Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 5

Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Uitwerkingen oefeningen hoofdstuk 5
5.4.1 Basis
1
a Dit is een voorbeeld van interpoleren. Er zijn namelijk gegevens van voor 1995 en van
na 1995 bekend. Binnen de bekende gegevens en dus binnen de tabel (of de grafiek, als
je deze getekend hebt) wordt er van je gevraagd uitspraken te doen over een moment
waarover geen meetgegevens bekend zijn. Die voorspelling zal waarschijnlijk redelijk
dicht bij de realiteit liggen. Tussen 1990 en 2000, in 10 jaar tijd, zijn er 0,3 miljoen inwoners bijgekomen. In 1995, 5 jaar na 1990, zijn er dus waarschijnlijk 0,15 miljoen inwoners bijgekomen vergeleken met 1990. We verwachten dat het aantal inwoners in 1995
6,2 + 0,15 = 6,35 miljoen was.
b Dit is een voorbeeld van extrapoleren. We weten niet precies hoe het aantal inwoners
zal stijgen vanaf 2010. We zien zelfs tussen de gemeten jaren een heel fluctuerende
stijging (de ene 10 jaar is er een stijging van 0,3 miljoen, de andere 10 jaar een stijging
van 0,8 miljoen). We weten wel dat het aantal inwoners tussen 1960 en 2010 van 5,5
naar 7,3 miljoen is gestegen. Dit is een stijging van 1,8 miljoen over 50 jaar. Per 10 jaar is
het inwoneraantal dus gemiddeld gestegen met 1,8 : 5 = 0,36 miljoen inwoners. Je zou
op basis van deze gegevens dus kunnen voorspellen dat het inwoneraantal in 2020 is
gestegen tot 7,3 + 0,36 = 7,66 miljoen.
2
a Je ziet aan de grafiek dat er steeds eens in de 2 dagen is gemeten. Tussen elke twee
metingen is de grafiek als een rechte lijn getekend. Je kunt op basis van deze (lineaire)
groeiverwachting per 2 dagen een redelijke voorspelling doen over de lengte na 9 dagen, door de grafiek af te lezen. De zonnebloem is na 9 dagen ongeveer 24 cm lang.
In een artikel in Rekenwiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling en praktijk heeft Frans
van Galen dit probleem met een basisschoolgroep aangepakt (jaargang 27, 2008). Hij
kwam tot de volgende complete groeigrafiek:
lengte in cm 
200
150
100
50
0
tijd in dagen 
1 van 8
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
De zonnebloem groeit dus eerst langzaam, dan gaat hij erg snel en daarna vlakt het af en
heeft hij zijn uiteindelijke lengte. In deze grafiek is die ongeveer 175 cm. Het is mogelijk
dat de zonnebloem langer (of korter) is. In 2011 groeide er in Willebroek in België een
zonnebloem met een lengte van 4,65 meter. Dat is wel uitzonderlijk lang.
b Je ziet in de eerste grafiek dat de lengte van de zonnebloem gedurende het aantal
dagen steeds verder stijgt. De laatste twee dagen van de meting is hij bijvoorbeeld
gestegen van 64 cm naar 128 cm. Dat is een verdubbeling in twee dagen! Tussen dag 10
en 12 is hij gestegen van 32 naar 64 cm. De zonnebloem lijkt dus voortdurend binnen
twee dagen te verdubbelen. Na 16 dagen zou de zonnebloem dan 2 × 128 = 256 cm
lang zijn. Een zonnebloem kan werkelijk zo hoog worden maar dat gebeurt niet in een
dag. Bovendien is een zonnebloem van 256 cm groter dan gemiddeld. Uit de tweede
grafiek blijkt dat het verdubbelen binnen twee dagen alleen in het begin plaatsvindt,
daarna neemt de groei af totdat de plant volgroeid is.
3
a Dit is duidelijk een cirkeldiagram. Je ziet dat Leefbaar 40,3% van de schriftelijke vragen
heeft gesteld. GroenLinks heeft 3,7% van de schriftelijke vragen gesteld. Leefbaar heeft
dus 40,3 − 3,7 = 36,6 procent meer schriftelijke vragen gesteld. De verhouding tussen
het aantal gestelde vragen van Leefbaar en dat van GroenLinks is 40,3 : 3,7 = 10,892,
wat neerkomt op 1089,2% meer vragen. Dat lijkt heel gek, een percentage van meer
dan 100%, maar wanneer je kijkt naar de betekenis, zou dit betekenen dat zij meer dan
10 keer zoveel vragen hebben gesteld (10 × 100 = 1000), en dat klopt.
b Dit is duidelijk een lijngrafiek. Uit de grafiek blijkt dat de inleg van € 100.000 na een jaar
€ 106.000 waard is. De rente over een jaar is dus 6%. Omdat je rente-op-rente krijgt, is
het totaalbedrag na 10 jaar dus € 100.000 × 1,0610 = € 179.084,77.
c Dit is een voorbeeld van een staafdiagram. In tegenstelling tot een histogram heeft een
staafdiagram geen continue waarden op de horizontale as. De maanden van het jaar
zijn niet continu, maar cyclisch: na december beginnen we weer aan het begin.
Het verschil tussen de minimum- en maximumtemperatuur is in juli en augustus even
groot en daarmee groter dan in de andere maanden. Hier kun je achter komen door
het verschil te meten en/of te berekenen.
d Grafiek 1
Het percentage gestelde kamervragen is een voorbeeld van discrete data. Het ligt namelijk aan het aantal gestelde vragen wat het percentage per partij is. Bovendien kun je
geen halve vragen stellen. Je hebt er één gesteld of geen of een meervoud van één.
Grafiek 2
De rente van een bepaalde inleg is een voorbeeld van continue data. Per dag en zelfs
per uur, per minuut of per deel van een seconde stijgt de waarde van je inleg. Elke
waarde (tot zeer veel cijfers achter de komma) wordt aangenomen gedurende de stijging.
2 van 8
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Grafiek 3
De minimum- en maximumtemperatuur in Lo Closo bevat een voorbeeld van discrete
data. Zoals al eerder aangegeven zijn hier door de loop der jaren alle maanden bij elkaar genomen. Er zijn dus klassen gemaakt in de grafiek, waardoor de waarden discreet
zijn geworden.
e Grafiek 1
■■ Modus: alle waarden komen maar één keer voor, er is dus geen modus.
■■ Mediaan: als je de percentages van klein naar groot rangschikt, zie je dat de middelste waarde 6,5% is.
■■ Gemiddelde: alle partijen samen vormen natuurlijk 100% van de schriftelijke gestelde vragen. Wanneer je alle percentages optelt, merk je dat er hier en daar naar
beneden is afgerond (de som van de percentages is 99,9). Maar met zekerheid is te
stellen dat alle schriftelijk gestelde vragen van een van de partijen kwamen, dus we
kunnen uitgaan van 100%. 100 : 12 (aantal partijen) ≈ 8,3%. Gemiddeld stelde een
partij dus 8,3% van de vragen.
Grafiek 2
Omdat de precieze gegevens uit deze grafiek moeilijk af te leiden zijn, is niet alles exact
uit te rekenen.
■■ Modus: alle waarden komen maar één keer voor, er is dus geen modus
■■ Uitgaande van de waarden 100.000, 106.000, 119.101,6 en 126.247,7 is de waarde
112.360 de mediaan. Uitgaande van ‘na 10 jaar’ en dus 11 waardes is de mediaan
100.000 × 1,065 = 133.822,56.
■■ Het gemiddelde na 4 jar ligt op € 112.741,86 en na 10 jaar op ongeveer € 136.197,-.
Grafiek 3
■■ Modus: de waarden 7 graden, 9 graden en 12 graden komen allemaal tweemaal
voor.
■■ Mediaan: voor de maximumtemperatuur zijn de middelste twee metingen (in temperatuur) 19 en 17 graden. De mediaan is dus 18 graden. Voor de minimumtemperatuur zijn de middelste twee metingen (in waarde) 8 en 12 graden. De mediaan
van de minimumtemperaturen in Lo Closo is dus 10 graden.
■■ Gemiddelde: De gemiddelde maximumtemperatuur is ongeveer 19 graden. De
gemiddelde minimumtemperatuur is ongeveer 5 graden. De gemiddelde totaaltemperatuur (maar die is gebaseerd op 12 maxima en 12 minima, dus erg onbetrouwbaar) is dan ongeveer 12 graden.
f Grafiek 3 is normaal verdeeld. Waarschijnlijk is deze grafiek ook ontstaan na heel veel
jaren meten, alle extreme jaren zijn hierdoor ‘uitgemiddeld’.
3 van 8
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Discreet en continu
4
a Het is handig om eerst een tabel te maken, alvorens de grafiek te tekenen. Wanneer je
je aan de formule houdt, zou je op de volgende tabel uit kunnen komen, met de volgende grafiek.
0
27
54
81
108
135
162
Aantal bussen
0
1
2
3
4
5
6
Aantal bussen
Aantal leerlingen
6
5
4
3
2
1
0
27
54
81
108
135
Aantal leerlingen
b In bovenstaande grafiek is gedaan alsof de data continu zijn. Er is een lineaire grafiek
met een hellingsgetal van 27 getekend. Het aantal leerlingen is echter altijd een heel
getal en het aantal bussen ook. We moeten dus een andere grafiek tekenen. Je maakt
klassen van het aantal bussen, en dan krijg je de volgende tabel en grafiek. Dit is een
voorbeeld van een histogram.
0
20
27
28
37
54
55
82
Aantal bussen
1
1
1
2
2
2
3
4
54
81
108
135
Aantal bussen
Aantal leerlingen
6
5
4
3
2
1
0
27
Aantal leerlingen
4 van 8
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
5
a Totaalprijs ijs = n × 1,75
b Eerst maken we een tabel, om er vervolgens een tabel bij te tekenen:
0
1
10
20
40
50
100
Totaalprijs
0
1,75
17,5
35
70
87.5
175
Het aantal leerlingen betreft discrete data: je kunt namelijk geen halve leerlingen hebben. (Er wordt in dit geval dus enkel gewerkt met gehele getallen.) De totaalprijs betreft continue data, de waarde van de totaalprijs zou tot op de miljoenste cent nauwkeurig kunnen worden bepaald. Het is dus niet mogelijk een lijngrafiek te tekenen van
deze situatie.
Wel is het mogelijk een histogram te tekenen, waarbij dan de continue data op de x-as
staan, zoals hieronder.
Aantal leerlingen
n = aantal leerlingen
70
60
50
40
30
20
10
0
17,5
35
52,5
70
87,5
105 122,5 140 157,5 175
Totaalprijs in euro’s
c Deze grafiek is lineair en zelfs recht evenredig. Bij iedere persoon meer komt er namelijk evenveel bij en de grafiek gaat zelfs door de oorsprong. Dit merkte je waarschijnlijk
ook al tijdens het tekenen. Zie verder ook het antwoord bij antwoord b (de reden om
een histogram te maken).
6
a aantal pakjes cake = n : 8
Aantal leerlingen (n)
0
15
30
35
40
45
60
80
Aantal pakjes cakes
0
2
4
5
5
6
8
10
5 van 8
b
Aantal pakjes cake
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
16
8
24
32
40
48
72
64
56
88
96
80
Aantal leerlingen
c Deze grafiek is discreet: zowel op de x-as als op de y-as wordt alleen gewerkt met hele
getallen. Een half pakje cake is niet mogelijk, evenmin als een half aantal leerlingen.
Deze grafiek is dus een staafdiagram.
5.4.2 Repertoire
Diagrammen
7
0
6
8
1
0
1
5
5
5
5
6
2
0
1
2
5
7
8
8
3
0
0
1
8
8
9
4
3
4
5
1
6
6
7
7
8
■■ Modus: 15
■■ Mediaan: 20,5
■■ Gemiddelde: 24 32
8
Een histogram met klassen van 10 breed. Dat is gelijk aan de steel van het steelblad
diagram.
6 van 8
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
Cito en PPON
9
a Opgave 1 t/m 6 vallen in het eerste percentiel. Dit kun je zien aan de horizontale lijn bij
25 percentiel. Opgaven die daaronder vallen, vormen 25% van de meting.
b Opgave 7 t/m 13 vallen in het tweede percentiel. Dit kun je zien aan de horizontale lijnen bij 25 en bij 50 percentiel. Opgaven die tussen deze twee lijnen vallen vormen 25%
– 50% van de meting. De opgaven 14 t/m 20 vallen deels ook wel in het tweede percentiel, maar vooral deze opgaven zijn niet ‘goed’ gemaakt door 50% van de leerlingen
aan het einde van de basisschool. (Dit kun je zien doordat de toppen van deze stroken
in het derde percentiel liggen.)
c De opgaven 1 t/m 13 liggen allemaal onder de mediaan, onder de lijn van 50 percentiel. Dit betekent dat 50 of meer procent van de leerlingen aan het einde van de basisschool deze opgaven goed maakt. Deze opgaven zijn dus relatief gezien goed te maken
voor de gemiddelde leerling aan het einde van zijn of haar basisschoolloopbaan. De
opgaven 1 t/m 6 zijn nog gemakkelijker, deze worden zelfs door 75 of meer procent
van de leerlingen goed gemaakt. De opgaven 7 t/m 13 worden door 50% - 75% van de
leerlingen goed gemaakt.
d De opgaven 17, 18 en 19.
e Dit zijn dus erg ‘gemiddelde’ opgaven. Dit zijn opgaven die precies aangeven of een
leerling ‘onder het gemiddelde’ of ‘boven het gemiddelde’ presteert. Leerlingen ‘onder
het gemiddelde’, die in het tweede percentiel vallen, maken deze opgaven onvoldoende tot matig. Leerlingen ‘boven het gemiddelde, die in het derde percentiel vallen, maken deze opgaven matig tot goed.
f De kwartielafstand valt van de mediaan van het eerste kwartiel tot de mediaan van het
derde kwartiel. In dit geval is dat dus bij een vaardigheidsscore van ongeveer 150 tot
275.
10
a Na 10 maanden kan eigenlijk iedereen dat. 99% van de baby’s kan het al in de negende
maand.
b Voor de zevende maand kan 1% al alleen staan. Daarentegen kan geen enkel kind voor
de zevende maand al alleen lopen.
c Dit kun je het snelste zien aan de breedte van de balken (inclusief de rode lijnen). Je
ziet dan dat staan zonder hulp het van de andere vaardigheden wint. Kennelijk is dit
een vaardigheid die veel vraagt van kinderen en waarin ze veel van elkaar verschillen
qua beheersing.
11
Het is nodig om alle gemiddelden te berekenen. Dat komt neer op de volgende data:
Jaartal
Aantal bezoekers × 1000
1970-1979
(10 + 16 + 20 + 26 + 30 + 32 + 40 + 45 + 42 + 50 = 311)
31.100
1980-1989
(50 + 50 + 30 + 40 + 20 + 15 + 50 + 32 + 36 + 40 = 363)
36.300
1990-1999
(42,5 + 53,5 + 55,3 + 64,3 + 72 + 49 + 59 + 49,2 + 51,5 +
61,25 = 557,55)
55.755
2000-2009
(66,3 + 64,2 + 63,345 + 47,53 + 36 + 20 + 68 + 62,5 + 94 +
90 = 611,875)
Gem. (over 10 jaar)
7 van 8
61.187,5
Uitwerkingen oefeningen bij hoofdstuk 5 van Rekenen en wiskunde uitgelegd
2010-2019
gemiddelde van deze 10 jaar is nog niet te berekenen
5.4.3 Kennisbasis
12
c (gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 2.2.1)
13
c (gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 2.2.1)
14
Alex heeft minder vaak gewonnen vergeleken met Chris (minder punten in meer wedstrijden). Verder valt op, wanneer je kijkt naar het aantal punten, over alle spelers, dat iemand
3 punten krijgt wanneer hij of zij wint (Dorine wint 2 keer = 6 punten) en 1 punt krijgt
voor gelijkspel (Bea wint 2 keer en speelt 1 keer gelijk = 7 punten en Elin wint 1 keer en
speelt 2 keer gelijk = 5 punten). Voor verliezende partijen worden kennelijk geen punten
in mindering gebracht.
Aangezien Alex 11 punten heeft, moet hij wel ook een keer gelijk hebben gespeeld en kan
hij niet vaker dan 4 keer hebben gewonnen (dan zou hij 12 punten hebben).
Na enig proberen blijken er twee oplossingen:
3 gewonnen – 2 gelijk – 3 verloren
2 gewonnen – 5 gelijk – 1 verloren
We moeten dus nog verder kijken naar de punten ‘voor’ en ‘tegen’. Binnen het gelijkspel
en de verloren wedstrijden heeft Alex kennelijk 19 punten ‘tegen’ gehaald. Dit kun je zien
doordat Chris nooit heeft verloren en toch 14 ‘tegen’ punten heeft.
Iedereen lijkt te winnen met 4 tot 9 punten ‘voor’, daaruit kun je opmaken dat Alex waarschijnlijk 3 wedstrijden heeft gewonnen, waardoor hij 19 punten bij elkaar heeft gekregen.
(gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 2.2.1)
15
d (gebaseerd op paragraaf 5.2.1)
16
a (gebaseerd op paragrafenn 5.2.2, 2.2.1 en 2.2.2)
17
a a (gebaseerd op paragrafen 5.3.2 en 3.2.2)
b In een steelbladdiagram. (gebaseerd op paragraaf 5.3.2)
18
d (gebaseerd op paragrafen 5.2.1, 1.2.5 en 3.2.2)
19
b (gebaseerd op paragrafen 5.2.1 en 1.2.5)
8 van 8

Download Report