Continue Fouriertransformatie

Continue Fouriertransformatie
Jos´e Lagerberg
Universiteit van Amsterdam
November, 2014
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
1 / 44
1
Continue Fouriertransformatie
Continue niet-periodieke signalen
Fouriertransformatie
Fouriertransformatie paar
Amplitude spectrum en fase spectrum
Van tijddomein naar frequentiedomein
Differentiatie-eigenschap Fouriertransformatie
Inverse relatie tijddomein en frequentiedomein
Schaling in tijddomein
Van frequentiedomein naar tijddomein
FT van eenheidsimpuls
Symmetrie Fouriertransformatie en inverse
Dualiteit
FT van verschoven eenheidsimpuls
FT van cos
FT van periodiek signaal
Relatie tussen Fouriertransformatie en Fourierreeks
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
2 / 44
Discreet
Periodiek
Niet periodiek
DT Fourier Series
N−1
x[n] =
DT Fourier Transform
Z
1
x[n] =
X (Ω)e jΩn d Ω
2π 2π
∑ ak e jk N n
2π
k=0
∞
2π
1 N−1
x[n]e −jk N n
ak =
∑
N n=0
X (Ω) =
Niet-periodiek
CT Fourier Series
∞
∑
k=−∞
Z
1
ak =
T0
x[n]e −jΩn
n=−∞
Continu
Periodiek
x(t) =
∑
T0
ak e jkω0 t
CT Fourier Transform
Z
1 ∞
X (ω)e jωt d ω
x(t) =
2π −∞
x(t)e −jkω0 t dt
X (ω) =
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
Z ∞
−∞
x(t)e −jωt dt
November, 2014
3 / 44
Continue niet-periodieke signalen
Niet-periodiek signaal
Niet-periodiek signaal kan beschouwd worden als periodiek signaal
met oneindige periode
xT (t) periodiek en x(t) niet-periodiek
xT (t)
−4T −3T −2T
T
−T −T1 T1 T
2T
3T
4T
t
x(t)
x(t) = lim xT (t)
T →∞
−T1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
T1
Continue Fouriertransformatie
t
November, 2014
4 / 44
Fourierreeks van xT (t) met ω0 = 2π/T
T
xT (t)
−4T −3T −2T
−T −T1 T1 T
2
1
ak
a1
ω0
2 sin ωT1
T
ω
π
T1
2T
3T
4T
t
ω = kω0
k
ω
ak
1
ak =
T
Z T1
−T1
e
−jkω0 t
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2 sin kω0 T1
2 sin ωT1 sinkω0 T1
=
=
dt =
πk
T
kω0
T
ω ω=kω0
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
5 / 44
Verdubbelen periode verdubbelt aantal harmonischen
T
xT (t)
−2T
−T
ak
−T1 T1
a1
a2
2 sin ωT1
T
ω
ω0
2T
T
4ω0
t
ω = kω0
k
ω
π
T1
ak
2 sin ωT1 2π
2 sin kω0 T1
=
met ω0 =
ak =
T
kω0
T
ω ω=kω0
T
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
6 / 44
Nog een keer verdubbelen
T
xT (t)
−T1 T1
−T
T
t
ak
2 sin ωT1
T
ω
ω0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
8ω0
ω = kω0
k
ω
π
T1
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
7 / 44
Fourierreeks
2 sin ωT1 2 sin kω0 T1
=
ak =
T kω0
T ω ω=kω0
Naar Fouriertransformatie: som → integraal
2π
heel klein
Als T → ∞, dan wordt ω0 =
T
sin kω0 T1
lim Tak = 2
= X (kω0 ) → X (ω) continue functie van ω
T →∞
kω0
∞
x(t) = lim xT (t) = lim ∑ ak e jkω0 t =
T →∞
T →∞ k=−∞
∞
1 ∞
ω0
jkω0 t
=
Tak e
X (kω0 )e jkω0 t ω0
∑
∑ 2π Tlim
→∞
2π k=−∞
k=−∞
Z
1 ∞
ω0 → 0 en T → ∞: x(t) =
X (ω)e jωt d ω
2π −∞
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
8 / 44
Bepalen van spectrum niet-periodiek signaal
Analyse vergelijking van Fouriertransformatie
X (ω) =
Z ∞
−∞
x(t)e −jωt dt
Grootte van |X (ω)| is maat voor hoekfrequentie ω in signaal x(t)
Synthese vergelijking van Fouriertransformatie
1
x(t) =
2π
Z ∞
−∞
X (ω)e jωt d ω
X (ω) functie van alle hoekfrequenties (Fourierreeks: alleen
veelvouden van ω = 2π/T )
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
9 / 44
Fouriertermen
Fouriertransformatie paar
x(t)
signaal in tijddomein
functie van tijd
x(t) = F −1 (X (ω))
inverse FT van X (ω)
F
←−
−→
X (ω)
signaal in frequentiedomein
spectrale dichtheid
X (ω) = F (x(t))
Fouriertransformatie van x(t)
|X (ω)| is amplitude spectrum
arg (X (ω)) is fase spectrum
Even of oneven
als x(t) even ⇒ X (ω) re¨eel
als x(t) oneven ⇒ X (ω) imaginair
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
10 / 44
Voorbeeld 1, van tijddomein naar frequentiedomein
Gegeven volgende rechthoekige puls p1(t) in tijddomein
p1 (t)
−1
0
t
1
Bereken X (ω) en teken amplitude spectrum
Z ∞
Z 1
1 h −jωt i1
dt =
e −jωt dt =
e
=
−jω
−1
−∞
−1
2 e jω − e −jω
2 sin ω
1 −jω
jω
e
−e
=
=
−jω
ω
2j
ω
X (ω) =
x(t)e
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−jωt
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
11 / 44
Voorbeeld 1, amplitude spectrum van p1(t)
Amplitude spectrum
X (ω) =
2 sin ω
, X (ω) is re¨eel (klopt, p1 (t) is even)
ω
2
|X (ω)|
π
ω
Fouriertransformatie paar
p1 (t)
F
←−
−→
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2 sin ω
ω
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
12 / 44
Voorbeeld 2, van tijddomein naar frequentiedomein
Gegeven volgende exponenti¨ele signaal in tijddomein
x(t) = e −t u(t)
1
−3
−2
−1
1
2
3
4
Bereken X (ω) en teken amplitude spectrum
Z ∞
h
i∞
1
1
e −t(1+jω) =
X (ω) =
e −t e −jωt dt =
−1 − jω
0
1 + jω
0 1
X (ω) = √
1 + ω2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
13 / 44
Voorbeeld 2, amplitude spectrum van x(t)
Amplitude spectrum
1
X (ω) = √
1 + ω2
|X (ω)|
ω
Fouriertransformatie paar
x(t) = e −t u(t)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
F
←−
−→
X (ω) =
1
1 + jω
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
14 / 44
Differentiatie-eigenschap Fouriertransformatie
Differenti¨eren in tijddomein
Als signaal gedifferentieerd wordt naar de tijd, wordt X (ω)
vermenigvuldigd met jω
Fouriertransformatie paar
x ′ (t)
F
←−
−→ jωX (ω)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
15 / 44
Voorbeeld 3, van tijddomein naar frequentiedomein
Voorbeeld 3
Bereken X (ω) van het volgende driehoekige signaal
1
−3
−2
−1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
d1 (t)
1
2
3
t
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
16 / 44
Eerst X (ω) van blokgolf berekenen
Gebruik van differentiatie-eigenschap
De volgende blokgolf is de afgeleide van het driehoekige signaal
1
−3
−2
−1
−1
1
2
3
t
Differentiatie-eigenschap
Xd1 (ω) = Xblok (ω)/(jω)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
17 / 44
Berekening X (ω)
X (ω) van blokgolf
Z 0
Z 1
e −jωt dt =
−e
dt +
Xblok (ω) =
−1
h
i01 1 h −jωt i0
1 0
−jωt
−
e
e − e jω − e −jω + e 0 =
+ −e
=−
jω
−1
0 jω
jω
−jω
2 e +e
1
2
4 (1 − cos ω)
−
2−
=−
1 − cos ω = −
=
jω
2
jω
jω
2
1 − cos θ
4
Gebruik sin2 (θ/2) =
− sin2 (ω/2)
jω
2
−jωt
X (ω) van driehoekig signaal
sin(ω/2) 2
4
1
2
Xd1 (ω) = Xblok (ω)/(jω) = − sin (ω/2) ×
=
jω
jω
ω/2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
18 / 44
Amplitude spectrum van d1(t)
Amplitude spectrum (re¨eel)
2
X (ω) = sin(ω/2)
ω/2
−4π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−2π
|X (ω)|
1
2π
Continue Fouriertransformatie
4π
November, 2014
ω
19 / 44
Puls p1 (t) en X (ω)
p1 (t)
−1
0
t
1
2
X (ω)
π
ω
Fouriertransformatie paar
p1 (t)
F
←−
−→
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
2 sin ω
ω
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
20 / 44
Opgave 1: p2 (t) en X (ω) worden hier getoond
p2 (t)
−2
0
2 t
a
X (ω)
ω0
ω
Wat zijn de waarden van a en ω0 ?
1
a = 2 en ω0 = π/2
2
a = 2 en ω0 = 2π
3
a = 4 en ω0 = π/2
4
a = 4 en ω0 = 2π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
21 / 44
Antwoord
Antwoord
X (ω) =
Z 2
−2
e −jωt dt =
2 sin 2ω 4 sin 2ω
1 h −jωt i2
e
=
=
−2
−jω
ω
2ω
4
X (ω)
π/2
1
2
3
4
a=2
a=2
a=4
a=4
en
en
en
en
ω0 = π/2
ω0 = 2π
ω0 = π/2
ω0 = 2π
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
×
ω
×
X
×
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
22 / 44
Inverse relatie tijddomein en frequentiedomein
Tijddomein versus frequentiedomein
p1 (t)
−1
1
X1 (ω) =
2
2 sin ω
ω
π
t
ω
4
X2 (ω) =
p2 (t)
−2
0
2 t
4 sin 2ω
2ω
ω
π/2
Frequentie omgekeerd evenredig met duur puls
signaal kort ↔ spectrum breed
signaal lang ↔ spectrum smal
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
23 / 44
Opgave 2
Uitrekken in tijddomein versmalt frequentie
x2 (t) = x1 (at)
Als x2 (t) twee keer zo breed is als x1 (t), hoe groot is a dan?
1
a = 0.5
2
a=2
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
24 / 44
Antwoord
Antwoord
x2 (t) twee keer zo breed als x1 (t), dan moet gelden x2 (2) = x1 (1)
x2 (t) = x1 (at)
x2 (2) = x1 (1)
at = 1 voor t = 2, dus a = 0.5
1
a = 0.5 X
2
a=2 ×
Uitrekken tijd drukt frequentie samen
x2 (t) = x1 (at)
Als tijd uitgerekt wordt van x1 naar x2 , dan a < 1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
25 / 44
Schaling in tijddomein
x2(t) = x1(at) met a > 0
Z ∞
Z ∞
τ=at
x2 (t)e −jωt dt =
x1 (at)e −jωt dt =
−∞
−∞
Z ∞
1 ω
−jωτ/a 1
x1 (τ)e
d τ = X1
a
a
a
−∞
X2 (ω) =
Fouriertransformatie paar voor alle a 6= 0
x(at)
F
←−
−→
1 ω
X
|a|
a
Als tijd uitgerekt (a < 1), dan frequentie samengedrukt en amplitude
vergroot
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
26 / 44
Voorbeeld 4, van frequentiedomein naar tijddomein
Inverse Fouriertransformatie
Gegeven X (ω), bepaal x(t)
1
−ω0
x(t) =
Z ∞
−∞
X (ω)
ω0
ω
X (ω)e jωt d ω =
1
2π
Z ω0
ω0 /π
−ω0
e jωt d ω =
1 h jωt iω0
sin ω0 t
=
2π jt −ω0
πt
x(t)
π
ω0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
t
November, 2014
27 / 44
Fouriertransformatie van eenheidsimpuls
x(t) = δ(t)Z
F (δ(t)) =
∞
−∞
δ(t)e −jωt dt = e −jω.0 = 1
1
δ(t)
t
0
X (ω)
ω
Fouriertransformatie paar
δ(t)
F
←−
−→
X (ω) = 1
Opmerkingen
1
2
X (ω) is re¨eel ⇒ δ(t) is som van oneindig aantal cosinussen met
alle frequenties even zwaar geteld
δ(t) heel kort, dan spectrum heel breed
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
28 / 44
Symmetrie
Fouriertransformatie paren
2T1
X (ω)
1 x(t)
−T1
t
T1
W /π
1 X (ω)
x(t)
π/W
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
ω
π/T1
t
−W
Continue Fouriertransformatie
W
ω
November, 2014
29 / 44
Dualiteit
Fouriertransformatie en inverse Fouriertransformatie
X (ω) =
Z ∞
−∞
1
x(t) =
2π
x(t)e −jωt dt
Z ∞
−∞
Fouriertransformatie F (x(t))
X (ω)e jωt d ω inverse Fouriertransformatie F −1 (X (ω))
Van ene vorm naar andere
ω→t
2
t → −ω
3
×2π
Z
1 ∞
x(t) =
X (ω)e jωt d ω
2π −∞
Z
1 ∞
1
x(−ω) =
X (t)e −jωt dt = F X (t) ⇒ F X (t) = 2πx(−ω)
2π −∞
2π
1
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
30 / 44
Dualiteit
F x(t) = X (ω)
F X (t) = 2πx(−ω)
Fouriertransformatie paar
x(t)
F
←−
−→ X (ω)
Duale Fouriertransformatie paar
X (t)
F
←−
−→ 2πx(−ω)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
31 / 44
Voorbeeld 5, gebruik dualiteit
Gebruik dualiteit om nieuw transformatie paar te vinden
x(t)
X (t)
F
←−
−→ X (ω)
F
←−
−→ 2πx(−ω)
Fouriertransformatie paren
x(t) = δ(t)
1
X (ω) = 1
ω
t
2πx(−ω) = 2πδ(ω)
X (t) = 1
2π
t
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
0
ω
November, 2014
32 / 44
FT van verschoven eenheidsimpuls
Fouriertransformatie van verschoven eenheidsimpuls
Wat is de Fouriertransformatie van δ(t − T )?
δ(t − T )
0 T
t
Frequentie van verschoven eenheidsimpuls
X (ω) =
Z ∞
−∞
δ(t − T )e −jωt dt = e −jωT
|X (ω)| = 1
1
argX (ω) = −ωT
ω
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
ω
November, 2014
33 / 44
Tijd- en frequentieverschuivingseigenschap
Verschuivingseigenschappen
1
2
Tijdverschuiving:
F
x(t − t0 ) ←−
−→ e −jωt0 X (ω)
Frequentieverschuiving:
F
e jω0 t x(t) ←−
−→ X (ω − ω0 )
Fouriertransformatie van e ±jω0 t
F
1 ←−
−→ 2πδ(ω)
1
e jω0 t
2
e −jω0 t
F
←−
−→ 2πδ(ω − ω0 )
F
←−
−→ 2πδ(ω + ω0 )
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
34 / 44
Fouriertransformatie van cos ω0t
Opgave 3
Wat is de Fouriertransformatie van cos ω0 t?
Formule van Euler
cos ω0 t =
e jω0 t + e −jω0 t
2
cos is som complexe e-machten
e −jω0 t
e jω0 t
cos ω0 t
F
←−
−→ 2πδ(ω + ω0 )
F
←−
−→ 2πδ(ω − ω0 )
F
←−
−→ πδ(ω − ω0 ) + πδ(ω + ω0 )
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
35 / 44
Fouriertransformatie van cos ω0t
cos ω0 t en FT
cos ω0 t
F
←−
−→ πδ(ω − ω0 ) + πδ(ω + ω0 )
X (ω)
x(t)
π
t
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
−ω0
Continue Fouriertransformatie
π
ω0
ω
November, 2014
36 / 44
Fouriertransformatie van periodiek signaal
Fouriertransformatie van periodiek signaal
Gegeven periodiek signaal x(t) met periode T0 .
Wat is de Fouriertransformatie van x(t)?
Fourierreeks van x(t) en Fouriertransformatie
∞
x(t) = x(t + T0 ) =
F x(t) = F
∞
∑
k=−∞
ak e jkω0 t met ω0 = 2π/T0
k=−∞
∑
k=−∞
∞
X (ω) = 2π
∑
ak e jkω0 t =
∞
∑
ak F e jkω0 t
k=−∞
F
jkω
e 0 t ←−
−→
Gebruik
ak δ ω − kω0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
2πδ(ω − kω0 )
November, 2014
37 / 44
Relatie tussen Fouriertransformatie en Fourierreeks
Elke term uit Fourierreeks vervangen door impuls
lijnenspectrum van Fourierreeks
a−1
a−5
a−4
a−3
a−2
a1
a2
a0
0
a3
a4
1
a5
k
spectrum van Fouriertransformatie
2πa−1
2πa−2
2πa−3
2πa−4
2πa1
2πa2
2πa0
0
2πa3
ω0
2πa4
ω
FT van periodiek signaal: pulstrein op harmonische frequenties
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
38 / 44
Fouriertransformatie van impulstrein
Opgave 4
Wat is de Fouriertransformatie van een impulstrein?
∞
x(t) =
∑
k=−∞
δ(t − kT0 )
δ(t)
1
δ(t − T0 )
0 T0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
t
November, 2014
39 / 44
Fouriertransformatie van impulstrein
Fourierreeks van impulstrein
∞
∑
x(t) =
ak =
δ(t − kT0 )
k=−∞
Z
1 T0 /2
T0
x(t) =
−T0 /2
∞
∑
δ(t)e −jkω0 t dt =
ak e jkω0 t =
k=−∞
1
1 0
e =
T0
T0
1 ∞ jkω0 t
∑ e
T0 k=−∞
F
Gebruik e jkω0 t ←−
−→ 2πδ(ω − kω0 )
∞
∞
2π
X (ω) = F x(t) =
∑ δ(ω − kω0 ) = ω0 ∑ δ(ω − kω0 )
T0 k=−∞
k=−∞
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
40 / 44
Fouriertransformatie van impulstrein
Fouriertransformatie paar
∞
x(t) =
∑
k=−∞
F
−→ X (ω) = ω0
δ(t − kT0 ) ←−
∞
∑
k=−∞
δ(ω − kω0 )
δ(t)
1
δ(t − T0 )
0 T0
t
δ(ω)
δ(ω − ω0 )
ω0
0 ω0 2ω0
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
ω
November, 2014
41 / 44
Samenvatting Fouriertransformatie
Fouriertransformatie
1
2
Fouriertransformatie geeft de spectrale dichtheid van
niet-periodiek signaal x(t)
De grootte van |X (ω)| is een maat voor de invloed van ω in het
signaal x(t)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
November, 2014
42 / 44
niet-periodiek signaal Fouriertransformatie
x(t)
X (ω)
y (t)
Y (ω)
ax(t) + by (t)
aX (ω) + bY (ω)
x(t − t0 )
e −jωt0 X (ω)
e jω0 t x(t)
X (ω − ω0 )
x(−t)
X (−ω)
1 ω
X
x(at)
|a|
a
x(t) ∗ y (t)
X (ω)Y (ω)
1
x(t)y (t)
X (ω) ∗ Y (ω)
2π
d
jωX (ω)
x(t)
dt
d
tx(t)
j X (ω)
ω
x(t) real
X (ω) = X ∗ (−ω)
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
Continue Fouriertransformatie
eigenschap
lineair
tijdverschuiving
frequentieverschuiving
schaling
convolutie
modulatie
differentiatie
differentiatie
complex geconjugeerd
November, 2014
43 / 44
signaal
∞
∑
ak e jkω0 t
k=−∞
e jω0 t
∑
n=−∞
∞
2π
∑
k=−∞
cos(ω0 t)
sin(ω0 t)
x(t) = 1
∞
Fouriertransformatie
δ(t − nT )
δ(t)
δ(t − t0 )
Jos´
e Lagerberg (FNWI)
ak δ(ω − kω0 )
2πδ(ω − ω0 )
π(δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 ))
π
j (δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 ))
2πδ(ω)
2π ∞ 2πk δ
ω
−
∑
T k=−∞
T
1
e −jω0 t
Continue Fouriertransformatie
Fourierreeks (periodiek)
ak
a1 = 1, ak = 0 anders
a±1 = 1/2, ak = 0 anders
a±1 = 1/2, ak = 0 anders
a0 = 1 voor elke T0
ak =
1
T
-
November, 2014
44 / 44