Wiskundige vaardigheden Wiskundige vaardigheden Inleiding Bij het vak natuurkunde ga je veel rekenstappen zetten. Het is noodzakelijk dat je deze rekenstappen goed en snel kunt uitvoeren. In deze presentatie behandelen we de belangrijkste wiskundige vaardigheden, inclusief voorbeelden. Wiskundige vaardigheden Omwerken van formules In de natuurkunde krijg je vaak formules met meerdere variabelen. Uit iedere formule kun je één specifieke variabele eruit halen. Schrijf de formule eerst in variabalen op, pas na het omzetten (eventueel) getallen invullen. Dit voorkomt fouten! Wiskundige vaardigheden Voorbeeld: De lengte van een veer heeft de volgende formule: π’ = πΏ β πΏ0 Met: - u de uitwijking in m - L de totale lengte van de uitgerekte veer - L0 de rustlengte van de veer Met behulp van de balansmethode kunnen we πΏ en πΏ0 uitdrukken in de andere variabelen: πΏ = π’ + πΏ0 πΏ0 = πΏ β π’ Wiskundige vaardigheden Balansmethode: Je mag altijd aan beide kanten van het =-teken hetzelfde doen: - Optellen/aftrekken - Vermenigvuldigen/delen - Kwadrateren/worteltrekken Voorbeeld π2 = π 2 + π 2 π2 = π2 + π2 β π= π2 + π2 π2 + π 2 Wiskundige vaardigheden Grootheden π = 92 π Grootheid = getal β eenheid Eenheden Het SI-stelsel onderscheid basisgrootheden met daarbij behorende grondeenheden. Basisgrootheden zijn grootheden, die niet in andere grootheden kunnen worden uitgedrukt. Afgeleide grootheden zijn afgeleid van de basisgrootheden en kunnen er altijd in worden uitgedrukt. Wiskundige vaardigheden Voorbeeld: πΉ De formule voor de grootheid druk luidt: π = π΄ De eenheid van druk is Pascal (Pa) Druk de eenheid van druk uit in grondeenheden. [πΉ] π = π΄ π [π] = 2 π Bij een eenheden beschouwing bedoelen we met [p] βde eenheid van pβ. ππππ β2 [π] = = πππβ1 π β2 2 π De eenheid Pascal komt dus overeen met de SI-eenheden: πππβ1 π β2 Wiskundige vaardigheden Voorbeeld: De formule voor de grootheid snelheid luidt: π£ = Druk de snelheid uit in grondeenheden. [π₯] π£ = π‘ π [π£] = π π₯ π‘ Wiskundige vaardigheden Omrekenen van getallen km² hm² =hectare dam² =are m² =centiare dm² cm² mm² Wiskundige vaardigheden Omrekenen van getallen km³ hm³ dam³ m³ dm³ =L cm³ =cc=mL mm³ Wiskundige vaardigheden Nauwkeurigheid Het aantal cijfers, dat in de natuurkunde voor een meetwaarde wordt opgegeven, is daarmee een maat voor de nauwkeurigheid van de meting. Zo ligt 5,54m tussen 5,535m en 5,545m. De onnauwkeurigheid is dan 0,005m (een halve centimeter). Wiskundige vaardigheden Wetenschappelijke notatie De wetenschappelijke notatie van een waarde is de notatie, waarbij precies één cijfer (ongelijk aan 0) voor de komma staat. Voor de wetenschappelijke notatie van getallen worden daarom machten van 10 gebruikt. Deze doen niet mee met de nauwkeurigheid. Voorbeeld: 32000m = 3,2000 β 104 m De nauwkeurigheid is hierbij 5 cijfers, dat moet terugkomen in de wetenschappelijke notatie. Wiskundige vaardigheden Significantie Het aantal significante cijfers van een aarde s het aantakl cuhfers van het getal, te beginnen bij het eerste cijfers dat niet gelijk is aan 0. Zo is de nauwkeurigheid van 0,000012m niet gelijk aan 7 cijfers, maar aan 2 cijfers! Bij vermenigvuldigen, delen, machtsverheffen en worteltrekken is het aantal significante cijfers van de uitkomst gelijk aan HET KLEINSTE aantal significante cijfers van de beginwaarden. Zo is 100 β 100 = 1,00 β 104 en 0,0001 β 50000 = 5 Wiskundige vaardigheden Significantie Bij optellen en aftrekken is het aantal decimalen van het eindantwoord gelijk aan HET KLEINSTE aantal decimalen van de beginwaarden. Zo is 100 + 2,2 = 102 Wiskundige vaardigheden Variabelen - Onafhankelijke: de grootheid, die je zelf steeds verandert, waarmee je onderzoekt hoe een andere grootheid daarvan afhangt. - Afhankelijke: de grootheid die verandert, doordat je de onafhankelijke variabele steeds verandert. - Controle variabelen: dit zijn alle grootheden die je constant moet houden om het experiment eerlijk te laten verlopen. Wiskundige vaardigheden Voorbeeld Stel, je wil het verband weten tussen de druk in een afgesloten hoeveelheid gas en het volume van die hoeveelheid gas. Het ligt voor de hand een proef te doen waarbij je het volume aanpast (onafhankelijke variabele), en steeds meet hoe de druk daardoor verandert (afhankelijke variabele). Je moet er dan wel aan denken wat effect kan hebben op de druk. Dit kan de temperatuur zijn, maar ook de buitendruk, en de massa van het gas (daarom moet het een afgesloten volume zijn). Deze waarden moet je bij je experiment dus constant houden, en noemen we daarom de controle variabelen. Wiskundige vaardigheden Evenredige verbanden π¦β Als x groter, dan y ook groter Progressief: π¦ = π β π₯ π met π > 1 Recht evenredig: π¦ = π β π₯ Degressief: π¦ = π β π₯ π met 0 < π < 1 βπ₯ Wiskundige vaardigheden Omgekeerd evenredige verbanden π¦β Als x groter, dan y kleiner π¦ = π β π₯ π met 0 < π < 1 π¦ = π β π₯ β1 (omgekeerd rechtevenredig verband) π¦ = π β π₯ βπ met π > 1 βπ₯ Wiskundige vaardigheden Voorbeeld We onderzoeken het verband tussen de gravitatiekracht πΉπ en de massa π2 . Welke controle variabelen kun je bedenken? - π1 : de massa van de aarde - π: de straal van de aarde Dit zijn de enige noodzakelijke voor de formule. Mogelijk dacht je ook aan de volgende. Altijd liever een teveel dan te weinig: - π: de absolute temperatuur - π: de dichtheid van de massa Wiskundige vaardigheden Voorbeeld Het onderzoek is uitgevoerd met juiste controlevariabelen. De onderstaande tabel kwam eruit. Hoe hangt πΉπ af van π2 ? ππ (kg) ππ (N) 1,0 8,2 2,0 16,5 3,0 24,1 4,0 31,6 Onafhankelijke variabele op x-as, afhankelijke altijd op y-as! 32 πΉπ β Recht evenredig: Fg = π β π2 24 16 8 0 1 2 3 β π2 4 Wiskundige vaardigheden Voorbeeld We onderzoeken nu het verband tussen de gravitatiekracht πΉπ en de straal π. Wat zijn nu de controle variabelen? - π1 : de massa van de aarde - π2 : de massa van het voorwerp Wiskundige vaardigheden Voorbeeld Het onderzoek is uitgevoerd met juiste controlevariabelen. De onderstaande tabel kwam eruit. Hoe hangt πΉπ af van π? 2,0 100 ππ (N) πΉ β π 100 75 25 3,0 11 4,0 6,3 π(m) 1,0 Onafhankelijke variabele op x-as, afhankelijke altijd op y-as! Omgekeerd evenredig: Fg = π β π βπ 50 25 0 1 2 3 4 βπ Wiskundige vaardigheden Voorbeeld Er geldt dus πΉπ = π β π βπ . We gaan nu testen of a gelijk was aan 2. We kwadrateren r en plotten opnieuw. 0,25 100 ππ (N) πΉ β π 100 75 25 0,11 11 0,06 6,3 βπ π (m) 1,0 Onafhankelijke variabele op x-as, afhankelijke altijd op y-as! Recht evenredig: Fg = π β π β2 50 25 0 0,2 0,4 0,6 βπ 0,8 Wiskundige vaardigheden Voorbeeld We hebben nu de volgende verbanden aangetoond: Fg = π β π2 Fg = π β π β2 Gegeven is het andere verband: Fg = π β π1 Wat is nu de formule voor πΉπ ? πΉπ = π2 β π1 β π β2 β π De constante c kunnen we nu niet bepalen. In praktijk blijft dit de Gravitatieconstante G te zijn. Wiskundige vaardigheden Voorbeeld Evenredig verband met πΉπ πΉπ = πΊ π1 π2 π2 Omgekeerd evenredig verband met πΉπ Evenredig verband: als de onafhankelijke variabele groter wordt, wordt de afhankelijke variabele ook groter. Omgekeerd evenredig verband: als de onafhankelijke variabele groter wordt, wordt de afhankelijke variabele kleiner. Wiskundige vaardigheden Omschrijven van formules In de natuurkunde moet je formules ook omschrijven, zo kan het zijn dat π1 , π2 , πΉπ en πΊ zijn gegeven, en je r wilt weten. In dat geval schrijf je altijd eerst de formule om, waarna je de symbolen pas vervangt door getallen. π1 π2 πΉπ = πΊ π2 πΉπ π 2 = πΊπ1 π2 π2 πΊπ1 π2 = πΉπ πΉπ π 2 π1 = πΊπ2 πΊπ1 π2 πΉπ πΉπ π 2 π2 = πΊπ1 π= πΉπ π 2 πΊ= π1 π2 Wiskundige vaardigheden Einde www.betales.nl
© Copyright 2024 ExpyDoc
