Vectoranalyse voor TG college 9 Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. collegejaar college build slides : : : : 14-15 9 25 september 2014 28 Vandaag UNIVERSITEIT TWENTE. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie 1 2 3 4 Rotatie Hoeksnelheid Circulatie De componententest Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 1 VA vandaag TG Rotatie §4.5.2 Definitie Section 16.7 Equation (3) Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 , en stel dat alle partiële afgeleiden van M , N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als curl F = UNIVERSITEIT TWENTE. ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 2 VA ro/1 TG Rotatie §4.5.2 Definitie Section 16.7 Equation (3) Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 , en stel dat alle partiële afgeleiden van M , N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als curl F = UNIVERSITEIT TWENTE. ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie De rotatie is een vectorveld op R3 . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 2 VA ro/1 TG Rotatie §4.5.2 Definitie Section 16.7 UNIVERSITEIT TWENTE. Equation (3) Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 , en stel dat alle partiële afgeleiden van M , N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als curl F = ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie De rotatie is een vectorveld op R3 . De rotatie kan met behulp van de ∇-operator en het uitwendig product handig worden berekend: ∂ ∇ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z F N P M Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 2 VA ro/1 TG Rotatie §4.5.2 Definitie Section 16.7 UNIVERSITEIT TWENTE. Equation (3) Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 , en stel dat alle partiële afgeleiden van M , N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als curl F = ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie De rotatie is een vectorveld op R3 . De rotatie kan met behulp van de ∇-operator en het uitwendig product handig worden berekend: ∂ ∇ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y F N P M N M Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 2 VA ro/1 TG Rotatie §4.5.2 Definitie Section 16.7 UNIVERSITEIT TWENTE. Equation (3) Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 , en stel dat alle partiële afgeleiden van M , N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als curl F = ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie De rotatie is een vectorveld op R3 . De rotatie kan met behulp van de ∇-operator en het uitwendig product handig worden berekend: ∂ ∇ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y F N P M N M Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 2 VA ro/1 TG Rotatie §4.5.2 Definitie Section 16.7 UNIVERSITEIT TWENTE. Equation (3) Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 , en stel dat alle partiële afgeleiden van M , N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als curl F = ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie De rotatie is een vectorveld op R3 . De rotatie kan met behulp van de ∇-operator en het uitwendig product handig worden berekend: ∂ ∇ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y F N P M N M Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 2 VA ro/1 TG Rotatie §4.5.2 Definitie Section 16.7 UNIVERSITEIT TWENTE. Equation (3) Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 , en stel dat alle partiële afgeleiden van M , N en P bestaan. De rotatie van F is gedefinieerd als curl F = ∂N ∂M ∂P ∂N ∂M ∂P − , − , − ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie De rotatie is een vectorveld op R3 . De rotatie kan met behulp van de ∇-operator en het uitwendig product handig worden berekend: ∂ ∇ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y F N P M N M Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 2 VA ro/1 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Voor ieder vectorveld F op R3 geldt De rotatie Circulatie curl F = ∇ × F. Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 3 VA ro/2 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Voor ieder vectorveld F op R3 geldt De rotatie Circulatie curl F = ∇ × F. Eigenschappen van de rotatie De rotatie kan ook met een determinant worden berekend: i j k ∂ curl F = ∂x M ∂ ∂y N ∂ ∂z P Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 3 VA ro/2 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie curl F = ∇ × F Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie curl F = ∇ × F ∂ ∂x = ∂ ∂y xz xyz ∂ ∂z −y 2 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie curl F = ∇ × F ∂ ∂x = ∂ ∂y xz xyz ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y xz xyz −y 2 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie curl F = ∇ × F ∂ ∂x = ∂ ∂y xz xyz ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y xz xyz −y 2 = − 2y − xy Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie curl F = ∇ × F ∂ ∂x = ∂ ∂y xz xyz ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y xz xyz −y 2 = − 2y − xy, x − 0 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie curl F = ∇ × F ∂ ∂x = ∂ ∂y xz xyz ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y xz xyz −y 2 = − 2y − xy, x − 0, yz − 0 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Bereken de rotatie van F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 . De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie curl F = ∇ × F ∂ ∂x = ∂ ∂y xz xyz ∂ ∂ ∂z ∂x ∂ ∂y xz xyz −y 2 = − 2y − xy, x − 0, yz − 0 = − y(x + 2), x, yz . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 4 VA ro/3 TG Booglengte en hoeksnelheid UNIVERSITEIT TWENTE. y y t = 2 sec De rotatie ϕr ϕ −r r t = 1 sec x ω ω P ωr1 r1 Eigenschappen van de rotatie ωr2 r2 Circulatie x De lengte van een boog met straal r en hoek ϕ gemeten in radialen, is ϕr. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 5 VA ro/4 TG Booglengte en hoeksnelheid UNIVERSITEIT TWENTE. y y t = 2 sec De rotatie ϕr ϕ −r r t = 1 sec x ω ω P ωr1 r1 Eigenschappen van de rotatie ωr2 r2 Circulatie x De lengte van een boog met straal r en hoek ϕ gemeten in radialen, is ϕr. Definitie De hoeksnelheid van een punt dat om P draait is de hoek die per tijdseenheid wordt gedraaid. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 5 VA ro/4 TG Booglengte en hoeksnelheid UNIVERSITEIT TWENTE. y y t = 2 sec De rotatie ϕr ϕ −r r t = 1 sec x ω ω P ωr1 r1 Eigenschappen van de rotatie ωr2 r2 Circulatie x De lengte van een boog met straal r en hoek ϕ gemeten in radialen, is ϕr. Definitie De hoeksnelheid van een punt dat om P draait is de hoek die per tijdseenheid wordt gedraaid. Een punt dat op afstand r van P met constante snelheid om P draait legt ωr meter af, en heeft dus snelheid ωr. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 5 VA ro/4 TG De hoeksnelheid in R3 §1.3.10 Stel ` is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om `. ` UNIVERSITEIT TWENTE. De rotatie Circulatie M x Eigenschappen van de rotatie O Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 6 VA ro/5 TG De hoeksnelheid in R3 §1.3.10 Stel ` is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om `. ` UNIVERSITEIT TWENTE. De rotatie Circulatie Definieer de vector ω als de vector met lengte ω in de richting van `. M x Eigenschappen van de rotatie ω O Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 6 VA ro/5 TG De hoeksnelheid in R3 §1.3.10 Stel ` is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om `. ` De snelheidsvector v staat loodrecht op de vlak door O, M en x. De rotatie v Definieer de vector ω als de vector met lengte ω in de richting van `. UNIVERSITEIT TWENTE. M r Circulatie x Eigenschappen van de rotatie ω O Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 6 VA ro/5 TG De hoeksnelheid in R3 §1.3.10 Stel ` is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om `. ` De snelheidsvector v staat loodrecht op de vlak door O, M en x. Dus v ⊥ x en v ⊥ ω. De rotatie v Definieer de vector ω als de vector met lengte ω in de richting van `. UNIVERSITEIT TWENTE. M r Circulatie x Eigenschappen van de rotatie ω O Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 6 VA ro/5 TG De hoeksnelheid in R3 §1.3.10 Stel ` is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om `. ` De snelheidsvector v staat loodrecht op de vlak door O, M en x. Dus v ⊥ x en v ⊥ ω. De rotatie v Definieer de vector ω als de vector met lengte ω in de richting van `. UNIVERSITEIT TWENTE. M r Circulatie x Eigenschappen van de rotatie ω α |x| O Voor de snelheid v geldt v = |v| = ωr = ω |x| sin α = |ω | |x| sin α = |ω × x| . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 6 VA ro/5 TG De hoeksnelheid in R3 §1.3.10 Stel ` is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om `. ` De snelheidsvector v staat loodrecht op de vlak door O, M en x. Dus v ⊥ x en v ⊥ ω. De rotatie v Definieer de vector ω als de vector met lengte ω in de richting van `. UNIVERSITEIT TWENTE. M r Circulatie x Eigenschappen van de rotatie ω α |x| O Voor de snelheid v geldt v = |v| = ωr = ω |x| sin α = |ω | |x| sin α = |ω × x| . De richting van ω is bepaald door de rechterhand regel. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 6 VA ro/5 TG De hoeksnelheid in R3 §1.3.10 Stel ` is een lijn door de oorsprong, en x draait met hoeksnelheid ω om `. ` De snelheidsvector v staat loodrecht op de vlak door O, M en x. Dus v ⊥ x en v ⊥ ω. De rotatie v Definieer de vector ω als de vector met lengte ω in de richting van `. UNIVERSITEIT TWENTE. M r Circulatie x Eigenschappen van de rotatie ω α |x| O Voor de snelheid v geldt v = |v| = ωr = ω |x| sin α = |ω | |x| sin α = |ω × x| . De richting van ω is bepaald door de rechterhand regel. Voor de snelheidsvector v geldt Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 6 v = ω × x. VA ro/5 TG De rotatie van de hoeksnelheid §4.5.3, voorbeeld 1 UNIVERSITEIT TWENTE. ` De rotatie ω Circulatie Eigenschappen van de rotatie De hoeksnelheid is een vectorveld: v(x) = ω × x = (ωx , ωy , ωz ) × (x, y, z) = (ωy z − ωz y, ωz x − ωx z, ωx y − ωy x). Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 7 VA ro/6 TG De rotatie van de hoeksnelheid §4.5.3, voorbeeld 1 UNIVERSITEIT TWENTE. ` De rotatie ω Circulatie Eigenschappen van de rotatie De hoeksnelheid is een vectorveld: v(x) = ω × x = (ωx , ωy , ωz ) × (x, y, z) = (ωy z − ωz y, ωz x − ωx z, ωx y − ωy x). Bereken de rotatie van v: ∂ ∂ ∂ ∇ ∂x ∂y ∂z ω z − ω y ω x − ω z ω y − ω x ω×x y z z x x y dus curl v = ∇ × (ω × x) = (2ωx , 2ωy , 2ωz ) = 2ω. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 7 VA ro/6 TG De rotatie als hoeksnelheid UNIVERSITEIT TWENTE. De rotatie Circulatie ω Eigenschappen van de rotatie v Een deeltje dat zich in een stromingsveld v bevindt zal naast een verplaatsing ook een draaiing ondergaan. De hoeksnelheid van deze draaiing is 1 2 curl v. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 8 VA ro/7 TG Laminaire stroming als afschuiving UNIVERSITEIT TWENTE. v0 d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x Tussen twee platen met afstand d bevindt zich een vloeistof. De onderste plaat is stationair, de bovenste plaat beweegt met een snelheid v0 in de richting van de x-as. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 9 VA ro/8 TG Laminaire stroming als afschuiving UNIVERSITEIT TWENTE. v0 d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x Tussen twee platen met afstand d bevindt zich een vloeistof. De onderste plaat is stationair, de bovenste plaat beweegt met een snelheid v0 in de richting van de x-as. De snelheid v is evenwijdig aan de x-as, en de snelheid hangt alleen van z af, dus v = (vx (z), 0, 0). Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 9 VA ro/8 TG Laminaire stroming als afschuiving UNIVERSITEIT TWENTE. v0 d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x Tussen twee platen met afstand d bevindt zich een vloeistof. De onderste plaat is stationair, de bovenste plaat beweegt met een snelheid v0 in de richting van de x-as. De snelheid v is evenwijdig aan de x-as, en de snelheid hangt alleen van z af, dus v = (vx (z), 0, 0). De relatieve snelheid van de vloeistof is bij beide platen 0, dus vx (d) = v0 . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 9 VA ro/8 TG Laminaire stroming als afschuiving UNIVERSITEIT TWENTE. v0 d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x Tussen twee platen met afstand d bevindt zich een vloeistof. De onderste plaat is stationair, de bovenste plaat beweegt met een snelheid v0 in de richting van de x-as. De snelheid v is evenwijdig aan de x-as, en de snelheid hangt alleen van z af, dus v = (vx (z), 0, 0). De relatieve snelheid van de vloeistof is bij beide platen 0, dus vx (d) = v0 . De snelheid neemt lineair toe met z, dus vx (z) = αz. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 9 VA ro/8 TG Laminaire stroming als afschuiving UNIVERSITEIT TWENTE. v0 d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x Tussen twee platen met afstand d bevindt zich een vloeistof. De onderste plaat is stationair, de bovenste plaat beweegt met een snelheid v0 in de richting van de x-as. De snelheid v is evenwijdig aan de x-as, en de snelheid hangt alleen van z af, dus v = (vx (z), 0, 0). De relatieve snelheid van de vloeistof is bij beide platen 0, dus vx (d) = v0 . De snelheid neemt lineair toe met z, dus vx (z) = αz. Laminaire stroming is een afschuiving in het xz-vlak: v0 v = αz ex = (αz, 0, 0), met α = . d Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 9 VA ro/8 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y y B π 4 C ω x x D t=0 A0 B0 A C0 D0 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie t=1 Een afschuiving is een vectorveld v(x, y) = (ay, bx). Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 10 VA ro/9 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y y B π 4 C ω x x D t=0 A0 B0 A C0 D0 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie t=1 Een afschuiving is een vectorveld v(x, y) = (ay, bx). Een afschuiving vervormt het vierkant ABCD tot een ruit A0 B 0 C 0 D 0 . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 10 VA ro/9 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y y B π 4 C ω x x D t=0 A0 B0 A C0 D0 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie t=1 Een afschuiving is een vectorveld v(x, y) = (ay, bx). Een afschuiving vervormt het vierkant ABCD tot een ruit A0 B 0 C 0 D 0 . De hoeksnelheid van punten op de y-as is −a, de hoeksnelheid van punten op de x-as is b. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 10 VA ro/9 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y y B π 4 C A0 B0 A ω x x D t=0 C0 D0 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie t=1 Een afschuiving is een vectorveld v(x, y) = (ay, bx). Een afschuiving vervormt het vierkant ABCD tot een ruit A0 B 0 C 0 D 0 . De hoeksnelheid van punten op de y-as is −a, de hoeksnelheid van punten op de x-as is b. Stelling Vectoranalyse voor TG De hoeksnelheid ω van A is VA.14-15[9] 25-9-2014 ω = 21 (b − a). 10 VA ro/9 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y A0 a 1 De rotatie Q α ϕ ϕ β Circulatie P Eigenschappen van de rotatie b x 1 Er geldt: 2ϕ + α + β = π/2, dus ϕ = π/4 − 12 α − 21 β. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 11 VA ro/10 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y A0 a 1 De rotatie Q α ϕ ϕ β Circulatie P Eigenschappen van de rotatie b x 1 Er geldt: 2ϕ + α + β = π/2, dus ϕ = π/4 − 12 α − 21 β. Dus de hoek die A0 maakt met de x-as is ϕ + β = π/4 − 21 α + 21 β. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 11 VA ro/10 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y A0 a 1 De rotatie Q α ϕ ϕ β Circulatie P Eigenschappen van de rotatie b x 1 Er geldt: 2ϕ + α + β = π/2, dus ϕ = π/4 − 12 α − 21 β. Dus de hoek die A0 maakt met de x-as is ϕ + β = π/4 − 21 α + 21 β. De hoeksnelheid van A0 is dus (ϕ + β) − π/4 = 21 β − 12 α. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 11 VA ro/10 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y A0 a 1 De rotatie Q α ϕ ϕ β Circulatie P b x 1 Er geldt: 2ϕ + α + β = π/2, dus ϕ = π/4 − 12 α − 21 β. Dus de hoek die A0 maakt met de x-as is ϕ + β = π/4 − 21 α + 21 β. De hoeksnelheid van A0 is dus (ϕ + β) − π/4 = 21 β − 12 α. De hoeksnelheid van P is b, de hoeksnelheid van Q is −a. Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 11 VA ro/10 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y A0 a 1 De rotatie Q α ϕ ϕ β Circulatie P b x 1 Er geldt: 2ϕ + α + β = π/2, dus ϕ = π/4 − 12 α − 21 β. Dus de hoek die A0 maakt met de x-as is ϕ + β = π/4 − 21 α + 21 β. De hoeksnelheid van A0 is dus (ϕ + β) − π/4 = 21 β − 12 α. De hoeksnelheid van P is b, de hoeksnelheid van Q is −a. De hoeken α en β zijn bij benadering gelijk aan a respectievelijk b. Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 11 VA ro/10 TG Afschuiving in twee dimensies UNIVERSITEIT TWENTE. y A0 a 1 De rotatie Q α ϕ ϕ β Circulatie P b x 1 Er geldt: 2ϕ + α + β = π/2, dus ϕ = π/4 − 12 α − 21 β. Dus de hoek die A0 maakt met de x-as is ϕ + β = π/4 − 21 α + 21 β. De hoeksnelheid van A0 is dus (ϕ + β) − π/4 = 21 β − 12 α. De hoeksnelheid van P is b, de hoeksnelheid van Q is −a. De hoeken α en β zijn bij benadering gelijk aan a respectievelijk b. De hoeksnelheid van A0 is dus 1 1 1 2 b − 2 (a) = 2 (b − a). Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 11 VA ro/10 TG Het peddelwiel model UNIVERSITEIT TWENTE. Q Q vQ vQ − vgem De rotatie Circulatie d vgem M P vP Eigenschappen van de rotatie M vP − vgem P vgem Stel P en Q bewegen met snelheid vP respectievelijk vQ in x-richting. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 12 VA ro/11 TG Het peddelwiel model UNIVERSITEIT TWENTE. Q Q vQ vQ − vgem De rotatie Circulatie d vgem M P vP Eigenschappen van de rotatie M vP − vgem P vgem Stel P en Q bewegen met snelheid vP respectievelijk vQ in x-richting. De snelheid in horizontale richting van middelpunt M is vgem = (vP + vQ )/2. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 12 VA ro/11 TG Het peddelwiel model UNIVERSITEIT TWENTE. Q Q vQ vQ − vgem De rotatie Circulatie d vgem M P vP Eigenschappen van de rotatie M vP − vgem P vgem Stel P en Q bewegen met snelheid vP respectievelijk vQ in x-richting. De snelheid in horizontale richting van middelpunt M is vgem = (vP + vQ )/2. De snelheid van Q ten opzichte van M is vQ − vgem = (vQ − vP )/2. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 12 VA ro/11 TG Het peddelwiel model UNIVERSITEIT TWENTE. Q Q vQ vQ − vgem De rotatie Circulatie d vgem M P vP Eigenschappen van de rotatie M vP − vgem P vgem Stel P en Q bewegen met snelheid vP respectievelijk vQ in x-richting. De snelheid in horizontale richting van middelpunt M is vgem = (vP + vQ )/2. De snelheid van Q ten opzichte van M is vQ − vgem = (vQ − vP )/2. Voor de hoeksnelheid ω van de draaiing van P om M geldt vQ − vP vQ − vP 1 , oftewel ω = . 2d ω = 2 d Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 12 VA ro/11 TG Het peddelwiel model en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. vz (x + ∆x, y, z) vx (x, y, z + ∆z) De rotatie ∆z vx (x, y, z) vz (x, y, z) ez Circulatie ey ex Eigenschappen van de rotatie ∆x Voor de draaiing ω1 in het xz vlak ten gevolge van vx geldt vx (x, y, z + ∆z) − vx (x, y, z) ∂vx ω1 = ≈ . ∆z ∂z Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 13 VA ro/12 TG Het peddelwiel model en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. vz (x + ∆x, y, z) vx (x, y, z + ∆z) De rotatie ∆z vx (x, y, z) vz (x, y, z) ez Circulatie ey ex Eigenschappen van de rotatie ∆x Voor de draaiing ω1 in het xz vlak ten gevolge van vx geldt vx (x, y, z + ∆z) − vx (x, y, z) ∂vx ω1 = ≈ . ∆z ∂z Voor de draaiing ω2 ten gevolge van vz geldt −vz (x + ∆x, y, z) + vz (x, y, z) ∂vz ω2 = ≈− . ∆x ∂x Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 13 VA ro/12 TG Het peddelwiel model en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. vz (x + ∆x, y, z) vx (x, y, z + ∆z) De rotatie ∆z vx (x, y, z) vz (x, y, z) ez Circulatie ey ex Eigenschappen van de rotatie ∆x Voor de draaiing ω1 in het xz vlak ten gevolge van vx geldt vx (x, y, z + ∆z) − vx (x, y, z) ∂vx ω1 = ≈ . ∆z ∂z Voor de draaiing ω2 ten gevolge van vz geldt −vz (x + ∆x, y, z) + vz (x, y, z) ∂vz ω2 = ≈− . ∆x ∂x De hoeksnelheid ωy om de y-as gelijk is aan ∂vx ∂vz ωy = lim 12 (ω1 + ω2 ) = 12 − . ∆x,∆z→0 ∂z ∂x Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 13 VA ro/12 TG De rotatie van een stroming Voor de draaiing om resultaten: ∂vz ωx = 21 − ∂y en 1 ∂vy − ωz = 2 ∂x UNIVERSITEIT TWENTE. de x- en z as gelden soortgelijke ∂vy ∂z ∂vx ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 14 VA ro/13 TG De rotatie van een stroming Voor de draaiing om resultaten: ∂vz ωx = 21 − ∂y en 1 ∂vy − ωz = 2 ∂x Daarmee geldt UNIVERSITEIT TWENTE. de x- en z as gelden soortgelijke ∂vy ∂z ∂vx ∂y De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie . ω = (ωx , ωy , ωz ) ∂vy ∂vx ∂vz ∂vy ∂vx 1 ∂vz − , − , − =2 ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y = 12 curl v. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 14 VA ro/13 TG Nogmaals de rotatie van de hoeksnelheid §4.5.3, voorbeeld 1 UNIVERSITEIT TWENTE. ω ` De rotatie ω Circulatie Eigenschappen van de rotatie ω ω Voor een draaiing v = ω × x met hoeksnelheid ω geldt (zie ook slide 7): curl v(x) = 2ω voor iedere x ∈ R3 . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 15 ro/14 Er is een lokale draaiing op iedere positie x. VA TG Voorbeeld: de rotatie van laminaire stroming v0 UNIVERSITEIT TWENTE. d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x De laminaire stroming evenwijdig aan de x-as wordt gegeven door: v = αz ex = (αz, 0, 0), met α = v0 /d. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 16 VA ro/15 TG Voorbeeld: de rotatie van laminaire stroming v0 UNIVERSITEIT TWENTE. d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x De laminaire stroming evenwijdig aan de x-as wordt gegeven door: v = αz ex = (αz, 0, 0), met α = v0 /d. Voor dit veld geldt curl v = (0, α, 0) = α ey . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 16 VA ro/15 TG Voorbeeld: de rotatie van laminaire stroming v0 UNIVERSITEIT TWENTE. d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x De laminaire stroming evenwijdig aan de x-as wordt gegeven door: v = αz ex = (αz, 0, 0), met α = v0 /d. Voor dit veld geldt curl v = (0, α, 0) = α ey . Het veld v is een afschuiving met hoeksnelheden 0 en α. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 16 VA ro/15 TG Voorbeeld: de rotatie van laminaire stroming v0 UNIVERSITEIT TWENTE. d De rotatie Circulatie z Eigenschappen van de rotatie y x De laminaire stroming evenwijdig aan de x-as wordt gegeven door: v = αz ex = (αz, 0, 0), met α = v0 /d. Voor dit veld geldt curl v = (0, α, 0) = α ey . Het veld v is een afschuiving met hoeksnelheden 0 en α. De hoeksnelheid is het gemiddelde van 0 en α oftewel ω = 12 α. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 16 VA ro/15 TG Voorbeeld: de rotatie van laminaire stroming v0 UNIVERSITEIT TWENTE. d De rotatie Circulatie ω z y Eigenschappen van de rotatie x De laminaire stroming evenwijdig aan de x-as wordt gegeven door: v = αz ex = (αz, 0, 0), met α = v0 /d. Voor dit veld geldt curl v = (0, α, 0) = α ey . Het veld v is een afschuiving met hoeksnelheden 0 en α. De hoeksnelheid is het gemiddelde van 0 en α oftewel ω = 12 α. De draaiings-as staat loodrecht op het xz-vlak, dus ω = 12 α ey = 12 curl v. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 16 VA ro/15 TG Laminaire stroming in een cilindrische buis §4.5.3, voorbeeld 2 UNIVERSITEIT TWENTE. x R De rotatie z Circulatie Eigenschappen van de rotatie y Voor laminaire stroming door een cilinder met straal R geldt: de snelheid in x = (x, y, z) is v(x) = vmax r2 1− 2 R ! ez . p waarbij r = x 2 + y 2 de afstand is van x tot de cilinder-as, en vmax de snelheid op de cilinder-as is. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 17 VA ro/16 TG Laminaire stroming in een cilindrische buis §4.5.3, voorbeeld 2 UNIVERSITEIT TWENTE. x R De rotatie z Circulatie Eigenschappen van de rotatie y Voor laminaire stroming door een cilinder met straal R geldt: de snelheid in x = (x, y, z) is v(x) = vmax r2 1− 2 R ! ez . p waarbij r = x 2 + y 2 de afstand is van x tot de cilinder-as, en vmax de snelheid op de cilinder-as is. In haakjes-notatie geeft dit v(x) = vmax y2 x2 0, 0, 1 − 2 − 2 R R Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 ! . 17 VA ro/16 TG Laminaire stroming in een cilindrische buis y x §4.5.3, voorbeeld 2 UNIVERSITEIT TWENTE. ω De rotatie z Circulatie y x Eigenschappen van de rotatie z De rotatie van v is curl v = vmax 2y 2x − 2 , 2 , 0 = K − y, x, 0 . R R met K = 2vmax /R2 . Vectoranalyse voor TG De draaiings-assen raken aan cirkels evenwijdig aan het xy-vlak met middelpunt op de z-as. De hoeksnelheid is 1 2 |curl v| = 21 Kr. VA.14-15[9] 25-9-2014 18 VA ro/17 TG Pauze UNIVERSITEIT TWENTE. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 18 VA break TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Definitie Gegeven is een stroming v in R3 . Stel C is een georiënteerde, gesloten kromme.I De circulatie door C is de lijnintegraal van v door C , dus v C · dr. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Stelling – circulatiestelling Stel S is een klein georiënteerd oppervlak met normaal n, dan is de circulatie bij benadering gelijk aan · (curl v n) opp(S). n S C Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 19 VA ro/18 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Definitie Gegeven is een stroming v in R3 . Stel C is een georiënteerde, gesloten kromme.I De circulatie door C is de lijnintegraal van v door C , dus v C · dr. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Stelling – circulatiestelling Stel S is een klein georiënteerd oppervlak met normaal n, dan is de circulatie bij benadering gelijk aan n · C (curl v n) opp(S). Gevolg: door S steeds kleiner te maken geldt I 1 curl v n = lim v dr S→0 opp(S) ∂S · S · Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 19 VA ro/18 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Definitie Gegeven is een stroming v in R3 . Stel C is een georiënteerde, gesloten kromme.I De circulatie door C is de lijnintegraal van v door C , dus v C · dr. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Stelling – circulatiestelling Stel S is een klein georiënteerd oppervlak met normaal n, dan is de circulatie bij benadering gelijk aan n · S C (curl v n) opp(S). Gevolg: door S steeds kleiner te maken geldt I 1 curl v n = lim v dr S→0 opp(S) ∂S · · De rotatie wordt daarom ook circulatiedichtheid genoemd. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 19 VA ro/18 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. n z y z C3 y +∆y S De rotatie C4 y + ∆y y S C2 y Circulatie Eigenschappen van de rotatie C1 x x + ∆x x x x +∆x We bewijzen de circulatiestelling voor een speciaal geval: S is een rechthoek evenwijdig aan het xy-vlak. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 20 VA ro/19 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. n z y z C3 y +∆y S De rotatie C4 y + ∆y y S C2 y Circulatie Eigenschappen van de rotatie C1 x x + ∆x x x x +∆x We bewijzen de circulatiestelling voor een speciaal geval: S is een rechthoek evenwijdig aan het xy-vlak. De rand van S bestaat uit vier lijnstukken C1 , C2 , C3 en C4 . Bereken de lijnintegraal van v over ieder lijnstuk. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 20 VA ro/19 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. n z y z C3 y +∆y S De rotatie C4 y + ∆y y S C2 y Circulatie Eigenschappen van de rotatie C1 x x + ∆x x x x +∆x We bewijzen de circulatiestelling voor een speciaal geval: S is een rechthoek evenwijdig aan het xy-vlak. De rand van S bestaat uit vier lijnstukken C1 , C2 , C3 en C4 . Bereken de lijnintegraal van v over ieder lijnstuk. Schrijf het vectorveld in componenten: v = (vx , vy , vz ) = vx ex + vy ey + vz ez . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 20 VA ro/19 TG Circulatie Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. UNIVERSITEIT TWENTE. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. r0 (t) = (∆x, 0, 0). UNIVERSITEIT TWENTE. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. r0 (t) = (∆x, 0, 0). v r(t) r0 (t) = vx r(t) ∆x ≈ vx (x, y, z)∆x. · De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. r0 (t) = (∆x, 0, 0). v r(t) r0 (t) = vx r(t) ∆x ≈ vx (x, y, z)∆x. Merk op dat het resultaat niet van t afhangt, dus · Z v C1 · dr ≈ De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Z 1 vx (x, y, z)∆x dt = vx (x, y, z)∆x. 0 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. r0 (t) = (∆x, 0, 0). v r(t) r0 (t) = vx r(t) ∆x ≈ vx (x, y, z)∆x. Merk op dat het resultaat niet van t afhangt, dus · Z v C1 · dr ≈ De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Z 1 vx (x, y, z)∆x dt = vx (x, y, z)∆x. 0 Voor C3 nemen we de parametrisering r(t) = (x + (1 − t)∆x, y + ∆y, z) 0 ≤ t ≤ 1. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. r0 (t) = (∆x, 0, 0). v r(t) r0 (t) = vx r(t) ∆x ≈ vx (x, y, z)∆x. Merk op dat het resultaat niet van t afhangt, dus · Z v C1 · dr ≈ De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Z 1 vx (x, y, z)∆x dt = vx (x, y, z)∆x. 0 Voor C3 nemen we de parametrisering r(t) = (x + (1 − t)∆x, y + ∆y, z) r0 (t) = (−∆x, 0, 0). 0 ≤ t ≤ 1. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. r0 (t) = (∆x, 0, 0). v r(t) r0 (t) = vx r(t) ∆x ≈ vx (x, y, z)∆x. Merk op dat het resultaat niet van t afhangt, dus · Z v C1 · dr ≈ Circulatie Eigenschappen van de rotatie Z 1 vx (x, y, z)∆x dt = vx (x, y, z)∆x. 0 Voor C3 nemen we de parametrisering r(t) = (x + (1 − t)∆x, y + ∆y, z) r0 (t) = (−∆x, 0, 0). v r(t) De rotatie 0 ≤ t ≤ 1. · r0(t) = −vx r(t) ∆x ≈ −vx (x, y + ∆y, z)∆x. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor C1 nemen we de parametrisering r(t) = (x + t∆x, y, z) 0 ≤ t ≤ 1. r0 (t) = (∆x, 0, 0). v r(t) r0 (t) = vx r(t) ∆x ≈ vx (x, y, z)∆x. Merk op dat het resultaat niet van t afhangt, dus · Z v C1 · dr ≈ v C3 Eigenschappen van de rotatie vx (x, y, z)∆x dt = vx (x, y, z)∆x. 0 0 ≤ t ≤ 1. · r0(t) = −vx r(t) ∆x ≈ −vx (x, y + ∆y, z)∆x. Z Circulatie Z 1 Voor C3 nemen we de parametrisering r(t) = (x + (1 − t)∆x, y + ∆y, z) r0 (t) = (−∆x, 0, 0). v r(t) De rotatie · dr ≈ − Z 1 vx (x, y + ∆y, z)∆x dt 0 = −vx (x, y + ∆y, z)∆x. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 21 VA ro/20 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor de horizontale randen van S geldt Z v C1 +C3 · dr ≈ − vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) ∆x De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 22 VA ro/21 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor de horizontale randen van S geldt Z v C1 +C3 · dr ≈ − vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) ∆x De rotatie Circulatie vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) =− ∆x∆y ∆y Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 22 VA ro/21 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor de horizontale randen van S geldt Z v C1 +C3 · dr ≈ − vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) ∆x De rotatie Circulatie vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) =− ∆x∆y ∆y ∂vx ≈− opp(S). ∂y Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 22 VA ro/21 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor de horizontale randen van S geldt Z v C1 +C3 · dr ≈ − vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) ∆x De rotatie Circulatie vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) =− ∆x∆y ∆y ∂vx ≈− opp(S). ∂y Met een soortgelijke behandeling zie je dat Z ∂vy v dr ≈ opp(S). ∂x C2 +C4 Eigenschappen van de rotatie · Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 22 VA ro/21 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor de horizontale randen van S geldt Z v C1 +C3 · dr ≈ − vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) ∆x De rotatie Circulatie vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) =− ∆x∆y ∆y ∂vx ≈− opp(S). ∂y Met een soortgelijke behandeling zie je dat Z ∂vy v dr ≈ opp(S). ∂x C2 +C4 Eigenschappen van de rotatie · De normaal op S is n = (0, 0, 1), dus I ∂vy ∂vx v dr ≈ − opp(S) ∂x ∂y C · Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 22 VA ro/21 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor de horizontale randen van S geldt Z v C1 +C3 · dr ≈ − vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) ∆x De rotatie Circulatie vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) =− ∆x∆y ∆y ∂vx ≈− opp(S). ∂y Met een soortgelijke behandeling zie je dat Z ∂vy v dr ≈ opp(S). ∂x C2 +C4 Eigenschappen van de rotatie · De normaal op S is n = (0, 0, 1), dus I ∂vy ∂vx v dr ≈ − opp(S) ∂x ∂y C · · = curl v (0, 0, 1) opp(S) Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 22 VA ro/21 TG Circulatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voor de horizontale randen van S geldt Z v C1 +C3 · dr ≈ − vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) ∆x De rotatie Circulatie vx (x, y + ∆y, z) − vx (x, y, z) =− ∆x∆y ∆y ∂vx ≈− opp(S). ∂y Met een soortgelijke behandeling zie je dat Z ∂vy v dr ≈ opp(S). ∂x C2 +C4 Eigenschappen van de rotatie · De normaal op S is n = (0, 0, 1), dus I ∂vy ∂vx v dr ≈ − opp(S) ∂x ∂y C · · curl v · n opp(S). = curl v (0, 0, 1) opp(S) = Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 22 VA ro/21 TG De rotatie van grad f UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel f is een functie van drie variabelen waarvan de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt curl(grad f ) = 0. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 23 VA ro/22 TG De rotatie van grad f UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel f is een functie van drie variabelen waarvan de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt curl(grad f ) = 0. ∂ ∂x curl(grad f ) = ∂f ∂x ∂ ∂y ∂f ∂y ∂ ∂z ∂f ∂z De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 23 VA ro/22 TG De rotatie van grad f UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel f is een functie van drie variabelen waarvan de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt curl(grad f ) = 0. ∂ ∂x curl(grad f ) = ∂f ∂x ∂ ∂y ∂f ∂y ∂ ∂z ∂f ∂z ∂ ∂x ∂f ∂x De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂f ∂y Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 23 VA ro/22 TG De rotatie van grad f UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel f is een functie van drie variabelen waarvan de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt curl(grad f ) = 0. ∂ ∂x curl(grad f ) = ∂f ∂x = ∂ ∂y ∂f ∂y ∂ ∂z ∂f ∂z ∂ ∂x ∂f ∂x De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂f ∂y ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f − , − , − ∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z ∂z∂y ∂y∂x ! Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 23 VA ro/22 TG De rotatie van grad f UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel f is een functie van drie variabelen waarvan de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt curl(grad f ) = 0. ∂ ∂x curl(grad f ) = ∂f ∂x = ∂ ∂y ∂f ∂y ∂ ∂z ∂f ∂z ∂ ∂x ∂f ∂x Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂f ∂y ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f − , − , − ∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z ∂z∂y ∂y∂x = (0, 0, 0). De rotatie ! Section 14.3, mixed derivative theorem Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 23 VA ro/22 TG De rotatie van grad f UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel f is een functie van drie variabelen waarvan de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt curl(grad f ) = 0. ∂ ∂x curl(grad f ) = ∂f ∂x = ∂ ∂y ∂f ∂y ∂ ∂z ∂f ∂z ∂ ∂x ∂f ∂x Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂f ∂y ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f ∂2f − , − , − ∂y∂z ∂z∂y ∂z∂x ∂x∂z ∂z∂y ∂y∂x = (0, 0, 0). De rotatie ! Section 14.3, mixed derivative theorem Gevolg Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 23 Als F conservatief is, dan is curl F = 0. VA ro/22 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet conservatief is. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 24 VA ro/23 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet conservatief is. Zie voorbeeld op slide 4: curl F = (−y(2 + x), x, yz). De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 24 VA ro/23 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet conservatief is. Zie voorbeeld op slide 4: curl F = (−y(2 + x), x, yz). De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Gebruik de stelling van slide 23: curl F 6= 0, dus F is niet conservatief. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 24 VA ro/23 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet conservatief is. Zie voorbeeld op slide 4: curl F = (−y(2 + x), x, yz). De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Gebruik de stelling van slide 23: curl F 6= 0, dus F is niet conservatief. Het omgekeerde is onder bepaalde voorwaarden ook waar: Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 24 VA ro/23 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet conservatief is. Zie voorbeeld op slide 4: curl F = (−y(2 + x), x, yz). De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Gebruik de stelling van slide 23: curl F 6= 0, dus F is niet conservatief. Het omgekeerde is onder bepaalde voorwaarden ook waar: Stelling Stel een vectorveld F is gedefinieerd op R3 . Als de partiële afgeleiden van de componentfuncties van F continu zijn op R3 en als curl F = 0, dan is F conservatief. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 24 VA ro/23 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet conservatief is. Zie voorbeeld op slide 4: curl F = (−y(2 + x), x, yz). De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Gebruik de stelling van slide 23: curl F 6= 0, dus F is niet conservatief. Het omgekeerde is onder bepaalde voorwaarden ook waar: Stelling Stel een vectorveld F is gedefinieerd op R3 . Als de partiële afgeleiden van de componentfuncties van F continu zijn op R3 en als curl F = 0, dan is F conservatief. Voor het bewijs heb je de stelling van Stokes nodig. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 24 VA ro/23 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 25 VA ro/24 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. curl F = ∇ × F De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 25 VA ro/24 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. curl F = ∇ × F ∂ ∂x = y2z 3 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂ ∂z 2xyz 3 3xy 2 z 2 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 25 VA ro/24 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. curl F = ∇ × F ∂ ∂x = y2z 3 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂ ∂z 2xyz 3 3xy 2 z 2 ∂ ∂x y2z 3 ∂ ∂y 2xyz 3 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 25 VA ro/24 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. curl F = ∇ × F ∂ ∂x = y2z 3 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂ ∂z 2xyz 3 3xy 2 z 2 ∂ ∂x y2z 3 ∂ ∂y 2xyz 3 = 6xyz 2 − 6xyz 2 , 3y 2 z 2 − 3y 2 z 2 , 2yz 3 − 2yz 3 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 25 VA ro/24 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. curl F = ∇ × F ∂ ∂x = y2z 3 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂ ∂z 2xyz 3 3xy 2 z 2 ∂ ∂x y2z 3 ∂ ∂y 2xyz 3 = 6xyz 2 − 6xyz 2 , 3y 2 z 2 − 3y 2 z 2 , 2yz 3 − 2yz 3 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 25 VA ro/24 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. curl F = ∇ × F ∂ ∂x = y2z 3 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂ ∂z 2xyz 3 3xy 2 z 2 ∂ ∂x y2z 3 ∂ ∂y 2xyz 3 = 6xyz 2 − 6xyz 2 , 3y 2 z 2 − 3y 2 z 2 , 2yz 3 − 2yz 3 = 0. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 25 VA ro/24 TG Rotatie en conservatieve velden UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat F(x, y, z) = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 conservatief is. curl F = ∇ × F ∂ ∂x = y2z 3 De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂y ∂ ∂z 2xyz 3 3xy 2 z 2 ∂ ∂x y2z 3 ∂ ∂y 2xyz 3 = 6xyz 2 − 6xyz 2 , 3y 2 z 2 − 3y 2 z 2 , 2yz 3 − 2yz 3 = 0. Een potentiaal van F is f (x, y, z) = xy 2 z 3 : fx (x, y, z) = y 2 z 3 , Vectoranalyse voor TG fy (x, y, z) = 2xyz 3 , VA.14-15[9] 25-9-2014 fz (x, y, z) = 3xy 2 z 2 . 25 VA ro/24 TG De componententest Zie ook college 7 Stelling Section 16.3, blz. 943 Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan is F conservatief dan en slechts dan als ∂P ∂N = , ∂y ∂z UNIVERSITEIT TWENTE. ∂M ∂P = ∂z ∂x en De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂N ∂M = . ∂x ∂y Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 26 VA ro/25 TG De componententest Zie ook college 7 Stelling UNIVERSITEIT TWENTE. Section 16.3, blz. 943 Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan is F conservatief dan en slechts dan als ∂P ∂N = , ∂y ∂z ∂M ∂P = ∂z ∂x en De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂N ∂M = . ∂x ∂y Voor het vectorveld F = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 geldt M = y2z 3 N = 2xyz 3 en P = 3xy 2 z 2 . Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 26 VA ro/25 TG De componententest Zie ook college 7 Stelling UNIVERSITEIT TWENTE. Section 16.3, blz. 943 Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan is F conservatief dan en slechts dan als ∂P ∂N = , ∂y ∂z ∂M ∂P = ∂z ∂x en De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂N ∂M = . ∂x ∂y Voor het vectorveld F = y 2 z 3 , 2xyz 3 , 3xy 2 z 2 geldt M = y2z 3 N = 2xyz 3 en P = 3xy 2 z 2 . Vectorveld F is conservatief want ∂N ∂P = 6xyz 2 = , ∂y ∂z en ∂N ∂M = 2yz 3 = . ∂x ∂y ∂P ∂M = 3y 2 z 2 = ∂z ∂x Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 26 VA ro/25 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. div curl F = ∇ · ∇×F De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. div curl F = ∇ · ∇×F Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂P ∂N ∂ ∂M ∂P ∂ ∂N ∂M = − + − + − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y De rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. div curl F = ∇ · ∇×F = Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂P ∂N ∂ ∂M ∂P ∂ ∂N ∂M = − + − + − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y De rotatie ∂2P ∂2N ∂2M ∂2P ∂2N ∂2M − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. div curl F = ∇ · ∇×F = Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂P ∂N ∂ ∂M ∂P ∂ ∂N ∂M = − + − + − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y De rotatie ∂2P ∂2N ∂2M ∂2P ∂2N ∂2M − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. div curl F = ∇ · ∇×F = Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂P ∂N ∂ ∂M ∂P ∂ ∂N ∂M = − + − + − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y De rotatie ∂2P ∂2N ∂2M ∂2P ∂2N ∂2M − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. div curl F = ∇ · ∇×F = Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂P ∂N ∂ ∂M ∂P ∂ ∂N ∂M = − + − + − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y De rotatie ∂2P ∂2N ∂2M ∂2P ∂2N ∂2M − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Stelling Stel F = (M , N , P) is een vectorveld op R3 en stel dat van M , N en P de tweede-orde partiële afgeleiden bestaan en continu zijn. Dan geldt div curl F = 0. div curl F = ∇ · ∇×F = Circulatie Eigenschappen van de rotatie ∂ ∂P ∂N ∂ ∂M ∂P ∂ ∂N ∂M = − + − + − ∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂x ∂y De rotatie ∂2P ∂2N ∂2M ∂2P ∂2N ∂2M − + − + − ∂x∂y ∂x∂z ∂y∂z ∂y∂x ∂z∂x ∂z∂y = 0. Section 14.3, mixed derivative theorem Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 27 VA ro/26 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet de rotatie van een vectorveld is, met andere woorden: er bestaat geen vectorveld G zodat F = curl G. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 28 VA ro/27 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet de rotatie van een vectorveld is, met andere woorden: er bestaat geen vectorveld G zodat F = curl G. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Als er een vectorveld G is waarvoor F = curl G, dan div F = div curl G = 0. Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 28 VA ro/27 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet de rotatie van een vectorveld is, met andere woorden: er bestaat geen vectorveld G zodat F = curl G. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Als er een vectorveld G is waarvoor F = curl G, dan div F = div curl G = 0. Er geldt echter ∂(xz) ∂(xyz) ∂ − y 2 + + div F = ∂x ∂y ∂z Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 28 VA ro/27 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet de rotatie van een vectorveld is, met andere woorden: er bestaat geen vectorveld G zodat F = curl G. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Als er een vectorveld G is waarvoor F = curl G, dan div F = div curl G = 0. Er geldt echter ∂(xz) ∂(xyz) ∂ − y 2 + + div F = ∂x ∂y ∂z = z + xz + 0 Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 28 VA ro/27 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet de rotatie van een vectorveld is, met andere woorden: er bestaat geen vectorveld G zodat F = curl G. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Als er een vectorveld G is waarvoor F = curl G, dan div F = div curl G = 0. Er geldt echter ∂(xz) ∂(xyz) ∂ − y 2 + + div F = ∂x ∂y ∂z = z + xz + 0 = z + xz Vectoranalyse voor TG VA.14-15[9] 25-9-2014 28 VA ro/27 TG Divergentie en rotatie UNIVERSITEIT TWENTE. Voorbeeld Toon aan dat het vectorveld F(x, y, z) = xz, xyz, −y 2 niet de rotatie van een vectorveld is, met andere woorden: er bestaat geen vectorveld G zodat F = curl G. De rotatie Circulatie Eigenschappen van de rotatie Als er een vectorveld G is waarvoor F = curl G, dan div F = div curl G = 0. Er geldt echter ∂(xz) ∂(xyz) ∂ − y 2 + + div F = ∂x ∂y ∂z = z + xz + 0 = z + xz Vectoranalyse voor TG 6= 0. VA.14-15[9] 25-9-2014 28 VA ro/27 TG
© Copyright 2024 ExpyDoc
