Toestandsruimte ∀ ψ (r) ∈ F ψ ⇔ golffuncieruimte ∈ Er toestandsruimte “ket” bij meerdere dynamische variabelen { r , σ ,...} Er , Eσ ,... ∀ ψ (r, σ ,...) ∈ F ⇔ ψ ∈ E met E = E r ⊗ Eσ ⊗... abstracte toestandsruimte stelt een lineaire vectorruimte voor : ψ 1 en ψ 2 ∈ E nulvector ψ 0 = 0 { ϕi ,i = 1, n} ⇒ λ1 ψ 1 + λ 2 ψ 2 ∈ E lineair onafhankelijk als uit basisvectoren van een compleet set n ∑ ci ϕ i i =1 Φ = n =0 ∑ ci ϕ i i =1 c1 = c2 = ... = cn = 0 Toestandsruimte bij elke lineaire ruimte E ∀ ψ duale lineaire ruimte E* ∈ E → complex getal χ ( ψ ) → χ ∈ E* lineair functionaal χ( ψ ) ⇒ χψ scalair product bra ket "bracket" “bra” Toestandsruimte Correspondentie tussen "ket" en "bra" vectoren : ∀ ψ (i) (ii) ∈ E ⇔ ψ ∈ E* correspondentie tussen de ket en bra vectoren wordt bepaald door het scalair product χψ (iii) bra ψ = Hermitisch toegevoegde van de ket ψ Representaties in de toestandsruimte : a) discrete basis : { ϕi ,i = 1, n} Orthonormaliteitsrelatie Compleetheidsrelatie n ∑ i =1 b) continue basis : {α } ϕi ϕ j = δ ij ϕi ϕi = 1 Orthonormaliteitsrelatie α ' α = δ (α '− α ) Compleetheidsrelatie ∫ dα α α = 1 Lineaire operatoren in toestandsruimte ψ ' = A ψ superpositie eigenschap : product : ψ' =cψ ˆ ˆ) ( AB ˆ (λ ψ + λ ψ A 1 1 2 2 ( ψ = Aˆ Bˆ ψ ,c = 0 A ) = λ1Aˆ ψ1 ˆ ψ + λ2 A 2 (λ1 , λ2 = arbitraire, complexe getallen) ) ψ' ψ = 1ˆ ψ inverse van een operator : ψ ' = A ψ =B −1 A Let wel • −1 = 1 AA en ψ = B ψ ' = BA = 1 en AB ⇒ B =0 A, −1A =1 A de inverse van een lineaire operator bestaat niet altijd ! • als twee lineaire operatoren een inverse vertonen, dan bezit hun product ook een inverse : −1 ˆ ˆ) ( AB ˆ −1 ˆ −1A =B Lineaire operatoren in toestandsruimte ˆ ψ )= ϕ A ˆ ψ = ( ϕ A) ˆ ψ ϕ (A begrip matrixelement van een operator : scalair product Pϕ = ϕ ϕ projectie operator : (met ϕ ∈ E en genormeerd volgens ϕ ϕ = 1) Pϕ2 = Pϕ Pˆϕ ψ = ϕ ϕ ψ complex getal projectie op een deelruimte : P n = n ∑ ϕi i =1 ϕi . scalair product { ϕi P n ψ = ,i = 1, n} met n ∑ ϕi i =1 ϕ i ϕ j = δ ij met i, j = 1,...n. ϕi ψ P n2 = P n , projecteert op deelruimte + van lineaire operator A A ⇔ ψ ' = ψ A + Hermitisch toegevoegde ψ ' = A ψ ψ ' ϕ = ϕ ψ ' * met ψ ' = A ψ volgt dat : ˆ+ ϕ = ϕ A ˆψ ψ A * Lineaire operatoren in toestandsruimte + )+ = A (wederkerig) (A ) + = λ*A + (λ = arbitraire, complexe constante) ( λA +B )+ = A + +B + (A )+ = B +A + (let op de volgorde !) (AB Hermitische operator : + =A A als projectieoperator Pϕ = ϕ ϕ * ψ Aϕ = ϕ Aψ is Hermitisch het product van twee Hermitische operatoren is ook Hermitisch enkel als Hermitisch toegevoegde in Dirac notatie : λ → λ* → → ˆ ˆ+ → A A B + ˆ ˆ →B ,B =0 A Matrixrepresentatie in de toestandsruimte discrete basis { ϕi ,i = 1, n} arbitraire toestandsket 1 0 . ϕ1 = 0 . 0 ; 0 1 . ϕ2 = 0 . 0 analoog in bra-ruimte : scalair product : ; En Φ ∈ En ... ; 0 0 . ϕi = 1 . 0 ( Ψ ⇒ b1* ( Ψ Φ = b1* b*2 Φ = n ∑ ci ϕ i i =1 ; b*2 ... ; 0 0 . ϕn = 0 . 1 b*3 . . b*n b*3 . . b*n ) ) c1 c2 n c3 * = ∑ b i ci i =1 . . cn met c i = ϕ i Φ c1 c2 . Φ ⇒ . . cn Matrixrepresentatie in de toestandsruimte Een operator werkend in de n-dimensionele toestandsruimte wordt voorgesteld door een n x n vierkantsmatrix. n n ˆ =∑ ∑ ϕ A i i =1 j=1 A11 A12 A 21 A 22 . . = Ai1 Ai2 . . A n1 A n2 ϕi Aˆ ϕ j . . . . ϕ A ij = ϕ i A j n ϕj = ∑ ∑ i =1 j=1 . A1n A 2 j . A 2n . . . Aij . Ain . . . A nj . A nn . A1j . n ϕi Aij ϕ j
© Copyright 2024 ExpyDoc