Goniometrie in 3 en 4

Goniometrie in 3, 4 en 5
1.
Inleiding
waarom een workshop over goniometrie?
historisch kader (derde jaar)
sleutelfiguren (derde jaar)
verwante hoeken (vierde jaar)
visuele bewijzen (vierde jaar)
goniometrie in de ruimte (vierde jaar)
de sinus van 1° (derde of vierde jaar)
2.
Historisch kader
Welk wiskundig inzicht gebruikte Eratosthenes van Cyrene bij de
berekening van de omtrek van de aarde?
Welk wiskundig inzicht gebruikte Aristarchos van Samos bij de berekening
van de straal van de maan?
Welk techniek gebruikten de oude Grieken bij de afstandsberekening van
de aarde tot de maan?
Waarop steunden ze bij de schatting van de afstand van de aarde tot de
zon?
3.
Sleutelfiguren
Bepaal de inhoud van de dakgoot.
Stel een formule op voor de hoogte en de breedte van de tent.
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
2
Bepaal een formule voor de beschutte oppervlakte achter het
kamerscherm.
Bepaal in twee stappen de oppervlakte van het grondvlak van deze
rechthoekige piramide.
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
3
4.
Verwante hoeken
Zoek een dynamisch beeld voor de volgende verwantschappen van
hoeken op een goniometrische cirkel:
supplementaire hoeken:
tegengestelde hoeken:
complementaire hoeken:
antisupplementaire hoeken:
anticomplementaire hoeken:
5.
Visuele bewijzen
Maak drie vergrotingen van de driehoek met zijden a, b en c: eentje met
factor a, eentje met factor b en eentje met factor c. Bereken de zijden van
deze vergrotingen. Wat merk je?
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
4
Welke vlakke figuur kan je vormen door deze vergrotingen aan elkaar te
kleven? Toon dit aan.
Teken twee hoogtelijnen in deze figuur en zoek vervolgens een bewijs van
de cosinusregel voor willekeurige driehoeken.
6.
Goniometrie in de ruimte
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
5
In opdracht van de Franse president Mitterand ontwierp de ChineesAmerikaanse architect I. M. Pei in 1989 een glazen piramide op de Cour
Napoleon als ingang voor het Louvre in Parijs. Deze piramide heeft een
vierkant grondvlak met een zijde van 35,4 meter en een hoogte van 21,7
meter.
In welke driehoek(en) moet je rekenen om de hoek te berekenen tussen
het grondvlak en een opstaand zijvlak? Duid deze driehoek(en) aan op de
onderstaande figuur. Bereken deze hoek.
Berekening:
In welke driehoek(en) moet je rekenen om (de lengte van) een opstaande
ribbe te berekenen? Duid deze driehoek(en) aan op de onderstaande
figuur. Bereken deze ribbe.
Berekening:
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
6
In welke driehoek(en) moet je rekenen om (de lengte van) de hoogtelijnen
van een opstaand zijvlak te berekenen. Duid deze driehoek(en) aan op de
onderstaande figuur. Bereken deze hoogtelijnen.
Berekening:
In welke driehoek(en) moet je rekenen om de hoek te berekenen tussen
twee aangrenzende opstaande zijvlakken? Duid deze driehoek(en) aan op
de onderstaande figuur. Bereken deze hoek.
Berekening:
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
7
7.
De sinus van 1°
Bereken de schuine zijde van de rechthoekige driehoek en zoek een
exacte formule voor
30°.
Toon aan dat de schuine zijde van de rechthoekige driehoek met een
scherpe hoek gelijk aan 15° gelijk is aan 2 ∙ 2 + √3.
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
8
Bereken hieruit
15° . Zorg ervoor dat de noemer wortelvrij is.
Toon aan dat de schuine zijde van de rechthoekige driehoek met een
scherpe hoek gelijk aan 7,5° gelijk is aan 2 ∙ 2 + √3 ∙ 2 + 2 + √3 .
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
9
Bereken hieruit
7,5° . Zorg ervoor dat de noemer wortelvrij is.
Hoe kan je deze formules uitbreiden tot een exacte uitdrukking voor
0°56′15" ?
Dag van de wiskunde (29 november 2014)
Luc Van den Broeck
10

Download Report