PORTFOLIO THEORIE EN BEDRIJFSFINANCIERING

PORTFOLIO THEORIE EN BEDRIJFSFINANCIERING
Lambert Vanthienen
Onderzoeksrapport Nr. 7305
PORTFOLIO THEORIE EN BEDRIJFSFINANCIERING
Lambert Vanthienen*
De traditionele indeling van de financiele problematiek werd doorbroken
door de recente ontwikkeling van Portfolio Theorie tot wat genoemd kan
worden een theorie van waardebepaling op de kapitaalmarkt.
Daarom
~s
het de bedoeling van dit artikel samenvattend enkele fundamentele problemen van bedrijfsfinanciering te integreren in deze benadering.
Daar-
bij wordt vooral aandacht besteed aan risico en bedrijfswaarde, optimale
investeringsbeslissingen en kapitaalkost, de financiele structuur en de
invloed van het belastingssysteem op alternatieve financieringswijzen.
Portfolio Theorie verschaft hierbij een economisch verantwoord en theoietisch gefundeeid inzicht in enkele van de belangrijkste problemen in
bedrijfsfinanciering.
Ret samenvattend karakter van dit artikel maakt het onmogelijk in de
tekst de passende referenties
~n
te lassen.
Nochtans client, vooral voor
het eerste gedeelte, verwezen te worden naar Fama-Miller [2].
* Docent, Departement Toegepaste Economie, Katholieke Universiteit te
Leuven. De auteur staat erop Prof. R. Vandenborre en de Heren S. Beckers,
F. Depre, L. Gheysens en A. Schrevens te danken voor hun kritische bemerkingen.
1. Doel en basisveronderstellingen
Financiele theorie bestudeert de aanwending van financiele middelen van individuele personen en bedrijven in de tijd.
Daarbij maakt de
kapitaalmarkt het mogelijk beschikbare middelen te beleggen om ze later
voor verbruik aan te wenden en zetten bedrijven deze om in toekomstig
v~a
beschikbare middelen
investeringen en produktie.
Een centraal thema in de ontwikkeling van financiele theorie is
de rol van een perfecte kapitaalmarkt waardoor individuele personen en
bedrijven op de meest efficiente wijze over de beschikbare middelen
kunnen beschikken.
Een perfecte kapitaalmarkt onderstelt dat alle
informatie, relevant voor de prijsvorming, vrij ter beschikking staat
van iedereen, dat er geen transactiekosten en belastingen zijn, dat de
verhandelde
objecten
oneindig deelbaar zijn en dat geen der marktpar-
tijen de prijs kan beinvloeden.
Daarenboven wordt ondersteld dat de
markt van de verbruiks- en investeringsgoederen perfect is zodat geen
enkel alleenstaand persoon of bedrijf de consumptie- of investeringsmogelijkheden van de individuele verbruikers of bedrijven kan beinvloeden.
Verder wordt aangenomen dat individuele personen als objectief
hebben de verwachte waarde van hun nut over een bepaalde periode te
maksimaliseren en dat ze risiko- afkerig zijn.
paribus, beleggingen met minder risiko verkozen.
Daardoor worden, ceteris
Dit betekent tevens
dat het nut toeneemt op afnemende wijze in functie van een individu's
totale bezittingen w.
Klaarblijkelijk zijn deze veronderstellingen
geen juiste weergave van de werkelijke kapitaalmarkt.
Hieraan wordt
tegemoetgekomen enerzijds door de belangrijkste imperfectie op de kapitaalmarkt, nl. het belastingssysteem, later in deze analyse in te
brengen en anderzijds door beroep te doen op o.a. Milton Friedman's [3]
Stelling dat een theorie niet zozeer beoordeeld client te worden op basis
van de realiteitsweergave van de onderstellingen, dan wel op de inzichtelijke verklaringen die eruit kunnen afgeleid worden.
2
2. Ret twee- periode consumptie - investeringsmodel*
In dit artikel, zoals gebruikelijk in de literatuur, wordt het
financieel beslissingsproces verder vereenvoudigd door een twee-perioden
model te beschouwen waarin een individueel persoon zijn totaal initieel
bezit wt splitst
~n
een belegging ht
= wt
een gedeelte verbruiksuitgaven ct voor periode t en
- ct.
Daardoor bekomt hij op het einde van perio-
de t een onzekere rijkdom ;t+l die volledig verbruikt wordt in periode
t+l, m.a.w. ct+l
= wt+l'
wat toelaat het daardoor bekomen nut, dat hij
overigens wenst te maksimaliseren, weer te geven door u (ct. ct+l)' monotoon stijgend en concaaf in (ct, ct+l).
Schijnbaar is dit een weinig interessant of algemeen geval.
blijkt nochtans dat de kern van het globale financieringsprobleem
vervat
Later
er~n
~s.
2. I. Ret "Efficient Set" Theorema
We stellen nu, ter vereenvoudiging, dat de eigendom van bedrijven
vertegenwoordigd wordt door aandelen en dat onzekere beleggingsuitkomsten kunnen beschreven worden door twee parameters : het verwachte rendementE(Rt) en een maatstaf voor de spreiding van de mogelijke rendementen
rond de verwachte waarde.
Ret verwachte rendement E(Rt)' over een
periode van t tot t+l, wordt dan gegeven door :
E(pt+l) - pt + dt
(I)
pt
met pt
dt
= de
marktwaarde van een aandeel bij het begin van periode t.
dividend uitbetaald per aandeel op ogenblik t.
De standaarddeviatie van het rendement wordt gegeven door
(2)
en geeft een aanduiding van de wijze waarop het rendement kan afwijken
van de verwachte waarde, wat het financiele risiko weerspiegelt.
*Ret teken - duidt op een lukrake grootheid.
3
De theoretische ontwikkeling gebeurt verder
~n
de onderstelling dat de
rendementen normaal verdeeld zijn, zodat de verwachte waarde en de
standaarddeviatie bestaan.
Fama-Miller [2] breiden dit uit tot andere
steriele verdelingsfuncties waarvan alleen het eerste moment bestaat.
Laat ons nu, op tij dstip t, voor een individueel persoon een beleggingsmogelijkheid p beschouwen met rendement Rpt
dat in periode t+l het verwacht
Hieruit volgt
consumptieniveau en de standaarddevia-
tie ervan gegeven wordt door
(w t -ct) (1 + E(ll pt ))
(3)
E (wt+ I)
E(;t+l)
(4)
o(wt+l)
o(ct+l) = (wt-ct) o(R pt )
) houdt een toename ~n E(R ) een verschuiving
pt
pt
~n van de waarschijnlijkheidsfunctie naar stijgende waarden van R
en
pt
dus ook van ~
zodat een hogere waarde van E(R ) verkozen wordt.
t+ 1
pt
Tevens, met constante E(R ), houdt een toename van de standaarddeviatie
pt
van ~pt een afvlakking van de waarschijnlijkheidsverdeling en dus ook
Met constante o(R
van ct+l rond hun gemiddelde waarden in.
Wegens de symmetrie van de
normale verdelingsfunctie en omdat risiko-afkerigheid ondersteld werd
doet de toegenomen waarschijnlijkheid verbonden aan hogere waarden van
R
het nut minder toenemen dan de hogere waarschijnlijkheid van lagere
pt
uitkomsten van R
het nut doet afnemen. Ceteris paribus, neemt het
pt
verwachte nut voor een risiko-afkerig belegger dus af met toenemend
risiko.
Na weglating van de tijdindex t volgt hieruit het "Efficient Set"
theorema
De optimale belegging van een risiko-afkerig consument is
E(R), o(R) efficient.
Bij bepaling dan is een belegging E(R), o(R)
efficient indien, gegeven het set van alle mogelijk beleggingen, geen
belegging met dezelfde of hogere E(R) een lagere o(R) heeft.
4
2.2. Grafische illustratie van de nutsfunctie
Indien men in (E(R), o(R)) isonutsfuncties V weergeeft volgt dat,
vermits het verwachte nut ceteris paribus een toenemende functie van
E(R) en een dalende functie van o(R) is, elke isonutsfunctie een positieve helling heeft Ln de E(R) o(R) dimensie m.a.w. om een individu er
toe aan te zetten, bij gelijkblijvend nut, meer o(R), op te nemen moet
hij meer E(R) bekomen.
E(R)
A
0
Fig. 1.
Daarenboven, voor een gegeven E(R), neemt het nut toe bij dalende waarden van o(R); voor een gegeven o(R), neemt het nut toe met stijgende
waarden van E(R).
Risico-afkerigheid impliceert uiteindeli}k dat in de
E(R), o(R) dimensie, isonutsfuncties convex zijn zoals weergegeven in
fig. I, waarbij de richtingen AB en CD ceteris paribus toenemend nut
aanduiden.
2.3. De Verzameling der Beleggingsmogelijkheden
Beschouwen we twee willekeurig gekozen aandelen a en b uit alle
-
mogelijkheden N, met verwacht rendement E(Ra) en E(Rb), standaarddeviaties o(Ra) en o(Rb) en cov(Ra, Rb).
Door een gedeelte x van ht in a en
(1-x) van ht in b te beleggen wordt de belegging van een individueel
persoon gekenmerkt door
(5)
Rp = xRa
+ (1-x) Rb
5
met als gemiddelde
E(R )
(6)
P
= x E(R )
+ (l-x) E(Rb)
a
en standaarddeviatie.
o(R )
(7)
p
=
1I 2
2 2 2 2 [x o (R ) + ( 1-x) o (Rb) + 2x(l-x) cov(Ra, Rb)]
a
I /2
2 2 + (1-x) o (Rb) + 2x(l-x) kabo(Ra)o(Rb)]
cov(Ra,Rb)
met
_
, de correlatiecoefficient tussen Ra en Rb.
o(Ra)o(Rb)
Uit (6) volgt dat E(R ) niet belnvloed wordt door k b en uit (7) dat
p
a
-
voor elke waarde van x de maximum waarde van o(R ) bekomen wordt voor
.
kab
p
= 1 en de minimum waarde voor kab =-1. Tussenliggende waarden van
kab geven aanleiding tot o(Rp)'s kleiner dan dit maximum en groter dan
het minimum.
Grafisch wordt dit voorE(R )>E(Rb) e'no(R )>o(Rb) geschetst in
a
.
a
fig. 2. door lijnstuk ba voor kab =I, lijnstukken be en ca voor
kab
= -1 en door een strict concave curve zoals bda voor -1 < kab<
I.
Uit (5) en (7) blijkt overigens dat het risiko van een portfolio van
twee perfect negatief gecorreleerde aandelen a en b tot nul kan herleid worden, zoals weergegeven door punt c in fig. 2, en in het algemeen gereduceerd wordt indien kab kleiner is dan 1.
Voor een gegeven
k b wordt de bekomen combinatie E(R ), o(R) bepaald door de waarde
a
van x.
P
P
Voor x=l wordt deze weergegeven door a, voor x=O door b.
Een
continue afname in x van I tot 0 veroorzaakt een verschuiving van de
resulterende E(R)o(R) combinatie vanuit punt a naar b op de door kab
bepaalde verbindingslijn.
6
E(R)
E(R)
a
a
c
c
b
b
o(R)
Fig. 2.
Fig. 3.
Op dezelfde wijzevolgtdat,voorE(R
8
)
>
E(Rb) en o(R 8
)
<
o(Rb) bet
verband tussen E(Rp) en o(Rp) voor -1 < kab
<
convexe curve zoals weergegeven in fig. 3.
Dan is nocbtans alleen a
efficient, d.w.z. slecbts x=l is aanvaardbaar.
gegeven wordt een strict
Hieruit volgt dat door
twee of meer aandelen te combineren in een portfolio een verwacbt rendement bekomen wordt dat gelijk is aan bet gewogen gemiddelde van de
individuele verwachte rendementen.
Tevens is de standaarddeviatie van
bet portfoliorendement kleiner dan bet gewogen gemiddelde van de individuele standaarddeviaties indien de rendementen niet perfect positief
gecorreleerd
n.
Vermits o(R ) een maatstaf is voor bet financiele
p
risiko van de nleuw gevormde portfolio blijkt bieruit bet risikoreducerend karakter van niet perfect positief gecorreleerde beleggingen.
Dit wordt in bet algemeen diversificatieeffect genoemd.
Overigens volgt uit het voorgaande dat, indien er geen twee volmaakt
negatief gecorreleerde beleggingsmogelijkbeden zijn, de verzameling
van alle N Lisikodragende beleggingscombinaties op de kapitaalmarkt
begrensd wordt door een curve zoals abcde in fig. 4.
7
d
e
c
b
a
o(R)
Fig. 4.
2.4. Grafische Illustratie van het Consumentenevenwicht
Ret "efficient set" theorema laat toe de aandacht te beperken tot
de efficiente deelverzameling van alle mogelijke beleggingscombinaties
waarbij een efficiente portfolio zo bepaald is dat geen enkele portfolio met hetzelfde of hoger verwacht rendement een lagere standaarddeviatie bezit.
Daaruit volgt dat, in fig. 4, efficiente portfolio's
zich op de concave grenscurve bed van set abcde bevinden.
Fig. 4 impli-
ceert overigens enkele bijkomende veronderstellingen inzake de beschikbare beleggingsmogelijkheden.
Zo is er geen risikovrije belegging be-
schikbaar en zijn er geen beleggingsmogelijkheden die perfect negatief
gecorreleerd ZlJn vermits er geen combinatie is met o(R)
= 0.
Daaren-
boven zijn er geen twee perfect positief gecorreleerde beleggingsobjecten in de efficiente portfolio's beschikbaar vermits er geen lineair
gedeelte bevat is in abcde.
Verder is een onbeperkte "short sale" van
eenderwelk beleggingsobject onmogelijk omdat er dan een efficiente portfolio zou bestaan met een arbitrair hoog verwacht rendement.
Indien nu verder ondersteld wordt dat er een risikovrije beleggingsmogelijkheid f beschikbaar is met rendement Rf en correlatiecoefficient
kfi
= 0,
met i
in fig. 5,
= 1,2, ... N, wordt het efficiente set gegeven door Rf cd
Als daarenboven een oneindig bedrag kan geleend of ontleend
worden tegen Rf wordt het efficiente set Rf cg, waarbij alle mogelijke
efficiente beleggingen herleid worden tot combinaties van f en c.
In
8
dat geval wordt voor elk individu de portfolio die hij verkiest bepaald
door het raakpunt van zijn isonutsfunctie V aan Rf cg.
Een uitzondering
hierop vormt een persoon die geen enkel risiko wenst op te nemen en
wiens maksimale isonutsfunctie daarom Rf moet bevatten.
Dergelijke
portfolio's worden "cornerportfolio's" genoemd en kunnen zich ook voordoen in punt c, indien er beperkingen zijn op de mogelijkheid tot ontlenen.
-
E(R)
d
o(R)
Fig. 5.
Overigens gebeurde deze analyse in de veronderstelling dat ct en dus
ht gegeven was.
Teneinde ct optimaal te bepalen dient de consument-
belegger alle mogelijke combinaties U(ct, ct+l) te onderzoeken en er
het globale maximum uit te kiezen.
3. Risiko, rendement en evenwicht op de kapitaalmarkt
Ten. einde een eenduidige marktrelatie tussen verwacht rendement
en risiko te bekomen worden homogene verwachtingen en portfoliomogelijkheden ondersteld.
Dit wil zeggen dat alle individuele personen het-
zelfde set van beschikbare portfoliomogelijkheden hebben.
Tevens wordt ondersteld dat er een risikovrije belegging f bestaat en
dat alle beleggers onbeperkt kunnen lenen en ontlenen tegen Rf.
9
evenwicht
3. 1. Verwachte rendement-risiko relatie
taalmarkt
Homogene verwachtingen en portfoliomogelijkheden impliceren dat
het efficiente set van risikodragende beleggingsmogelijkheden uniek bepaald is voor alle marktpartijen, weergegeven door bmd in fig. 6.
De
risikovrije ontlenings- en beleggingsmogelijkheid f vereenvoudigt verder
het efficiente beleggingsset doo: het te ~eperken tot de rechte Rfmz,
die dan ook de relatie . tussen E(R p ) en o(R p ) weergeeft. Van bmd is alleen m nog bevat in het efficiente set. Beleggingen met toenemend
risiko worden bekomen door het gedeelte belegd in m te verhogen en dat
in f te verminderen, bepaald door de individuele risiko-houding via de
isonutfuncties.
E (R)
z
X <
0
d
E(R )
m
-a
--
b
0
a(Rm)
o(R)
Fig. 6.
De marktportfolio m bevat alle aandelen op de kapitaalmarkt elk opgenomen naar verhouding van zijn totale marktwaarde tot de totale marktwaarde van alle uitstaande aandelen, m.a.w.
x.
Jill
totale marktwaarde van bedrijf j
totale marktwaarde van alle bedrijven
10
Dit volgt uit de afleiding van het "efficient set" en het bekomen
marktevenwicht.
Daarenboven is Rf zo bepaald dat het totale bedrag van leningen en ontleningen aan elkaar gelijk is d.w.z. de totale hoeveelheid die de individuele personen ontlenen tegen Rf is gelijk aan de totale aangeboden
hoeveelheid.
Ten einde de evenwichtsrelatie tussen verwacht rendement en risiko a£
te leiden wordt uitgegaan van het feit dat m efficient is, waardoor de
samenstelling van m zo bepaald lS dat
N
(8)
(9)
( 10)
[ L:
Min o(R )
p
met E(R )
p
N
L:
en
x.
JP
j=l
N
L:
i=l j=1
N
L:
j =1
=
x. x. o .. ]
lp JP lJ
x. E(ll.)
J
JP
E(R )
m
I
met x. , x. bepaald zoals x. voor alle mogelijke combinaties p.
lp
JP
Jm
De Lagrange functie L lS dan
(I 1)
L
o(R ) + A [E(R ) p
1
m
N
L:
J=l
N
x. E(RJ.)] + A2 [1 - L:
JP
j=l
X.
JP
J
Om o(R ) te minimaliseren worden de partiele afgeleiden van L m.b.t.
p
A1 , A2 en xjp' met j
(10) en
(12)
ClL
Clx.
JP
= 1,2 ... N, gelijk gesteld aan 0, waardoor (9),
Clo(R )
--3 -x-.~p-- AI E(Rj)- A
2
JP
bekomen worden.
=
0, j = I, 2, ... N
-
Wanneer de minimale waarde voor o(R ), d.i. o(R)
p
m
bereikt wordt, is x.
JP
sm
de belling van curve bmd ln punt m.
1I
Vermits A constant is moeten alle x. voorwaarden (9),(10) en (12) vol2
Jill
doen 1n m. Daaruit volgt voor twee willekeurige aandelen i en J
(13)
3o(R )
m
3x.
Jill
- S1
3o(R )
m
3x.
lill
-
E(R.)
m
J
l
-
- S
E(Ri)
m
of
(14)
-
E (R.) - E (R.)
l
J
= sm
1 ' 2,
met l, J
II$
3o(R )
m
( 3x.
lill
o
o
3o(R )
m )
3x.
Jill
N.
Vermits x. de verhouding aangeeft waarmee aandeel j in m werd opgenomen,
Jill
kan het verband tussen E(R ) en o(R ) bekomen worden door (14) te vermem
m
nigvuldigen met x. en samen te tellen over alle mogelijke j's.
Jill
N
N
z
(15)
sm[ z
[E (R.) - E (R.)]
l
Jill
J
X.
j =1
j=l
3o(R )
m
Jill 3x.lill
X.
N
z
x.
j==l Jill
3o(R )
m ]
3x.
Jill
N
z
Vermits
j=l
(16)
x.
Jill
1 volgt dat
sm
E (R.) - E(R ) =
l
m
(
3o(R )
m
3x.
lill
N
z
x.
j=l Jill
3o(:R )
m
d x.
)
Jill
Bij bepaling lS
( 17)
N
-
o(R )
m
[ z
N
z
X.
lill
i=l j=l
X.
Jill
O ..
lJ
]J/ 2
met x. en x. de prop or tie van l en J ln m, met
lill
Jill
N
z
x.
j=l Jill
N
1 en
z
i=l
x.
lill
=
zodat de standaarddeviatie van het rendement van m de paarsgewijze covarianties tussen de rendementen van de individuele componenten bevat.
De bijdrage van een individuele component j tot o(R ) kan bekomen worm
den door (17) uit te drukken als
12
o(R ) =
m
(18)
Daarenboven
z
i=l
=1
x.
x.
l.ffi
0 ..
l.J
Jill
o(R )
m
N
I:
x.
x.
(
0 ..
l.J
l.ffi
j=l
Jill
j=I
)
o(R )
m
voor elk aandeel
N
l.S,
z
<Jo(R )
m
(20)
N
z
N
I:
a (R )
m
( 19)
N
x.
Clx.
0 .•
l.ffi
i=l
l.J
=
o(R )
m
Jill
J •
J
=
1•
...
N,
cov(R., R )
m
J
o(R )
m
zodat cov (R., R )/o(R) het marginaal effect op de standaarddeviatie
J
m
uitdrukt.
van R
m
m
Het risiko van m, o(R ), is dan juist het gewogen gem
middelde hiervan over alle aandelen.
Dit impliceert dat cov(R. ,R )jo(R )
J
ni.
m
een zinvolle maatstaf is voor het risiko van j gemeten op de kapitaalmarkt vermits het risiko van m het gewogen gemiddelde van het risiko
van de individuele componenten 1.s.
Door substitutie van (19) en (20) in (16) bekomen we
Clo(R )
(21)
E(R.) - E(R )
1.
m
S
m
m
(
<Jx.]_ffi
- o(R ))
m
Vermits
sm
kan (21) geschreven worden als
<Jo (R )
E(R ) - Rf
(22)
E (R.) = R + (
]_
f
m
)
o(R )
m
m
dX.]_ffi
of omwille van (20)
(23)
E (R.)
]_
= Rf
+
E(R ) - R cov(R.,
R.m)
]_
m
f
o(R )
m
o(R )
m
13
In evenwicht is het verwachte rendement van belegging i gelijk aan de
risikovrije interestvoet Rf vermeerderd met een risikopremie die gelijk
is aan de premie per eenheid risico, (E(Rm) - Rf)/o(Rm)) vermenigvuldigd
met de risikograad van belegging i, gemeten t.o.v. marktportfolio men
uitgedrukt door
(
cov(R., R )
~
m )
o(R )
m
De premie per eenheid risiko is dezelfde voor alle beleggingen en wordt
in feite gegeven door de helling van de lijn die het verwacht rendementrisiko verband weergeeft in fig. 7.
Overigens, de lineariteit van dit
verband hangt niet af van het bestaan van f of van de homogeniteitsonderstelling in 3.
Deze twee onderstellingen maken het mogelijk een relatie
af te leiden tussen verwacht rendement en risiko die relevant is voor
elke belegger en dus zinvol is op de kapitaalmarkt.
Deze relatie is
sm
E(R )
m
o(R )
m
cov(Ri• Rm)
Fig. 7.
o(R )
m
van fundamenteel belang in financiele theorie en weerspiegelt dat, indien beleggers in het algemeen risiko-afkerig zijn en hun beleggingsmogelijkheden kunnen beschrijven in twee parameters (verwacht rendement en
spreiding van het rendement), er dan in evenwicht een p,ositieve "tradeoff11 bestaat tussen risiko en rendement.
Om meer risiko te aanvaarden
eist een belegger een hoger verwacht rendement.
Om een hoger rendement
te realiseren moet in het algemeen meer risiko opgenomen worden.
14
4. Implicaties voor bedrijfsfinanciering
4.1. Marktwaarde van een Bedrijf
Relatie (23) laat toe de marktwaarde P.
J 't
van bedrijf j op ogen-
blik t uit te drukken in functie van de verwachte waarde E(V.
) op
J. t+ 1
tijdstip t+l en van het risiko verbonden aan
Na weglating van de
tijdsindices, is het rendement van bedrijf J
V.-P.
(24)
zodat
J
R.
P.
J
E
J met E (R.)
J
J
v.
- p.
J
J
=
P.
J
R..).
p. (I +
J
J
CV.)
J
Op dezelfde wijze is
N
p
z
m
N
~
p.'
J
j=l
vm =
Z
j=l
v.J
en
vm
P C1+R )
m
m
(l+R)
P.P
zodat
cov(V., V )
J
a(V )
m
cov P.(l+R.),
m
P
J
J
p
m
m
o(R )
m
m
Hieruit volgt
(25)
cov(R. ,R )
J m
cov(V. ,V )
oCRm)
P. a(V)
J
m
Door substitutie
(26)
J
~n
m
(23) volgt dat
E (V. )-P.
J
J
P.
J
en met S
m
cov(v.J
a(Rm)
'vm)
P. a (V
J
)
m
J m
cov(R., R) en
J
m
15
E(V.)- S (cov(V.,V )/(o(V ))
P.
(27)
J
J
=
m
J
m
m
Dit betekent dat de huidige waarde van bedrijf J bekomen wordt door te
actualiseren tegen interestvoet Rf
de verwachte waarde van het bedrijf E(V.)
J
de negatieve waarde van het risiko van het bedrijf bekomen door de
eenheids-risikopremie
(S
te vermenigvuldigen met het risiko van het bedrij£,
m
uitgedrukt door cov(V.,V )/(o(V )).
J
m
m
In feite kan gezegd worden dat de huidige waarde van een eenheid verwachte waarde gelijk is aan 1/(1 + Rf) terwijl de huidige prijs per
eenheid risiko gelijk is aan -Sm/(l+Rf).
4.2. De Doelfunctie van de Bedrijven
In feite werden nu twee van de drie uit te voeren stappen in
financiele theorie voltooid.
Slechts de implicaties voor optimale pro-
duktie- en investeringsbeslissingen in de bedrijven dienen verder onderzocht.
De eigenaars van de bedrijven, d.i. de aandeelhouders, worden verondersteld hun verwacht nut te maximaliseren.
ren belangr
Daarb
zijn drie facto-
k nl. wt' de nutsfunctie en de verzameling van alle con-
sumptie- en beleggingsmogelijkheden.
In een perfecte markt kan een
bedrijf alleen wt beinvloeden, waarvan dus een zo groot mogelijke waarde
verkieslijk is.
Vermits wt de waarde van de uitstaande aandelen bevat
volgt dat elk bedrij£ een produktieprogramma moet ondernemen dat deze
maximaliseert.
Immers zodra het marktevenwicht op ogenblik t bereikt
is, wordt de waarde der uitstaande aandelen bepaald door de verwachte
waarde en de risicograad van het bedrij£.
Nieuwe aandeelhouders betalen
steeds de evenwichtsprijs voor de aandelen waarin de verwachte opbrengst
16
van de investeringsbesliss
iseerd is.
reeds
Daarb
ont-
vangen ze dan ook slechts de evenwichts "trade-off" tussen verwacht
rendement en ri
itaalmarkt.
bepaald op de
Het bedrijf zelf kan
dus niets meer doen voor deze uieuwe aandeelhouders.
4.3.
taalkost
timale Product
De financiele doelstel
de reeds uitstaande aandelen
van het bedr
f
is dus de waarde van
te maximaliseren wat kan uitgedrukt wor-
den door
(28)
Max. (P.
waarb
en
)
J
P. de marktwaarde van
f J
J
het bedrag dat het
lS
het begin van periode t
f moet investeren in het productieproces
om de marktwaarde P. te doen ontstaan.
J
Laat ons vooreerst onderstellen dat het bedr
van activi
f slechts
~~n
soort
en onderneemt waardoor het inve teringsprobleem herleid
wordt tot de optimale schaalbepaling van de produktiemogelijkheden.
Overigens impl
slechts een act
teit dezelfde risicograad voor
elke produktiebeslissing zodat cov(Rj,Rm)/o(Rm) constant 1s.
Daaruit volgt dat, met E(R.) bepaald vo
J
(23) • P. 1n evenwicht geJ
geven wordt door
E
E (R.)
(29)
J
E
(30)
of
)
P.
J
+ E (R.)
J
De verwachte rentabili
)
(31)
I.
J
t van
1s de waarde van p. waarbij
J
17
Uit (30) en (31) volgt dat (P.-I.) toeneemt zolang, b
J
J
stijgende waar-
den van I.,
J
p. > E (R.)
(32)
J
J
Hieruit volgt dat E(R.) beschouwd kan worden als het minimum
door de
J
kapitaalmarkt geeiste verwacht rendement voor bedrijf j, met risicograad cov(R.,R
)/o(Rm), m.a.w. de kapitaalkost.
J m
_
een grafische voorstelling waarbij T(E(V.),
J
Fig. 8 geeft daarvan
) het verband tussen E(V.)
J
en I. weergeeft.
J
E(V)
T
-I':·'·
-I.
J
J
P.
0
J
Fig. 8.
Tevens mag ondersteld worden dat E(V.) stijgt op afnemende WlJze als
J
I. toeneemt.
J
In fig. 8. wordt P.-I. gemaximaliseerd door I~ te invesJ
J
J
teren d.i. tot de marginale verwachte rentabiliteit van I. gelijk wordt
J
aan E(R.), de kapitaalskost van het bedrijf j.
J
Hieruit volgt dan als
maximale toename in de marktwaarde van bedrijf j tengevolge van invesE (V.)
J
"J't:
-I.
J
+ E (R.)
J
Tot nog toe werd een bedrijf beschouwd dat slechts een bepaalde activiteit onderneemt.
Fama-Miller [2] tonen aan dat voor bedrijven met ver-
schillende activiteiten d.i. met verschillend risico, de evenwichtsrelatie tussen verwacht rendement en risico (23) client voldaan voor elke
18
activiteit afzonderlijk.
Derhalve is, zelfs in eenzelfde bedrijf, de
kapitaalskost verschillend naargelang de beschouwde activiteit en bepaald volgens (23) d.i. E(Rkj)' waarbij k verwijst naar de specifieke
activiteit en j naar het bedrijt.
ln het algemeen dus is het begrip
kapitaalskost voor een dergelijk bedrijf niet zinvol en reflecteert
de totale waarde de som van de waarden van de verschillende activiteiten met elk een specifieke kapitaalkost.
Dit betekent tevens dat diversificatie van een bedrijf geen financiele
voordelen oplevert voor de eigenaars tenz
komen worden die alleen mogelijk
te brengen.
financiele voordelen be-
n door juist die activiteiten samen
De reden daarvan is dat op de kapitaalmarkt elke activiteit
afzonderlijk gewaardeerd wordt waarbij het risiko gemeten wordt t.o.v.
van de markt als een geheel via cov (Rk'' R) en niet t.o.v. de reeds
J
m
bestaande activiteiten van een of ander bedrijf.
4.4. De Financiele Struc
ties
In 1958 veroorzaakten Modigliani en Miller een uitgebreide en inmiddels geluwde controversie over het eventuele belang van de financiele
structuur.
In het kader van een gegeven risikoklas toonden ze aan dat
a. de marktwaarde van een bedrijf onafhankelijk is van de financiele
structuur m.a.w. de kapitaalkost is onafhankelijk van de kapitaalstructuur.
b. het verwacht rendement van een aandeel gelijk
aan de kapitaalkost,
vermeerderd met een risicopremie gelijk aan de verhouding vreemd/
eigen vermogen vermenigvuldigd met het verschil tussen de kapitaalkost
en de interestvoet van het vreemd vermogen.
In wat volgt worden deze twee conclusies afgeleid
~n
het meer algemene
kader van financiele theorie via de verwachtrendement-risico evenwichtsrelatie.
analyse.
Vervolgens wordt het belastingssysteem gelntegreerd in deze
19
le Structuur en Marktwaarde
We beschouwen twee bed
ven A en B, met eenzelfde act
met eigen middelen gefinancierd is en B
identiek behalve dat A volled
vreemd vermogen DB, ontleend
ciele structuur.
interestvoet Rf, opnam in zijn finan-
Laat E(X) de verwachte opbrengsten, voor interestvan A en B, d,i.
betalingen, voorstellen beschikbaar voor de
E(XA) "'E(XB)
it en
= E(X),
waarbij ondersteld wordt dat zowel E(X) als RfDB
een perpetuiteit vormen.
Teneinde PA en PB te bepalen, wordt het verwachte rendement voor
de aandeelhouders van A uitgedrukt als
(33)
en voor deze van B
met PA en PB de huidige marktwaarde van
A en B.
Dit vloeit
voort uit het feit dat E(X) hetzelfde is voor A en B en dat er aan de
interestbetaling RfDB geen onzekerheid verbonden is.
Intuitief nochtans
draagt een belegging in bedrijf B meer risico omdat, tengevolge van de
vaste verplichting RfDB, de totale opbrengst voor de eigenaars van B
slechts het residu van X - RfDB omvat.
De verwacht rendement - ris
(23) bepaalt, in evenwicht op de
re
kapi taalmarkt, het verschil :tn rendement via
(35)
E(:RA) = Rf +
sm
cov(RA,Rm)
E(X)
PA
o(R )
m
en
(36)
E (RB) ""' Rf +
sm
cov (:RB ,Rm)
=
o(R )
m
E(X) - RfDB
20
Vermits E(:l{) hetzelfde 1s voor A en B vo
cov(RB,Rm)
cov(RA,Rm)
(Rf + Sm ---------o(R )
m
(37)
o(R )
m
- E
(38)
1
-p
A
(39)
dat
en cov(RB,R
)
m
=
I
(Rm) ]}
- -
cov(X,R )
m
- cov(X,R
)
B
m
--p
Door subsitutie bekomen we
(40)
P
+
[R
A
f
S
~
cov(X,R )
____m_] ==
PA
- )
cr(R
m
S cov(X,R )
m
m
cr(R )
m
en door eliminatie van de gelijke termen
De totale marktwaarde van het volledig met eigen middelen gefinancierde bedrijf is dus juist gelijk aan de som van de waarde van de
uitstaande aandelen (PB) en de uitstaande schuld (DB) van een identiek
bedrijf dat gedeeltelijk met vreemde middelen gefinanc.ierd wordt.
De waarde van een bedrijf j hangt dus niet af van de financieringswijze
maar wel van de verwachte opbrengsten en het r
activiteit," de risicopremie Sm,en de risicovr
ico van de bedrijfse interestvoet Rf.
De kapitaalskost, zoals bepaald in 4.3., van bedrijven A en B wordt
dus gegeven door
-
E(RA)
= Rf
+
sm
-
cov(RA,Rm)
cr(R )
m
en 1s dus onafhankelijk van de wijze waarop een project gefinancierd
wordt.
21
4.4.2. Financiele structuur en verwacht Aandelenrendement
Uit (35), (36), (38) en (39) volgt dat
(42)
E(RB) - E(RA)
sm
cov(X,R )
1
m [1- - ]
PB
p
A
cr(R )
m
of, vermits DB= PA - PB,
cov(X,R )
(43)
m
sm
cr(R )
m
met eveneens, omwille van (35)
cov(X,R )
sm
(44)
m
cr(R )
m
Substitutie van (44)
~n
(43) geeft
Het door de kapitaalmarkt verwacht rendement van een bedrijf dat gedeeltelijk gefinancierd wordt met vreemde middelen neemt dus lineair toe met
het ratio vreem vermogen/eigen vermogen, zoals geillustreerd in fig. 9.
- Rf
Fig. 9.
22
Deze toename is proportioneel met bet verscbil tussen de kapitaalkost
en de interestvoet van bet vreemd vermogen en wordt in het algemeen het
befboomeffect genoemd.
4.5. De Financiele Structuur en
Tot nog toe werd een perfecte kapitaalmarkt verondersteld.
ijke imperfectie
In de werkelijkbeid doet er zicb nocbtans een
voor nl. belastingen op bedrijfsinkomen, die in het algemeen kunnen uitgedrukt worden als (T
c
• bedrijfsinkomen).
Daarbij zijn interestbetalin-
gen op geleend vermogen aftrekbaar voor het belastbare inkomen bepaald
wordt.
In wat volgt wordt de invloed van deze belastingen onderzocbt.
4.5.1. Bedrijfsbelastingen en Marktwaarde
De aftrekbaarbeid van interestbetalingen voor de bepaling van bet
belastbaar bedrijfsinkomen impliceert voor bedrijven A en B, bescbreven
in 4.4.,
(46)
o(:R )
m
en
cov(RB,Rm)
E [(X- RfDB)(l -'c)]
(47)
R +S
f
m
PB
o(R )
m
waarbij E(RA), E(RB), PA enz. kunnen verscbillen van de overeenkomstige
ln 4.4. bepaalde waarden omwille van de bedrijfsbelastingen.
(1 -
T
c
)
E(X) betzelfde is voor A en B volgt dat
met
(J -
(49
T
)
--~---c- cov(X,R ) en
m
Vermits
23
(I -
T
)
______
c_ cov(X,R )
m
,:Rm)
vermits cov
0
substitutie van (49) en (50) en
+D
B
_.,..
D
~c
) bekomen we
B
is DB de actuele waarde- met
als discontovoet - van de j
kse interestbetalingen RfDB die een perpe
op het bedrijfsinkomen, waarb
teit vormen.
betaalde interesten aftrekbaar
zijn voor het belastbaar inkomen bepaald wordt
hebben dus als gevo
dat de waarde van het met vreemde middelen
van bedr
De be
f A overtreft met een bedrag
ierde
B deze
f
, d.i. met de aans
der bedrijfsbelastingen vermenigvuldigd met de actuele waarde van de
toekomstige interestbetalingen.
In feite
de huid
waarde
van de belastingsbesparing weer wat neerkomt op een overheidssubs
ten voordele van financ
ceteris
met vreemde middelen.
de waarde van een
Daarom ook neemt,
f toe wanneer eigen vermogen
door vreemd vervangen wordt.
4.5.2.
fsbelastingen en verwacht Aandelenrendement
Uitdrukkingen (46) en
)
E (RB) - E(RA)
sm
) imp
dat
( cov (RB, Rm) - cov
o(R )
m
omwi le van (49) en (50)
(l-T ) S
c
m
cov(X,R )
m
o(R )
m
en, volgens
(l -
,R ) )
m
24
kan (53) berleid worden tot
(1-T ) S
c
(54)
m
cov(i,i )
m
o(R )
m
(I -
T )
c
Overigens l.S
sm
cov
(x,Rm)
o(R )
(J -T DB
( p p
)
A B
= p A (E(RA)
lge van
m
(46) en (49)' waaruit door substitutie l.n (54) vo
dat
(55)
Deze uitdrukking geeft bet befboomeffect, zoals bescbreven in 4,4.2,
weer wanneer interestbetalingen op vreemd vermogen aftrekbaar zijn
voor bet belastbaar inkomen bepaald wordt.
4.5.3. Bedrijfsbelastingen en de Kapitaalkost
Om de invloed van de bedrijfsbelastingen op de kapitaalkost te
onderzoeken client bet effect van de financieringswijze (samen met de
investeringsbeslissingen) op de tot ale waarde van het eigen en vreemd vermogen, d, i.
WB
= PB
+ DB onderzocbt te worden omdat de, voor belasting aftrekbare,
interestbetalingen de waarde van het bedr
E(X(! -
Vermits, volgens (46), PA
c
f beinvloeden.
))
------------is, omwille van (51),
E(RA)
E(X(I -
(56) WB
T
c
))
= ----...:......-
E(RA)
+
T
D
c B
Volgens de bepaling van de kapitaalkost (32) zijn investeringen economiscb verantwoord zolang ze een gunstig effect bebben op de totale
waarde van het bedrijf, d.i. dWB/diB
>
1, waarb
veau voorstelt met WB een op afnemende wijze st
IB bet 1nves
gende functie van IB.
Toegepast op (56) berleid dit tot bet vinden van de minimum waarde
van E(X) waarvoor dWB gelijk wordt aan diB.
geeft dan
Differentiatie van (56)
25
(57)
zodat
(58)
Hierbij is (1 - rc) dE(X)/diB de verwachte toename in beschikbare
opbrengsten, na belastingen, voor de eigenaars en de verschaffers van
het vreemd vermogen.
Ingeval dus investeringen volledig gefinancierd
worden met vreemd vermogen (diB
= dDB) wordt de kapitaalkost van het
bedrijf gegeven door (I - rc)E(RA).
Dit betekent in feite een afname
van de kapitaalkost wat nogmaals de gelijkenis van de aftrekbaarheid
van interestbetalingen met een overheidssubsidie aantoont.
financiering volledig met eigen middelen gebeurt (dDB
=
Ingeval de
0) wordt de
kapitaalkost gegeven door E(RA) en geniet het bedrijf dus niet de hoger
vermelde belastingssubsidie.
4.6. Financiele Structuur, Bedrijfsbelastingen en Belastingen op het
Persoonlijk Inkomen
Naast belastingen
1
c
op de inkomens van bedrijven wordt er in het
algemeen een belasting 'p geheven op de inkomsten van individuele personen.
In wat volgt wordt dit belastingssysteem geintegreerd en de
implicaties ervan op de bedrijfsfinanciering beschreven.
Opnieuw kun-
nen E(RA), PA etc. verschillen van de overeenkomstige waarden in voorgaande secties omwille van de personenbelasting.
4.6. 1. Ret Belastingssysteem en de Marktwaarde
De verwachte rendementen voor de eigenaars van A en B wordt dan
gegeven door
E[X(I-r )(1-r )]
.
c
p
o(R )
m
26
)]
o(R )
m
Vermits (1-T )(1-T) E(X) hetzelfde 1s voor A en B volgt dat
c
p
(61)
met
en door substitutie van (62) en (63) en (61)
(64)
PA
(65)
PA
zodat
= PB + DB - Tc DB - Tp (I- Tc ) DB
De belasting op het persoonlijk inkomen veroorzaakt dus ceteris paribus
een bijkomende "subsidie" in marktwaarde ten voordele van de bedrijven
die vreemde middelen aantrekken.
De grootte van deze bijkomende subsidie wordt uitgedrukt door
Tp (1-T c ) DB
welke steeds positief 1s vermits 0 <
T
c
< l
en 0 <
T
p
<
I.
27
4.6.2. Ret Belastingssysteem en verwacht Aandelenrendement
Uitdrukkingen (59) en (60) impliceren dat
(66)
en omwille van (62) en (63)
(67)
(1-, )(1-T ) cov(X,R )S
PA-PB
E (RB) - E (RA) = ----=c_ _. .Ji.p_ _ ____:m__;_.:_m (P P )
o(R )
A B
m
~s
Volgens (65)
(62)
(1-, )(I-,) cov(X,R)
sm
c
m
p
o(R )
m
waardoor (67) herleid wordt tot
(68)
waardoor het hefboomeffect weergegeven wordt.
4.6.3. Ret Belastingssysteem en de Kapitaalkost
Vermits, volgens (59) •
E[X( I
-
T
PA
c
) (
1
-
T
p
)]
~s
E(RA)
omwille van (65)
E[X( 1
(69)
w=
-
T
c
) (
E(RA)
1
-
]
+
T
D +
c B
T
p
(l
-
T
c
)
DB
Investeringen in het gedeeltelijk met vreemde middelen gefinancierde bedWB
drijf B zijn economisch verantwoord zolang ---~I.
diB
28
Toegepast op (69) vo
-
(I
dWB
(70)
dat
dDB
+
diB
1
E(RA)
-- +
c diB
dDB
T
p
(
J
-
T
c
)
--~
diB
zodat
(71)
(J -
T
Hierbij is (I - r )(1 - r)
c
p
dE(X)
de verwachte toename in netto opbrengdiB
sten voortvloeiend uit bijkomende investeringen.
Zolang deze de kapi-
taalkost, weergegeven door
dDB
(!- T
dDB
----
c diB
r (! - r ) ---) E(RA), overtreft zijn bijkomende inves-
p
c
diB
teringen verantwoord. De kapitaalkost is opnieuw, ceteris paribus, een
dDB
dalende functie van ~
B
4.7. Inves
kheden en Groei
We veronderstellen nu dat bedrijf A, beschreven in 4.4. 1. verwacht
wordt de schaal van zijn activiteiten te kunnen uitbreiden op toekomstige
tijdstippen t door investeringen I(
liteit E(RXt)
>
uit te voeren met verwachte rentabi-
E(RA), constant verondersteld.
verschaffen E(X) als j
De lopende activiteiten
kse opbrengsten, de bijkomende investeringen
E(RXt) I(t) vanaf jaar t, met als waarde op tijdstip t :
E(R~~
(72)
At
) I(t)
en als netto waarde op ogenblik t
E(R:'~
(7 3)
) I(t)
At
- I(t)
E(:RA)
29
De actuele waarde 1s dan :
(7 4)
Hieruit volgt dat de totale actuele waarde van bedrijf A gelijk wordt
a an
E(R~';
(75)
(
L:
t=l
At
) - E(R)
A ))
E(RA)
Indien dus verwacht wordt dat een bedrijf in de toekomst investeringen
zal kunnen uitvoeren die meer opbrengen dan de kapitaalkost wordt dit
in de huidige waarde weerspiegeld.
De totale waarde van een dergelijke
bedrijf is dan de som van de waarde van de huidige activiteiten vermeerderd met de actuele waarde die voortvloeit uit de verwachte opbrengst
van de toekomstige investeringen.
Dergelijke bedrijven worden dikwijls
groeibedrijven genoemd omwille van hun gunstige investeringsvooruitzichten.
Nochtans, indien men aandelen koopt in een dergelijk bedrijf,
weerspiegelt de aankooppr
s deze gunstige vooruitzichten reeds.
Hierdoor zijn koerswinsten dan, ceteris paribus, slechts mogelijk 1ndien de toekomst nog gunstiger verloopt dan voorzien.
Overigens ver-
schaft uitdrukking (75) bijkomend inzicht in het "price-earnings" of
PIE ratio van een aandeel.
Indien het P/E ratio, voor een bedrijf dat
volledig met eigen middelen gefinancierd is, groter is dan het omgekeerde van de kapitaalkost d.i.
(76) - - >
verwacht de kapitaalmarkt dat het bedrijf investeringen zal kunnen uitvoeren die meer zullen opbrengen dan de kapitaalkost.
Ret is overigens klaar dat de financiele structuur en het belastingssysteem opnieuw in deze analyse van de groeimogelijkheden van een
bedrijf kunnen verwerkt worden zoals in wat voorafgaat.
De beperkte
doelstelling van dit artikel noopt ons hierover niet verder uit te weiden.
30
5, Besluit
De int
t
~o
van Port
dus de voornaamste conclusi
e
daarb
verschaft tevens
bedrijven,
Theorie en Bedrijfsfinanciering bevesvan Miller-Modigliani [6].
niet alleen hun
komend
s
De kapitaalkost van een project is het m1n1mum verwacht
, opdat de waarde van het
debepal
z
assen" concept maar
icht in de kapitaalkost en de waarde der
rendement dat het project moet overtreffen,
ris
Deze be-
van een bedrijf z
ds het rendement der bedr
bonden risico,
Ret
houdend met het
f niet zou afnemen,
Bij de waar-
n twee factoren meest belangrijk; enerfsactiviteiten anderz
ds het daaraan ver-
fsrisico wordt vnl. bepaald door de samenhang
met het ganse economische
, wat
tgedrukt wordt door de covari-
antie met de marktportfolio m, 1n practisch onderzoek te vervangen door
een passende
itaalmarktindex.
tingssysteem 1n bedr
Verder bleek het belang van het belas-
fsf
: ceteris paribus daalt de kapitaal-
kost en neemt de waarde van een
mogen wordt aangetrokken.
f toe naargelang meer vreemd ver-
In feite bevoordeelt de aftrekbaarheid van
interestbetalingen op geleend vermogen b
bare bedr
fsinkomen, het
het bepalen van het belast-
van vreemd vermogen.
de huidige waarde van een bedr
wat impliceert dat er wel groeibedr
f de verwachte groeimogelijkheden
ven maar geen groei-aandelen bestaan.
Tenslotte client vermeld dat in recent theore
en [3], de onderstell
beleggingsmoge
sch onderzoek, zoals in [I]
van een onbeperkte ris
k f weggelaten werd wat de
rijke problemen in bedrijfsf
e ontlenings- en
t van de rendement-
risico evenwichtsrelatie nochtans niet beinvloed.
dit artikel zich nochtans tot de
Tevens weerspie-
Klaarblijkelijk beperkte
benadering van enkele belanglng 1n het kader van de oorspronkelijke
en meest bekende evenwichtsrelatie op de kapitaalmarkt teneinde de inzichtelijkheid niet te schaden.
31
BIBLIOGRAFIE
(l) Black, Fisher, "Capital Market
librium with Restricted Borrowing",
Journal of Business, July 1972, pp. 444-454.
(
Fama, Eugene F. and Miller, Merton H., "The
Rhinehart, Winston, N.Y. 1972.
of Finance", Holt,
(3) Fama, E. and MacBeth J., "Risk, Return and
Tests".
librium : Emirical
Journal of Political Economy, May-June 1973, pp. 607-636.
(4) Friedman, Milton, "The Methodology of Po
Economics", Essays in
Positive Economics, Chicago, The University of Chicago Press, 1956.
(5) Hamada, Robert S., "Portfolio Analysis, Market Equilibrium and Corporation Finance", Journal of Finance, March 1969, pp. 13-31.
(6) Markowitz, Harry M.,
tfolio Select
~ Efficient Diversification
of Investments", John Wiley and Sons, N.Y., 1959.
(7) Miller, Merton H. and Modigliani Franco, "The Cost of Capital, Cor-
poration Finance and the Theory of Investment", American Economic
Review, June 1958, pp. 26!-297.
(8) Miller, Merton H. and Modigliani Franco,
and the Cost of Capital
June 1963, pp. 433-443.
~
orporation Income Taxes
a Correction", American Economic Review,
(9) Rubinstein, Mark E., "A Mean-Variance Synthesis of Corporate Financial
Theory", Journal of
, March 1973, pp. 167-181.
(10) Vasiceck, Oldrich A. and McQuown, John A., "The Efficient Market Model",
Financial Analysts Journal, Sept.-Oct. 1972, pp. 71-84.

Download Report