =
(1)
2σ : σ
q
1
2
2
2
=
(2)
2 ([σrr − σθθ ] + [σrr − σzz ] + [σθθ − σzz ] )
q
√
1
2
2
2
=
122500
(3)
2 (400 + 150 + 250 ) =
= 350 M P a
(4)
Deze von Mises spanning is ruim onder de elasticiteitsdrempel, waardoor de spanningstoestand nog wel elastisch blijft. Het Tresca criterium is duidelijk strenger dan
het von Mises criterium (het Tresca limietoppervlak in de hoofspanningsruimte ligt
geheel binnen het von Mises limietoppervlak).
g. Neen, de inversie van de binnenbuis naar de buitenbuis is duidelijk een probleem met
grote deformaties en grote rotaties. Hiertoe mag de tensor ε niet gebruikt worden.
Opgave
2
a.
De volumeveranderingsfactoren voor de chip en de underfill zijn respectievelijk gelijk aan
J chip = det(Fchip ) = 1.01,
J under = det(Funder ) = 1.1
Dus het verschil in volumeveranderingsfactor bedraagt |J chip − J under | = 0.09.
b.
De deformatietensor F relateert een materi¨eel lijnstukje in de referentietoestand aan het~ 0 . Voor
zelfde materi¨ele lijnstukje in de momentane (gedeformeerde) toestand: d~x = F ·dX
de lijnstukjes in het grensvlak volgt hiermee
~e = Fchip · ~e0 = Funder · ~e0 = α~e1 + β~e2 = ~e0
Hieruit kan geconcludeerd worden dat lijnstukjes in het grensvlak onder invloed van de
gegeven deformatie onveranderd blijven.
c.
De lineaire rektensor in de chip is gelijk aan
εchip =
1
2
Fchip + (Fchip )T − I = 0.01 ~e3 ~e3 + 0.05(~e2 ~e3 + ~e3~e2 )
d.
De spanningsvector op het grensvlak aan de zijde van de chip is gelijk aan
p~ chip = σchip · ~n chip = σ chip · (−~e3 ) = 30~e1 + 40~e2 + 20~e3 [MPa]
Voor de spanningsvector op de underfill geldt
p~ under = σ under · ~n under = σunder · ~e3 = −30~e1 − 40~e2 − 20~e3 [MPa]
Hieruit volgt dat p
~ chip = −~
p under en dus is aan evenwicht voldaan.
e.
Voor de gegeven spanningstoestanden bedraagt de schuifspanning op het grensvlak
p~s = ~
p chip − (~
p chip · ~n chip)~n chip = ~p under − (~
p under · ~n under )~n under
= − 30~e1 − 40~e2 [MPa]
ps = ||~
ps || = 50 [MPa]
Deze waarde is kleiner dan de grensvlaksterkte pmax
= 55[MPa], dus blijft het grensvlak
s
intact.
Opgave
3
a.
σ
2
σy0
1
0
ε
3
3σy0
2
1
0
3
ε
b.
δ0 = Lε0 = L
σy0
E
;
F0 = F0a + F0b = 2σy0 A
c.
δ1 = Lεb1 = 3L
σy0
E
d.
e.
εb2p = εb2 −
σy0
σy0
σy0
σ2b
=9
−3
=6
E
E
E
E
9σy0 σy0
EH
EH
E + 9H
0
a
a
=
−
−
σy0
ε2 − ε2
=
→ σ2 = σy0 +
E+H
E+H
E
E
E+H
4E + 12H
E + 9H
a
b
+ 3 σy0 A =
σy0 A
F2 = F2 + F2 =
E+H
E+H
σ2a
σ0a
f.
1
− = (σ3a − σ2a )
E
1 b
εb3 − εb2 =
σ3 − σ2b
E
εa3
εa2
εa = εb
2σ3b =
2E − 6H
σy0
E+H
→















σ3a
→
σ3b =
−
σ3a −
σ2a
=
σ3b
−
σ2b
→
E + 9H
σy0 = σ3b − 3σy0
E+H
σ3b = −σ3a
E − 3H
σy0
E+H















→

Download Report