Ringen en Lichamen — Uitwerkingen week 6

Ringen en Lichamen — Uitwerkingen week 6
Johan Commelin
Serge Horbach
Jan Schoone
19 maart 2014
√
Opgave 5.2. Geef van elk van de volgende elementen van R = Z[ −3] aan of ze irreducibel
zijn en of ze een priemideaal voortbrengen:
√
−3,
1,
2,
1+
√
−3,
5
Uitwerking van 5.2. We gebruiken de normafbeelding N : R → Z die is gedefinieerd door
√
N (a + b −3) = a2 + 3b2 (zie Voorbeeld 1.14). Merk op dat voor alle r ∈ R geldt N (r) ≥ 0
en dat r ∈ R∗ dan en slechts dan als N (r) = 1.
√
• Bekijk het ringhomomorfisme R → Z/3Z gegeven door a + b −3 7→ (a mod 3). Dit
√
√
ringhomomorfisme is duidelijk surjectief, en heeft kern (3, −3) = ( −3). Uit de
√
√
isomorfiestelling volgt dan dat R/( −3) ∼
= Z/3Z. We concluderen dat −3 een prie√
mideaal voortbrengt. Uit Stelling 5.4 volgt dat −3 irreducibel is.
• Het element 1 is een eenheid en is dus niet irreducibel. Het ideaal voortgebracht door 1
is gelijk aan R en dus geen priemideaal.
• We beweren dat elk element α ∈ R met N (α) = 4 irreducibel is. In elk geval is α ∈
/ R∗ .
Als x, y ∈ R elementen zijn met xy = α dan is N (x)N (y) = 4. Uit de definitie van de
afbeelding N volgt dat het geval N (x) = N (y) = 2 niet kan voorkomen. Dus moet N (x)
of N (y) gelijk zijn aan 1, wat wil zeggen dat x of y een eenheid is. Dus α is irreducibel.
√
√
Aangezien N (2) = N (1 + −3) = 4, is hiermee bewezen dat 2 en 1 + −3 irreducibel
√ √ √
zijn in R. Anderzijds is 2 · 2 = 4 = 1 + −3 · 1 − −3 . Maar 1 ± −3 ∈
/ (2) en
√ √
√ 1
1
/ R. Dus de idealen (2) en 1 + −3 zijn allebei geen
2∈
/ 1 + −3 want 2 ± 2 −3 ∈
priemideaal.
∼ (Z[X]/(X 2 + 3))/(5) ∼
• Er geldt dat R/(5) =
= Z[X]/(X 2 + 3, 5). Hiervan hebben we in
opgave 4.5 bewezen dat het een lichaam is. Dus is (5) een maximaal ideaal en dus een
priemideaal in R. Uit Stelling 5.4 volgt dat 5 irreducibel is in R.
Opgave 5.4. Zij R = Z[X]/(5X, X 2 ).
1
(a) Bewijs dat elk element van R op eenduidige wijze geschreven kan worden als a + bX met
a ∈ Z, b ∈ Z met 0 ≤ b < 5, waarbij f de restklasse van f modulo (5X, X 2 ) aangeeft.
(b) Bewijs: a + bX ∈ R∗ ⇐⇒ a ∈ {±1}.
(c) Bewijs: als α = X, β = 2X, dan geldt:
Rα = Rβ
en
α 6∈ R∗ β.
Uitwerking van 5.4.
(a) Neem f ∈ Z[X]. Uitdelen naar het ideaal (5X, X 2 ) betekent allereerst dat alle X n
met n ≥ 2 gelijk zijn aan 0 modulo het ideaal. Dus f is equivalent met a0 + a1 X met
a0 , a1 ∈ Z. Maar nu geldt ook 5X = 0, dus neem b de rest van a1 bij deling door 5.
Dus f is equivalent met a + bX, zoals gevraagd.
Uniciteit van de schrijfwijze: Stel f ∈ R kan geschreven worden als a+bX en als c+dX,
met a, c ∈ Z en b, d ∈ Z met 0 ≤ b, d < 5. Dan weten we a + bX − c − dX = 0. Ofwel:
(a − c) + (b − d)X = 0. Dat wil dan weer zeggen dat b ≡ d modulo 5 en a = c. Omdat
0 ≤ b, d < 5 volgt hieruit dat b = d en a = c.
(b) Stel a + bX ∈ R∗ . Dan bestaan er c ∈ Z en d ∈ Z met 0 ≤ d < 5, zodanig dat
2
(a + bX)(c + dX) = 1. Met X = 0 volgt dus ac + (ad + bc)X = 1. Dus ac = 1. Omdat
a, c ∈ Z, volgt a = ±1. Omgekeerd, als a ∈ {±1} dan is a + bX · a − bX = a2 = 1,
dus a + bX ∈ R∗ .
(c) Het is duidelijk dat (2X) ⊂ (X). De andere inclusie volgt uit 3 · 2X = 6X = X. Dit
bewijst Rα = Rβ.
Nu willen we bewijzen α 6∈ R∗ β. Laat 0 ≤ c < 5 willekeurig. Dan
2
(1 + cX)(2X) = 2X + 2cX = 2X,
en
2
(−1 + cX)(2X) = −2X + 2cX = −2X = 3X.
Dus R∗ β = {2X, 3X} en uit de uniciteit in (a) volgt dat α ∈
/ R∗ β.
Opgave 5.14 Zij I ⊂ Z[X] een priemideaal.
(a) Bewijs dat I ∩ Z een priemideaal in Z is.
Bewijs. Dit volgt meteen uit
• I ∩ Z is het inverse beeld is van I onder de inclusie Z ⊂ Z[X], en
2
• het inverse beeld (onder een ringhomomorfisme) van een priemideaal is een priemideaal.
(b) Bewijs dat ofwel I = {0} ofwel I = (f ) met f ∈ Z[X] irreducibel, ofwel I = (p) met
p ∈ Z een priemgetal ofwel I = (p, f ) met f ∈ Z[X] een polynoom dat modulo het
priemgetal p irreducibel is.
Bewijs. Stel eerst dat I ∩ Z = (p) voor een priemgetal p. Dan is I het inverse
beeld van een priemideaal J in Fp [X] onder het canonieke homomorfisme φ : Z[X] →
∼ Fp [X]. (Pas Opgaven 2.24 en 4.11 toe.) Omdat Fp [X] een hoofdideaalZ[X]/pZ[X] =
ring is, is J = (0) of J is van de vorm J = (h) voor een monisch irreducibel polynoom
h ∈ Fp [X]. Als J = (0) dan is I = (p). Als J = (h), zij f ∈ Z[X] een willekeurig
polynoom zo dat f mod p = h; dan is I = φ−1 (J) = (p, f ).
Vervolgens nemen we aan dat I ∩ Z = (0) en dat I 6= (0). In het bijzonder bevat I
elementen van positieve graad. Zij d het kleinste positieve gehele getal zo dat I een
element f van graad d bevat. Schrijf f = inh(f ) · f0 met f0 ∈ Z[X] primitief (vgl.
Lemma 5.23). Uit I ∩ Z = (0) volgt dat inh(f ) ∈
/ I, en omdat I een priemideaal is volgt
dat f0 ∈ I.
We beweren dat I wordt voortgebracht door f0 . Om dit in te zien, stel h ∈ I. Deling
met rest in de grotere ring Q[X] geeft dat er q, r ∈ Q[X] bestaan, zo dat h = q · f0 + r
en gr(r) < d. Vermenigvuldigen we dit met een geschikt gekozen natuurlijk getal N 6= 0
(bijvoorbeeld het product van alle noemers die voorkomen) dan krijgen we de relatie
N h = (N q) · f0 + N r met N q en N r in Z[X]. Dan is N r = N h − (N q) · f0 een element
van I van graad < d en vanwege onze keuze van d volgt dat N r = 0; dus r = 0 en
h = q · f0 . Schrijf nu q = e · q0 met e ∈ Q∗ en q0 ∈ Z[X] primitief (Lemma 5.23). Dan is
h = e · (q0 f0 ) en q0 f0 is een primitief polynoom in Z[X] (Lemma 5.24). Maar h is zelf
een element van Z[X], dus e = inh(h) ∈ Z, dus q ∈ Z[X] en h ∈ (f0 ), zoals te bewijzen
was.
(c) Bepaal alle maximale idealen van Z[X].
Uitwerking. Het is duidelijk dat de priemidealen van de vorm (0) en (p) niet maximaal
zijn (kijk naar de quoti¨entring). Als f ∈ Z[X] een irreducibel polynoom is met gr(f ) > 0,
kies een getal n zo dat m = f (n) ∈
/ {0, ±1}. Dan hebben alle polynomen g in het ideaal
(f, m) de eigenschap dat g(n) een veelvoud is van m; in het bijzonder is 1 ∈
/ (f, m). Dus
(f ) ( (f, m) ( Z[X] en daarom is (f ) niet maximaal.
De enige priemidealen die maximaal kunnen zijn, zijn dus de idealen van de vorm (p, f )
waarbij f ∈ Z[X] een polynoom is dat irreducibel is modulo p. Deze priemidealen zijn
ook allemaal maximaal, want Z[X]/(p, f ) ∼
= Fp [X]/(f¯) en dit is een lichaam vanwege
Stelling 5.8.
3

Download Report