Solid Mechanics (4MB00) Faculteit : Werktuigbouwkunde Datum

Solid Mechanics (4MB00)
Faculteit
Datum
Tijd
:
:
:
Werktuigbouwkunde
17 april 2014
9.00 - 12.00 uur
Dit tentamen bestaat uit 3 opgaven. De antwoorden moeten worden gegeven in de omlijnde
kaders op de opgavebladen. Deze worden allemaal, voorzien van naam en identiteitsnummer, ingeleverd. Kladpapier wordt niet nagekeken en hoeft dus niet te worden ingeleverd.
Het gebruik van boeken, laptop, gsm, grafische rekenmachine, dictaat en aantekeningen is
niet toegestaan. Het gebruik van een eenvoudige rekenmachine is toegestaan.
Voor de drie opgaven kunt u maximaal 100 punten scoren. De te behalen punten zijn bij
elke deelvraag vermeld.
Antwoorden worden na het tentamen gepubliceerd op
www.mate.tue.nl/∼piet/ → ”Solid Mechanics” → ”Tests and exams”.
Succes !!!!!!
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :
Opgave
1
Bij het boren naar een nieuwe oliebron wordt gebruik
gemaakt van verbuizingen (casings) die het boorgat
afsluiten van het omringende gesteente. Shell ontwikkelt op dit moment een nieuwe methode om een verbuizing met constante diameter tot op grote diepte
(tot meerdere kilometers) te installeren. De methode is gebaseerd op het inverteren van een stalen buis,
waarbij de rand van de buis axisymmetrisch omgebogen en verstrekt wordt, zodat de ’afgerolde’ buis een
grotere diameter heeft.
We beschouwen hier zo’n verbuizing. De binnenste
buis heeft een binnendiameter van 0.5 meter en een
buitendiameter van 0.52 meter. Na het inversieproces
ontstaat de buitenste buis (wat de uiteindelijke verbuizing is na plaatsing).
De buis is gemaakt van staal met een dichtheid van
7850 kg/m3 . De E-modulus voor staal gelijk is aan
210 GPa en de dwarscontractieco¨effici¨ent van Poisson
is 1/3. De elasticiteitsgrens (vloeispanning) σY van
het staal is 385 MPa.
a.
Op de binnenbuis wordt bovenaan een drukkracht F = 101 kN uitgeoefend. Het
eigengewicht van de buis mag niet verwaarloosd worden.
Wat is de maximale vertikale drukspanning σzz in de buiswand van de binnenbuis
voor een gegeven ondergrondse buislengte L = 1 km ?
(4)
Waar is deze drukspanning maximaal?
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :
(3)
b.
Voor welke lengte L van de buis zal de maximale drukspanning σzz in de binnenbuis
de elasticiteitsgrens σY bereiken onder de exclusieve invloed van het eigengewicht
van de binnenbuis (F = 0)?
(4)
Een belangrijke deformatiemode die bijdraagt tot het inversieproces is radiale expansie.
We bestuderen hier verder enkel dit type deformatie, beperkt tot lineaire elasticiteit, kleine
deformaties en dunne buizen. De verplaatsingsvector in een bepaald punt r, θ, z kan t.o.v.
een cylindrische basis {~er , ~eθ , ~ez } ge¨ıdealiseerd worden als
~u = [(a − 1)r + b] ~er
De getallen a en b zijn scalars die de hoeveelheid deformatie bepalen.
c.
Bepaal de lineaire rektensor ε in dit punt.
(5)
d.
Bepaal de spanningstensor veroorzaakt door de onderstaande rektensor
ε = −10−3~er~er + 11 × 10−4~eθ~eθ
als gegeven is dat het materiaalgedrag lineair elastisch is met als stijfheidstensor
4
C=
E
Eν
4 s
II +
I
(1 + ν)(1 − 2ν)
(1 + ν)
(5)
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :
e.
Als deze spanningstensor gelijk zou zijn aan
σ = −100 ~er ~er + 300 ~eθ ~eθ + 50 ~ez ~ez
[MPa]
is deze spanningstoestand dan nog elastisch op basis van het Tresca criterium?
(2)
Geef een uitwerking van uw antwoord.
(3)
f.
Verandert die conclusie op basis van het Von Mises criterium?
Zo ja, verklaar.
(2)
(3)
g.
Kan de lineare rektensor ε gebruikt worden voor de volledige deformatie van de
(2)
binnenbuis naar de buitenbuis?
Waarom wel, of waarom niet?
(2)
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :
Opgave
2
De zogenaamde “Flip Chip” technologie wordt veelvuldig toegepast om halfgeleider-componenten, zoals IC’s en MEMS, te verbinden met externe elektrische circuits. Een voorbeeld van een computer chip die op deze manier communiceert met de buitenwereld wordt
getoond in onderstaande (a). Kleine bolletjes soldeermateriaal (“solder balls”) worden
eerst aangebracht op speciaal daarvoor ingerichte geleidende vlakjes op de chip. De chip
wordt vervolgens omgedraaid (vandaar de naam van de technologie) en geplaatst op een
ondergrond (bijvoorbeeld een moederbord of een andere chip) waarop soortgelijke vlakjes zijn aangebracht, zodanig dat de soldeerbolletjes daarmee contact maken. Vervolgens
wordt het soldeermateriaal gesmolten om ook daadwerkelijk (elektrisch) contact te garanderen. De ruimte die overblijft tussen de soldeerbolletjes wordt tot slot gevuld met
een elektrisch isolerende lijm, die “underfill” wordt genoemd. De underfill garandeert een
sterkere mechanische verbinding en dient tevens als warmtegeleider. Een zijaanzicht van
een typische Flip Chip configuratie wordt getoond in de figuur (b).
underfill
chip
~e3
solder balls
chip
underfill
board
~e1
~e2
solder balls
(a)
(b)
De hechting van de verscheidene grensvlakken die onderscheiden kunnen worden in een
dergelijke component is een belangrijke bepalende factor voor de betrouwbaarheid van de
component als geheel. Als gevolg van het grote verschil in thermische uitzettingsco¨effici¨ent
tussen chip en underfill is met name het grensvlak tussen deze materialen kritiek; we
beschouwen daarom in deze opgave dit grensvlak.
De deformatietensor in de chip, F chip , en in de underfill, F under , kan in de nabijheid van
het grensvlak homogeen worden verondersteld en wordt ten opzichte van de Cartesische
basis {~e1 , ~e2 , ~e3 } (zie figuur (b) ) respectievelijk gegeven door
F chip = ~e1~e1 + ~e2~e2 + 1.01 ~e3 ~e3 + 0.1 ~e2 ~e3
F under = ~e1~e1 + ~e2~e2 + 1.1 ~e3 ~e3 + 0.05 ~e1 ~e3 + 0.05 ~e2 ~e3
a.
Bepaal het verschil tussen de volumeveranderingsfactoren J in de chip en in de
underfill.
(5)
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :
Beschouw alle materi¨ele lijnstukjes die zich in het grensvlak bevinden. Deze lijnstukjes
kunnen in de onvervormde toestand beschreven worden met behulp van de eenheidsvector
~e0 = α~e1 + β~e2 , met α2 + β 2 = 1.
b.
Laat zien dat de deformatietoestand in de chip en de underfill zodanig is dat materi¨ele lijnstukjes in het grensvlak niet van richting en lengte veranderen.
(5)
c.
Bereken de lineaire rektensor in de chip εchip .
(6)
De spanningstensor in de chip en in de underfill in de nabijheid van het grensvlak is gelijk
aan respectievelijk
σ chip = 80~e1~e1 − 20~e3 ~e3 + 40(~e1 ~e2 + ~e2~e1 ) − 30(~e1~e3 + ~e3~e1 ) − 40(~e2~e3 + ~e3~e2 ) [MPa]
σ under = 5~e1~e1 + 5~e2~e2 − 20~e3~e3 − 30(~e1 ~e3 + ~e3~e1 ) − 40(~e2 ~e3 + ~e3~e2 ) [MPa]
d.
Voldoen de gegeven spanningstoestanden aan de evenwicht op het grensvlak, dat wil
zeggen dat voor de bijbehorende spanningsvectoren op het grensvlak geldt p~ chip =
−~
p under ?
(2)
Geef de relevante uitwerkingen.
(6)
e.
Op basis van experimenten is bekend dat de grensvlaksterkte (de maximale spanning
die niet tot beschadiging leidt) voor het beschouwde systeem van chip en underfill
= 55 [MPa] bedraagt in termen van de totale schuifspanning.
pmax
s
Bepaal of de gegeven spanningstoestanden in de chip en de underfill grensvlakschade
veroorzaken.
(6)
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :
Opgave
3
Hoogwaardige composietmaterialen worden in vele moderne toepassingen gebruikt. Deze
materialen bestaan typisch uit meerdere lagen van verschillende materialen. We beschouwen hier zo’n plaat bestaande uit twee lagen van een ander materiaal. Tijdens montage
wordt de plaat in ´e´en richting in zijn vlak belast door een trekkracht. Na wegnemen van de
kracht zijn er restspanningen in de layers, die invloed kunnen hebben op de belastbaarheid
en levensduur.
Om deze residuele spanningen te berekenen wordt een model gebruikt, dat in onderstaande
figuur (rechts) is getekend : twee parallelle staven a en b van gelijke lengte L en met
hetzelfde dwarsdoorsnede-oppervlak A. De staven zijn verbonden met de vaste wereld en
met een star blok, waarop een kracht F wordt aangebracht. Het blok ondergaat daardoor
een verplaatsing δ in x-richting.
a
L
A
b
L
A
F
δ
x
Wanneer de axiale spanning in de staven lager is dan de initi¨ele vloeispanning, is het
materiaalgedrag lineair elastisch met elasticiteitsmodulus E. De axiale vervorming is zodanig gering dat we de dwarscontractie kunnen verwaarlozen, m.a.w. het dwarsdoorsnedeoppervlak van de staven verandert niet.
De initi¨ele vloeispanning van staaf a is σy0 , die van staaf b is 3σy0 . Na vloeien vertoont staaf
a lineair isotrope versteviging met verstevigingsconstante H. Staaf b is ideaal plastisch en
vertoont dus geen versteviging.
Druk alle antwoorden op onderstaande vragen uit in de gegeven grootheden : L, A, E,
σy0 en H.
a.
Teken voor beide staven een duidelijk spannings-rek diagram, voor de in onderstaande vragen gegeven deformatiegeschiedenis.
(10)
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :
b.
Welke staaf zal het eerst gaan vloeien?
(2)
Hoe groot is dan de kracht F0 ?
(2)
Hoe groot is dan de verplaatsing δ0 ?
(2)
De kracht wordt verder opgevoerd tot de tweede staaf gaat vloeien bij F = F1 .
c.
Hoe groot is dan de verplaatsing δ1 ?
(3)
De rek wordt nu vergroot tot de waarde ε = ε2 = 9ε0 .
d.
Hoe groot is de plastische rek εb2p in staaf b ?
e.
Hoe groot is de spanning σ2a in staaf a ? Geef de berekeing.
(4)
(6)
Hoe groot is de kracht F2 ?
(2)
De kracht wordt vervolgens tot nul gereduceerd : F = F3 = 0.
f.
Hoe groot zijn de residuele spanningen σ3a en σ3b in beide staven? Geef de berekeing.
(4)
NAAM :
IDENTITEITSNUMMER :

Download Report