SignalenWiskundeWeek..

Inhoud week 3
12.9 Taylorreeksen en benaderingen
13.1 Extrema
2
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Benadering
Voor geschikte functie f rond punt a:
f a + h = f a + f £ a h + 1 f ££ a h2 + …
2
ofwel
f x = f a + f £ a x - a +
1
2
f ££ a x - a2 + …
Voor geschikte functie f rond punt a, b:
f a + h, b + k = ??
ofwel
f x, y = ??
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Lineaire benadering
Voor geschikte functie f rond punt a, b:
f a + h, b + k = f a, b + f1 a, b h + f2 a, b k + …
linearisatie van f rond a,b
ofwel
f x, y = f a, b + f1 a, b x - a + f2 a, b y - b + …
linearisatie van f rond a,b
3
4
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Tweede-orde-benadering 1
Beschouw geschikte functie f rond a, b.
Laat h, k º 0, 0.
Definieer gt = f a + t h, b + t k.
Dan g0 = f a, b en g1 = f a + h, b + k.
Laat t ∫ 0.
De stelling van Taylor zegt dat er een c tussen 0 en t is met
gt = g0 + g1 0 t +
1
2
g2 0 t 2 +
1
6
g3 c t 3
In het bijzonder is er een c tussen 0 en 1 zó, dat
(1) g1 = g0 + g1 0 + 1 g2 0 + 1 g3 c
2
6
Gebruik van kettingregel:
Laat z = f x, y met x = a + t h en y = b + t k.
Dan
z = gt
en
dz
dt
= g1 t =
∑z dx
∑x dt
+
∑z dy
∑y dt
ofwel
g1 t = f1 a + t h, b + t k h + f2 a + t h, b + t k k
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Tweede-ordebenadering 2
Als gt = f a + t h, b + t k, dan vinden we
g1 t = f1 a + t h, b + t k h + f2 a + t h, b + t k k
g2 t = f11 a + t h, b + t k h2 + 2 f12 a + t h, b + t k h k +
+f22 a + t h, b + t k k 2
g3 t = f111 a + t h, b + t k h3 + 3 f112 a + t h, b + t k h2 k +
+3 f122 a + t h, b + t k h k 2 + f222 a + t h, b + t k k 3
Invullen in formule (1) geeft
f a + h, b + k = f a, b + f1 a, b h + f2 a, b k +
+ 1 f11 a, b h2 + f12 a, b h k +
2
1
f22 a,
2
waarbij de puntjes in absolute waarde kleiner zijn dan
een constante maal
h2 + k 2
3
.
b k 2 + …
5
6
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Tweede orde benadering 3
Als h, k º 0, 0, dan
f a + h, b + k = f a, b + f1 a, b h + f2 a, b k +
+ 1 f11 a, b h2 + f12 a, b h k +
2
1
f22 a,
2
b k 2 + …
Als x, y º a, b, dan
f x, y = f a, b + f1 a, b x - a + f2 a, b y - b +
+ 1 f11 a, b x - a2 + f12 a, b x - a y - b +
2
+ 1 f22 a,
2
b y - b2 + …
De tweede orde benadering van f in a, b:
p2 x, y = f a, b + f1 a, b x - a + f2 a, b y - b +
+ 1 f11 a, b x - a2 + f12 a, b x - a y - b +
2
+ 1 f22 a,
2
b y - b2 .
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Voorbeeld 1
Beschouw f x, y =
1
;
Bepaal de tweede orde benadering van f rond 1, 1.
x+y 2
Gevraagd p2 x, y = f 1, 1 + f1 1, 1 x - 1 + f2 1, 1 y - 1 +
+ 1 f11 1, 1 x - 12 + f12 1, 1 x - 1 y - 1 +
2
+ 1 f22 1,
2
Dan f1 x, y = f11 x, y =
2
x+y 2 
1
1 y - 12
; f2 x, y = -
; f12 x, y =
2 3
x+y 
2
x+y 2 
2y
2
; f22 x, y =
2 3
x+y 
4y
Dus f 1, 1 = 1 , f1 1, 1 = - 1 , f2 1, 1 = - 1 ,
f11 1, 1 =
2
1
, f12 1,
4
Antwoord:
p2 x, y = 1 -
1
4
2
x - 1 -
+ 1 x - 1 +
2
8
1 =
4
1
; f22 1,
2
1
2
1
2
2
1 =
1
.
2
y - 1 +
x - 1 y - 1 +
1
4
y - 12 .
2 -x+3 y 2 
x+y 2 
3
.
7
8
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Voorbeeld 2
Beschouw de functie f x, y = ‰2 x+3 y .
Bepaal de tweede orde benadering van f rond 0, 0.
Methode 1: Via partiële afgeleiden, zie voorbeeld 1
Methode 2: Als x, y º 0, 0, dan 2 x + 3 y º 0.
Nu is ‰u = 1 + u +
u2
2
+ … als u Ø 0.
Dus ‰2 x+3 y = 1 + 2 x + 3 y +
2 x+3 y2
2
+…=
= 1 + 2 x + 3 y + 2 x2 + 6 x y +
9
2
y2 + …
Gevolg p2 x, y = 1 + 2 x + 3 y + 2 x 2 + 6 x y +
9
2
y 2.
SignalenWiskundeWeek_3.nb
12.9 Alternatief tweede orde benadering
Beschouw f x, y rond punt a, b.
Beschouw x variabel en y vast; ontwikkel rond a. Dan
f x, y = f a, y + f1 a, y x - a + 1 f11 a, y x - a2 + ….
i
ii
2
iii
Beschouw x vast en y variabel; ontwikkel slim rond b. Dan
f x, y = f a, b + f2 a, b y - b + 1 f22 a, b y - b2 + … +
i
2
+f1 a, b + f12 a, b y - b + … x - a +
ii
+ 1 f11 a, b + … x - a2 + …
2
iii
en ordenen geeft
f x, y = f a, b + f1 a, b x - a + f2 a, b y - b +
+ 1 f11 a, b x - a2 + f12 a, b x - a y - b +
2
+ 1 f22 a,
2
b y - b2 + …
9
10
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Inleiding Extrema
Functie f x kan in het punt a een extremum hebben als
f £ a = 0
ö raaklijn is horizontaal, vgl y = f a,
ö f a + h = f a + 1 f 2 a h2 + …
2
< 0 , maximum
f 2 a = 0 ,
??
> 0 , minimum
f is niet differentieerbaar in a
het punt a ligt op de rand
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Definitie extrema
De functie f x, y heeft in a, b een locaal maximum
als f x, y § f a, b voor alle x, y in een omgeving van a, b.
De functie f x, y heeft in a, b een globaal maximum
als f x, y § f a, b voor alle x, y in D f .
De functie f x, y heeft in a, b een locaal minimum
als f x, y ¥ f a, b voor alle x, y in een omgeving van a, b.
De functie f x, y heeft in a, b een globaal minimum
als f x, y ¥ f a, b voor alle x, y in Df .
Opmerking: een locaal maximum kan ook het globale maximum zijn;
een globaal maximum is ook een locaal maximum.
11
12
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Kernidee (bij functies van twee variabelen)
Laat de functie f overal differentieerbaar zijn.
Laat f x, y een extremum hebben in punt a, b.
Dan is “f a, b = 0, 0.
Als h, k º 0, 0, dan
f a + h, b + k = f a, b +
+ 1 f11 a, b h2 + f12 a, b h k +
2
1
f22 a,
2
b k 2 + …
Merk op:
f a + h, b + k = f a, b +
+k 2 
1
f11 a,
2
b  h  + f12 a, b
2
k
h
k
tekenvast als ???
+
1
f22
2
a, b  + …
2
Belangrijk: discriminant f12
a, b - f11 a, b f22 a, b,
teken van f11 a, b.
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Extrema
2
Laat D = Da, b = f11 a, b f22 a, b - f12
a, b.
Functie f x, y kan in het punt a, b een extremum hebben als
“f a, b = 0
ö raakvlak is horizontaal, vgl z = f a, b,
ö f a + h, b + k = f a, b +
+ 1 f11 a, b h2 + f12 a, b h k +
2
Da, b
1
f22 a,
2
b k 2 + …
< 0 , zadelpunt ,
= 0 ,
??
,
> 0 , extremum , f11 a, b 
“f bestaat niet in a, b.
het punt a, b ligt op de rand.
< 0 , max
> 0 , min
In deze drie gevallen heet een punt a, b een kritiek punt.
Als voor een punt a, b geldt dat “f a, b = 0, dan is het punt a, b stationair.
13
14
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 D ∫ 0
Bij een kandidaatextremum
Als D > 0, dan is er een extremum
Als D < 0, dan is er een zadelpunt en dus geen extremum.
Een 3D-plaatje van een zadelpunt:
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Zoeken van extrema
Beschouw een functie f x, y
Bij het bepalen van extrema gaat u als volgt te werk:
Zoek de kandidaatpunten: dit zijn de kritieke punten,
Onderzoek de punten a, b, waar “f niet bestaat.
Onderzoek de punten a, b die op de rand liggen.
Bepaal bij de overige kritieke punten a, b het teken van Da, b.
Alleen als Da, b = 0 moet u verder kijken wat er aan de hand is.
Onderzoek de punten a, b waar de gradiënt niet bestaat of die op de rand liggen.
Als u een extremum vindt, dan is het in ieder geval een locaal extremum.
U hoeft alleen te onderzoeken of een extremum globaal is als daar expliciet om wordt gevraagd.
15
16
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 1
Bepaal de plaats, aard en waarde van de kritieke punten van f x, y = x 2 + y 2 .
Gezocht alle punten x, y met
f x, y = 2 x = 0 , 1
 1
f2 x, y = 2 y = 0 , 2
Uit (1) volgt dat x = 0 en uit (2) volgt dat y = 0.
We vinden één kritiek punt P1 : 0, 0.
Nu is D0, 0 = 4 > 0 en f11 0, 0 > 0, dus in P1 is een locaal minimum.
Omdat f 0, 0 = 0 § x 2 + y 2 = f x, y vinden we dat f in P1 een globaal minimum heeft.
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 2
Bepaal de plaats, aard en waarde van de kritieke punten van f x, y = x 2 - y 2 .
Gezocht alle punten x, y met
f x, y = 2 x = 0 , 1
.
 1
f2 x, y = -2 y = 0 , 2
Uit (1) volgt dat x = 0 en uit (2) volgt dat y = 0.
We vinden één kritiek punt P1 : 0, 0.
Nu is D0, 0 = -4 < 0, dus in P1 is een zadelpunt.
Nu is f 0, 0 = 0 en de niveau-kromme bij 0 bestaat uit de lijnen
y = x en y = -x, dus in P1 is een zadelpunt.
17
18
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 3
Bepaal de plaats, aard en waarde van de kritieke punten van f x, y = x 2 .
Gezocht alle punten x, y met
f x, y = 2 x = 0 , 1
.
 1
f2 x, y = 0 = 0 , 2
Uit (1) volgt dat x = 0.
We vinden één lijn van kritieke punten Py : 0, y met y in R.
In ieder punt Py geldt dat Dx, y = 0.
f 0, y = 0 § f x, y voor alle punten x, y.
In ieder punt Py is een globaal minimum want
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 4
Bepaal de plaats, aard en waarde van de extrema van f x, y =
Gezocht alle punten x, y met
x
f1 x, y =
= 0 , 1
f2 x, y =
x 2 +y 2
y
x 2 +y 2
x2 + y 2 .
= 0 , 2
Hieruit volgt dat er geen kritieke punten zijn.
Opmerking: het punt 0, 0 is géén oplossing van stelsel vgl.
In ieder geval heeft f geen extrema buiten de oorsprong.
De functie f heeft wel een globaal minimum in 0, 0, want f 0, 0 = 0 § f x, y voor alle punten x, y.
Opmerking: in 0, 0 is de functie niet differentieerbaar.
19
20
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 5
Bepaal de plaats, aard en waarde van de extrema van f x, y = x y - x y 2 .
Gezocht alle punten x, y met
f1 x, y = y - y 2 = 0 , 1
f2 x, y = x - 2 x y = 0 , 2
Vgl (1) herschrijven geeft y1 - y = 0.
Dus y = 0 of 1 = y.
y = 0 in vgl (2): x = 0, punt P1 : 0, 0
y = 1 in vgl (2); -x = 0, punt P2 : 0, 1
Nu is Dx, y = -1 - 2 y2 ; Dus D0, 0 = -1 < 0, D0, 1 = -1 < 0.
In P1 en P2 zijn zadelpunten. De functie f heeft geen extrema.
In beide punten is een zadelpunt, want beide punten liggen op
de niveau-kromme f x, y = x y1 - y = 0 en die bestaat uit de
lijnen x = 0, y = 0 en y = 1.
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 6
Beschouw f x, y = x 2 + 4 x y + 4 y 2 + y 4 .
Geef de plaats, aard en waarde van de extrema.
Gezocht alle punten x, y met
f1 x, y =
2x +4y
= 0 , 1
f2 x, y = 4 x + 8 y + 4 y 3 = 0 , 2
Uit vgl (1) volgt dat x = -2 y.
Invullen in vgl (2) geeft 4 y 3 = 0 ofwel y = 0.
Dus er is één kandidaatextremum P1 = 0, 0.
Nu is Dx, y = 2 * 8 + 12 y 2  - 16 en D0, 0 = 0.
Verder onderzoek leert dat f x, y = x + 2 y2 + y 4 .
Dus in 0, 0 is een globaal minimum omdat f 0, 0 = 0 § f x, y.
21
22
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 7
Beschouw f x, y =
voor alle x, y ∫ 0, 0.
x2
x 2 +y 2
Geef de plaats, aard en waarde van de extrema.
Gezocht alle punten x, y met
f1 x, y =
2 x y2
x 2 +y 2 
f2 x, y = -
2
x2 y
x 2 +y 2 
2
= 0 , 1
= 0 , 2
Uit vgl (1) volgt x = 0 of y = 0 behalve 0, 0.
Nu is f 0, y = 0 § f x, y en f x, 0 = 1 ¥ f x, y.
De kritieke punten zijn de punten op de x-as of op de y-as uitgezonderd de oorsprong.
Gevolg: in alle punten op de lijn x = 0, behalve 0, 0, is een
globaal minimum en in alle punten op de lijn y = 0, behalve
0, 0 is een globaal maximum.
Merk op dat Dx, y niet bepaald is.
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 8
Beschouw f x, y = x 4 y - 2 x 2 y 2 + y 3 .
(a) Teken de niveau-kromme bij 0.
(b) Geef aan waar f groter of kleiner dan 0 is
(c) Bepaal plaats, aard en waarde van extrema van f .
(a) en (b): Voor niveau-kromme geldt dat f x, y = 0.
Dus x 4 - 2 x 2 y + y 2  y = 0 ofwel x 2 - y2 y = 0.
Gevolg y = 0 of y = x 2 .
Y
3
2
>0
1
>0
-2
>0
-1
1
<0
-1
2
X
23
24
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 8 vervolg
(c) Gezocht alle punten x, y met
f1 x, y = 4 x 3 y - 4 x y 2
= 0 , 1
f2 x, y = x 4 - 4 x 2 y + 3 y 2 = 0 , 2
Vgl (1) herschrijven levert 4 x yx 2 - y = 0.
Gevolg x = 0, y = 0 of y = x 2 .
2
x = 0 in vgl (2) geeft -3 y = 0, dus y = 0. Punt 0, 0.
4
y = 0 in vgl (2) geeft x = 0, dus x = 0. Wederom 0, 0.
2
y = x 2 in vgl (2) geeft 0 = 0, dus alle punten Px : x, x ;
Merk op P0 = 0, 0.
Conclusie: Alle punten x, x 2  met x in R zijn kandidaatextrema.
Nu is Dx, y = 12 x 2 y - 4 y 2  -4 x 2 + 6 y - 4 x 3 - 8 x y2 .
Dus Dx, x 2  = 0 voor alle x in R.
Omdat f x, x 2  = 0 § f x, y als y > 0, is in Px een locaal minimum
als x ∫ 0.
Omdat f 0, y = y 3 , is in 0, 0 geen extremum.
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Eigenschap
Stelling 2
Gegeven een begrensd en gesloten gebied D in R2 en een
functie f die continu is op D.
Dan heeft f op D een absoluut maximum en een absoluut
minimum.
Een begrensd gebied D is een gebied D dat binnen een cirkel
ligt.
Een gesloten gebied D is een gebied D waarvan de rand tot
D behoort.
De eigenschap wordt gebruikt om het bestaan van extrema te
laten zien door een geschikt gebied D te kiezen.
25
26
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Begrensd en gesloten gebied
Voorbeeld van begrensd en gesloten gebied D in R2 .
Y
X
D
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 9
Beschouw de functie f x, y = sinx 2 + y 2 .
Bepaal de plaats, aard en waarde van alle extrema van f .
Gezocht alle punten x, y met
f1 x, y = cosx 2 + y 2  2 x = 0 , 1
f2 x, y = cos x 2 + y 2  2 y = 0 , 2
Uit de vgl (1) en (2) volgt dat de kritieke punten zijn
ö x, y met cosx 2 + y 2  = 0 ofwel x 2 + y 2 = p + k p, k = 0, 1, …
ö 0, 0
2
Conclusie:
In 0, 0 is een locaal minimum met waarde 0, want f moet
in gebied x 2 + y 2 § 1 een globaal minimum hebben.
Globale maxima in x, y met x 2 + y 2 = p + k p , k even.
Globale minima in x, y met x + y =
2
2
2
p
+
2
k p , k oneven.
27
28
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 10
Beschouw de functie f x, y = x - y x 2 + y 2 - 1.
(a) Teken de niveau-kromme bij hoogte 0.
(b) Hoeveel kritieke punten verwacht u minimaal?
(c) Bepaal de plaats, aard en waarde van alle extrema van f .
(a) Als f x, y = 0, dan y = x of x 2 + y 2 = 1.
Y
1.5
<0
1.0
>0
-1.5
-1.0
0.5
-0.5
0.5
-0.5
<0
1.0
1.5
X
-1.0
-1.5
>0
(b) Twee snijpunten van lijn en circel, een in linkerboven- en een in
rechteronder cirkelschijfhelft vanwege maximum in eerste en
minimum in tweede.
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld 10 vervolg
(c) Gezocht alle punten x, y met
f1 x, y = x 2 + y 2 - 1 + 2 xx - y
= 0 , 1
f2 x, y = -x 2 + y 2 - 1 + 2 yx - y = 0 , 2
Vgl (1) + (2) geeft 2 xx - y + 2 yx - y = 0 ofwel
2 x - y x + y = 0. Dus y = x of y = -x.
2
y = x in vgl (1) geeft 2 x = 1, x = ≤
P1 : 
1
2
,
1
2
, P2 : -
1
2
,-
1
2

2
y = -x in vgl (1) geeft 6 x = 1, x = ≤
P3 : 
1
6
,-
1
6
, P4 : -
1
6
,
1
6

1
2
1
6
, twee punten:
, twee punten:
Conclusie: P1 en P2 zijn zadelpunten, in P3 is een locaal
maximum en in P4 is een locaal minimum. (Extrema in halve cirkelschijven)
Locaal want lim f x, 0 = ¶ en lim f x, 0 = -¶
xØ¶
xØ-¶
29
30
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Generalisatie 2D
Rond kritiek punt a, b:
Als h, k º 0, 0, dan
f a + h, b + k = f a, b +
+ 1 f11 a, b h2 + f12 a, b h k +
2
ofwel
f a + h, b + k = f a, b + 1 h, k
1
f22 a,
2
f11 a, b f12 a, b h
  + …
f21 a, b f22 a, b k
f11 a, b f12 a, b
.
f21 a, b f22 a, b
Bij onderzoek spelen f11 a, b en D rol.
2
Merk op D =
b k 2 + …
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Generalisatie 3D (buiten stof)
Rond kritiek punt a, b, c:
Als h, k, l º 0, 0, 0, dan
f a + h, b + k, c + l = f a, b, c +
+ 1 f11 a, b, c h2 + f12 a, b, c h k + f13 a, b, c h l +
2
+f21 a, b, c h k + f22 a, b, c k 2 + f23 a, b, c k l +
+f31 a, b, c h l + f32 a, b, c k l + f33 a, b, c l 2 + …
ofwel
f a + h, b + k, c + l = f a, b, c +
+ 1 h,
2
f11 a, b, c f12 a, b, c f13 a, b, c
k, l f21 a, b, c f12 a, b, c f23 a, b, c
f31 a, b, c f32 a, b, c f33 a, b, c
Bij onderzoek spelen
f11 a, b, c, de onderdeterminant
h
k +…
l
f11 a, b, c f12 a, b, c
f21 a, b, c f22 a, b, c
f11 a, b, c f12 a, b, c f13 a, b, c
determinant f21 a, b, c f12 a, b, c f23 a, b, c rol.
f31 a, b, c f32 a, b, c f33 a, b, c
en
31
32
SignalenWiskundeWeek_3.nb
13.1 Voorbeeld uit praktijk
Gezocht minimum van J a, b =  f t - a cosw t - b sinw t2 „t
T
0
met T =
2p
.
w
In ieder geval moet dan gelden dat
∑
∑a
Ja, b = 0 en
∑
∑b
Ja, b = 0.
Heel algemeen blijkt dat
Ja, b = 
T
∑
∑a
0
∑
∑a
f t - a cosw t - b sinw t2 „t.
Gevolg:  2 f t - a cosw t - b sinw t - cosw t „t = 0
T
0
Dus  f t cosw t „t = a
T
0
Evenzo b =
2
T
T
2
ofwel a =
 f t sinw t „t.
T
0
2
T
 f t cosw t „t.
T
0

Download Report