Continue Fouriertransformatie Jos´e Lagerberg Universiteit van Amsterdam November, 2014 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 1 / 44 1 Continue Fouriertransformatie Continue niet-periodieke signalen Fouriertransformatie Fouriertransformatie paar Amplitude spectrum en fase spectrum Van tijddomein naar frequentiedomein Differentiatie-eigenschap Fouriertransformatie Inverse relatie tijddomein en frequentiedomein Schaling in tijddomein Van frequentiedomein naar tijddomein FT van eenheidsimpuls Symmetrie Fouriertransformatie en inverse Dualiteit FT van verschoven eenheidsimpuls FT van cos FT van periodiek signaal Relatie tussen Fouriertransformatie en Fourierreeks Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 2 / 44 Discreet Periodiek Niet periodiek DT Fourier Series N−1 x[n] = DT Fourier Transform Z 1 x[n] = X (Ω)e jΩn d Ω 2π 2π ∑ ak e jk N n 2π k=0 ∞ 2π 1 N−1 x[n]e −jk N n ak = ∑ N n=0 X (Ω) = Niet-periodiek CT Fourier Series ∞ ∑ k=−∞ Z 1 ak = T0 x[n]e −jΩn n=−∞ Continu Periodiek x(t) = ∑ T0 ak e jkω0 t CT Fourier Transform Z 1 ∞ X (ω)e jωt d ω x(t) = 2π −∞ x(t)e −jkω0 t dt X (ω) = Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie Z ∞ −∞ x(t)e −jωt dt November, 2014 3 / 44 Continue niet-periodieke signalen Niet-periodiek signaal Niet-periodiek signaal kan beschouwd worden als periodiek signaal met oneindige periode xT (t) periodiek en x(t) niet-periodiek xT (t) −4T −3T −2T T −T −T1 T1 T 2T 3T 4T t x(t) x(t) = lim xT (t) T →∞ −T1 Jos´ e Lagerberg (FNWI) T1 Continue Fouriertransformatie t November, 2014 4 / 44 Fourierreeks van xT (t) met ω0 = 2π/T T xT (t) −4T −3T −2T −T −T1 T1 T 2 1 ak a1 ω0 2 sin ωT1 T ω π T1 2T 3T 4T t ω = kω0 k ω ak 1 ak = T Z T1 −T1 e −jkω0 t Jos´ e Lagerberg (FNWI) 2 sin kω0 T1 2 sin ωT1 sinkω0 T1 = = dt = πk T kω0 T ω ω=kω0 Continue Fouriertransformatie November, 2014 5 / 44 Verdubbelen periode verdubbelt aantal harmonischen T xT (t) −2T −T ak −T1 T1 a1 a2 2 sin ωT1 T ω ω0 2T T 4ω0 t ω = kω0 k ω π T1 ak 2 sin ωT1 2π 2 sin kω0 T1 = met ω0 = ak = T kω0 T ω ω=kω0 T Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 6 / 44 Nog een keer verdubbelen T xT (t) −T1 T1 −T T t ak 2 sin ωT1 T ω ω0 Jos´ e Lagerberg (FNWI) 8ω0 ω = kω0 k ω π T1 Continue Fouriertransformatie November, 2014 7 / 44 Fourierreeks 2 sin ωT1 2 sin kω0 T1 = ak = T kω0 T ω ω=kω0 Naar Fouriertransformatie: som → integraal 2π heel klein Als T → ∞, dan wordt ω0 = T sin kω0 T1 lim Tak = 2 = X (kω0 ) → X (ω) continue functie van ω T →∞ kω0 ∞ x(t) = lim xT (t) = lim ∑ ak e jkω0 t = T →∞ T →∞ k=−∞ ∞ 1 ∞ ω0 jkω0 t = Tak e X (kω0 )e jkω0 t ω0 ∑ ∑ 2π Tlim →∞ 2π k=−∞ k=−∞ Z 1 ∞ ω0 → 0 en T → ∞: x(t) = X (ω)e jωt d ω 2π −∞ Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 8 / 44 Bepalen van spectrum niet-periodiek signaal Analyse vergelijking van Fouriertransformatie X (ω) = Z ∞ −∞ x(t)e −jωt dt Grootte van |X (ω)| is maat voor hoekfrequentie ω in signaal x(t) Synthese vergelijking van Fouriertransformatie 1 x(t) = 2π Z ∞ −∞ X (ω)e jωt d ω X (ω) functie van alle hoekfrequenties (Fourierreeks: alleen veelvouden van ω = 2π/T ) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 9 / 44 Fouriertermen Fouriertransformatie paar x(t) signaal in tijddomein functie van tijd x(t) = F −1 (X (ω)) inverse FT van X (ω) F ←− −→ X (ω) signaal in frequentiedomein spectrale dichtheid X (ω) = F (x(t)) Fouriertransformatie van x(t) |X (ω)| is amplitude spectrum arg (X (ω)) is fase spectrum Even of oneven als x(t) even ⇒ X (ω) re¨eel als x(t) oneven ⇒ X (ω) imaginair Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 10 / 44 Voorbeeld 1, van tijddomein naar frequentiedomein Gegeven volgende rechthoekige puls p1(t) in tijddomein p1 (t) −1 0 t 1 Bereken X (ω) en teken amplitude spectrum Z ∞ Z 1 1 h −jωt i1 dt = e −jωt dt = e = −jω −1 −∞ −1 2 e jω − e −jω 2 sin ω 1 −jω jω e −e = = −jω ω 2j ω X (ω) = x(t)e Jos´ e Lagerberg (FNWI) −jωt Continue Fouriertransformatie November, 2014 11 / 44 Voorbeeld 1, amplitude spectrum van p1(t) Amplitude spectrum X (ω) = 2 sin ω , X (ω) is re¨eel (klopt, p1 (t) is even) ω 2 |X (ω)| π ω Fouriertransformatie paar p1 (t) F ←− −→ Jos´ e Lagerberg (FNWI) 2 sin ω ω Continue Fouriertransformatie November, 2014 12 / 44 Voorbeeld 2, van tijddomein naar frequentiedomein Gegeven volgende exponenti¨ele signaal in tijddomein x(t) = e −t u(t) 1 −3 −2 −1 1 2 3 4 Bereken X (ω) en teken amplitude spectrum Z ∞ h i∞ 1 1 e −t(1+jω) = X (ω) = e −t e −jωt dt = −1 − jω 0 1 + jω 0 1 X (ω) = √ 1 + ω2 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 13 / 44 Voorbeeld 2, amplitude spectrum van x(t) Amplitude spectrum 1 X (ω) = √ 1 + ω2 |X (ω)| ω Fouriertransformatie paar x(t) = e −t u(t) Jos´ e Lagerberg (FNWI) F ←− −→ X (ω) = 1 1 + jω Continue Fouriertransformatie November, 2014 14 / 44 Differentiatie-eigenschap Fouriertransformatie Differenti¨eren in tijddomein Als signaal gedifferentieerd wordt naar de tijd, wordt X (ω) vermenigvuldigd met jω Fouriertransformatie paar x ′ (t) F ←− −→ jωX (ω) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 15 / 44 Voorbeeld 3, van tijddomein naar frequentiedomein Voorbeeld 3 Bereken X (ω) van het volgende driehoekige signaal 1 −3 −2 −1 Jos´ e Lagerberg (FNWI) d1 (t) 1 2 3 t Continue Fouriertransformatie November, 2014 16 / 44 Eerst X (ω) van blokgolf berekenen Gebruik van differentiatie-eigenschap De volgende blokgolf is de afgeleide van het driehoekige signaal 1 −3 −2 −1 −1 1 2 3 t Differentiatie-eigenschap Xd1 (ω) = Xblok (ω)/(jω) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 17 / 44 Berekening X (ω) X (ω) van blokgolf Z 0 Z 1 e −jωt dt = −e dt + Xblok (ω) = −1 h i01 1 h −jωt i0 1 0 −jωt − e e − e jω − e −jω + e 0 = + −e =− jω −1 0 jω jω −jω 2 e +e 1 2 4 (1 − cos ω) − 2− =− 1 − cos ω = − = jω 2 jω jω 2 1 − cos θ 4 Gebruik sin2 (θ/2) = − sin2 (ω/2) jω 2 −jωt X (ω) van driehoekig signaal sin(ω/2) 2 4 1 2 Xd1 (ω) = Xblok (ω)/(jω) = − sin (ω/2) × = jω jω ω/2 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 18 / 44 Amplitude spectrum van d1(t) Amplitude spectrum (re¨eel) 2 X (ω) = sin(ω/2) ω/2 −4π Jos´ e Lagerberg (FNWI) −2π |X (ω)| 1 2π Continue Fouriertransformatie 4π November, 2014 ω 19 / 44 Puls p1 (t) en X (ω) p1 (t) −1 0 t 1 2 X (ω) π ω Fouriertransformatie paar p1 (t) F ←− −→ Jos´ e Lagerberg (FNWI) 2 sin ω ω Continue Fouriertransformatie November, 2014 20 / 44 Opgave 1: p2 (t) en X (ω) worden hier getoond p2 (t) −2 0 2 t a X (ω) ω0 ω Wat zijn de waarden van a en ω0 ? 1 a = 2 en ω0 = π/2 2 a = 2 en ω0 = 2π 3 a = 4 en ω0 = π/2 4 a = 4 en ω0 = 2π Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 21 / 44 Antwoord Antwoord X (ω) = Z 2 −2 e −jωt dt = 2 sin 2ω 4 sin 2ω 1 h −jωt i2 e = = −2 −jω ω 2ω 4 X (ω) π/2 1 2 3 4 a=2 a=2 a=4 a=4 en en en en ω0 = π/2 ω0 = 2π ω0 = π/2 ω0 = 2π Jos´ e Lagerberg (FNWI) × ω × X × Continue Fouriertransformatie November, 2014 22 / 44 Inverse relatie tijddomein en frequentiedomein Tijddomein versus frequentiedomein p1 (t) −1 1 X1 (ω) = 2 2 sin ω ω π t ω 4 X2 (ω) = p2 (t) −2 0 2 t 4 sin 2ω 2ω ω π/2 Frequentie omgekeerd evenredig met duur puls signaal kort ↔ spectrum breed signaal lang ↔ spectrum smal Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 23 / 44 Opgave 2 Uitrekken in tijddomein versmalt frequentie x2 (t) = x1 (at) Als x2 (t) twee keer zo breed is als x1 (t), hoe groot is a dan? 1 a = 0.5 2 a=2 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 24 / 44 Antwoord Antwoord x2 (t) twee keer zo breed als x1 (t), dan moet gelden x2 (2) = x1 (1) x2 (t) = x1 (at) x2 (2) = x1 (1) at = 1 voor t = 2, dus a = 0.5 1 a = 0.5 X 2 a=2 × Uitrekken tijd drukt frequentie samen x2 (t) = x1 (at) Als tijd uitgerekt wordt van x1 naar x2 , dan a < 1 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 25 / 44 Schaling in tijddomein x2(t) = x1(at) met a > 0 Z ∞ Z ∞ τ=at x2 (t)e −jωt dt = x1 (at)e −jωt dt = −∞ −∞ Z ∞ 1 ω −jωτ/a 1 x1 (τ)e d τ = X1 a a a −∞ X2 (ω) = Fouriertransformatie paar voor alle a 6= 0 x(at) F ←− −→ 1 ω X |a| a Als tijd uitgerekt (a < 1), dan frequentie samengedrukt en amplitude vergroot Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 26 / 44 Voorbeeld 4, van frequentiedomein naar tijddomein Inverse Fouriertransformatie Gegeven X (ω), bepaal x(t) 1 −ω0 x(t) = Z ∞ −∞ X (ω) ω0 ω X (ω)e jωt d ω = 1 2π Z ω0 ω0 /π −ω0 e jωt d ω = 1 h jωt iω0 sin ω0 t = 2π jt −ω0 πt x(t) π ω0 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie t November, 2014 27 / 44 Fouriertransformatie van eenheidsimpuls x(t) = δ(t)Z F (δ(t)) = ∞ −∞ δ(t)e −jωt dt = e −jω.0 = 1 1 δ(t) t 0 X (ω) ω Fouriertransformatie paar δ(t) F ←− −→ X (ω) = 1 Opmerkingen 1 2 X (ω) is re¨eel ⇒ δ(t) is som van oneindig aantal cosinussen met alle frequenties even zwaar geteld δ(t) heel kort, dan spectrum heel breed Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 28 / 44 Symmetrie Fouriertransformatie paren 2T1 X (ω) 1 x(t) −T1 t T1 W /π 1 X (ω) x(t) π/W Jos´ e Lagerberg (FNWI) ω π/T1 t −W Continue Fouriertransformatie W ω November, 2014 29 / 44 Dualiteit Fouriertransformatie en inverse Fouriertransformatie X (ω) = Z ∞ −∞ 1 x(t) = 2π x(t)e −jωt dt Z ∞ −∞ Fouriertransformatie F (x(t)) X (ω)e jωt d ω inverse Fouriertransformatie F −1 (X (ω)) Van ene vorm naar andere ω→t 2 t → −ω 3 ×2π Z 1 ∞ x(t) = X (ω)e jωt d ω 2π −∞ Z 1 ∞ 1 x(−ω) = X (t)e −jωt dt = F X (t) ⇒ F X (t) = 2πx(−ω) 2π −∞ 2π 1 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 30 / 44 Dualiteit F x(t) = X (ω) F X (t) = 2πx(−ω) Fouriertransformatie paar x(t) F ←− −→ X (ω) Duale Fouriertransformatie paar X (t) F ←− −→ 2πx(−ω) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 31 / 44 Voorbeeld 5, gebruik dualiteit Gebruik dualiteit om nieuw transformatie paar te vinden x(t) X (t) F ←− −→ X (ω) F ←− −→ 2πx(−ω) Fouriertransformatie paren x(t) = δ(t) 1 X (ω) = 1 ω t 2πx(−ω) = 2πδ(ω) X (t) = 1 2π t Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie 0 ω November, 2014 32 / 44 FT van verschoven eenheidsimpuls Fouriertransformatie van verschoven eenheidsimpuls Wat is de Fouriertransformatie van δ(t − T )? δ(t − T ) 0 T t Frequentie van verschoven eenheidsimpuls X (ω) = Z ∞ −∞ δ(t − T )e −jωt dt = e −jωT |X (ω)| = 1 1 argX (ω) = −ωT ω Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie ω November, 2014 33 / 44 Tijd- en frequentieverschuivingseigenschap Verschuivingseigenschappen 1 2 Tijdverschuiving: F x(t − t0 ) ←− −→ e −jωt0 X (ω) Frequentieverschuiving: F e jω0 t x(t) ←− −→ X (ω − ω0 ) Fouriertransformatie van e ±jω0 t F 1 ←− −→ 2πδ(ω) 1 e jω0 t 2 e −jω0 t F ←− −→ 2πδ(ω − ω0 ) F ←− −→ 2πδ(ω + ω0 ) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 34 / 44 Fouriertransformatie van cos ω0t Opgave 3 Wat is de Fouriertransformatie van cos ω0 t? Formule van Euler cos ω0 t = e jω0 t + e −jω0 t 2 cos is som complexe e-machten e −jω0 t e jω0 t cos ω0 t F ←− −→ 2πδ(ω + ω0 ) F ←− −→ 2πδ(ω − ω0 ) F ←− −→ πδ(ω − ω0 ) + πδ(ω + ω0 ) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 35 / 44 Fouriertransformatie van cos ω0t cos ω0 t en FT cos ω0 t F ←− −→ πδ(ω − ω0 ) + πδ(ω + ω0 ) X (ω) x(t) π t Jos´ e Lagerberg (FNWI) −ω0 Continue Fouriertransformatie π ω0 ω November, 2014 36 / 44 Fouriertransformatie van periodiek signaal Fouriertransformatie van periodiek signaal Gegeven periodiek signaal x(t) met periode T0 . Wat is de Fouriertransformatie van x(t)? Fourierreeks van x(t) en Fouriertransformatie ∞ x(t) = x(t + T0 ) = F x(t) = F ∞ ∑ k=−∞ ak e jkω0 t met ω0 = 2π/T0 k=−∞ ∑ k=−∞ ∞ X (ω) = 2π ∑ ak e jkω0 t = ∞ ∑ ak F e jkω0 t k=−∞ F jkω e 0 t ←− −→ Gebruik ak δ ω − kω0 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie 2πδ(ω − kω0 ) November, 2014 37 / 44 Relatie tussen Fouriertransformatie en Fourierreeks Elke term uit Fourierreeks vervangen door impuls lijnenspectrum van Fourierreeks a−1 a−5 a−4 a−3 a−2 a1 a2 a0 0 a3 a4 1 a5 k spectrum van Fouriertransformatie 2πa−1 2πa−2 2πa−3 2πa−4 2πa1 2πa2 2πa0 0 2πa3 ω0 2πa4 ω FT van periodiek signaal: pulstrein op harmonische frequenties Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 38 / 44 Fouriertransformatie van impulstrein Opgave 4 Wat is de Fouriertransformatie van een impulstrein? ∞ x(t) = ∑ k=−∞ δ(t − kT0 ) δ(t) 1 δ(t − T0 ) 0 T0 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie t November, 2014 39 / 44 Fouriertransformatie van impulstrein Fourierreeks van impulstrein ∞ ∑ x(t) = ak = δ(t − kT0 ) k=−∞ Z 1 T0 /2 T0 x(t) = −T0 /2 ∞ ∑ δ(t)e −jkω0 t dt = ak e jkω0 t = k=−∞ 1 1 0 e = T0 T0 1 ∞ jkω0 t ∑ e T0 k=−∞ F Gebruik e jkω0 t ←− −→ 2πδ(ω − kω0 ) ∞ ∞ 2π X (ω) = F x(t) = ∑ δ(ω − kω0 ) = ω0 ∑ δ(ω − kω0 ) T0 k=−∞ k=−∞ Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 40 / 44 Fouriertransformatie van impulstrein Fouriertransformatie paar ∞ x(t) = ∑ k=−∞ F −→ X (ω) = ω0 δ(t − kT0 ) ←− ∞ ∑ k=−∞ δ(ω − kω0 ) δ(t) 1 δ(t − T0 ) 0 T0 t δ(ω) δ(ω − ω0 ) ω0 0 ω0 2ω0 Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie ω November, 2014 41 / 44 Samenvatting Fouriertransformatie Fouriertransformatie 1 2 Fouriertransformatie geeft de spectrale dichtheid van niet-periodiek signaal x(t) De grootte van |X (ω)| is een maat voor de invloed van ω in het signaal x(t) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie November, 2014 42 / 44 niet-periodiek signaal Fouriertransformatie x(t) X (ω) y (t) Y (ω) ax(t) + by (t) aX (ω) + bY (ω) x(t − t0 ) e −jωt0 X (ω) e jω0 t x(t) X (ω − ω0 ) x(−t) X (−ω) 1 ω X x(at) |a| a x(t) ∗ y (t) X (ω)Y (ω) 1 x(t)y (t) X (ω) ∗ Y (ω) 2π d jωX (ω) x(t) dt d tx(t) j X (ω) ω x(t) real X (ω) = X ∗ (−ω) Jos´ e Lagerberg (FNWI) Continue Fouriertransformatie eigenschap lineair tijdverschuiving frequentieverschuiving schaling convolutie modulatie differentiatie differentiatie complex geconjugeerd November, 2014 43 / 44 signaal ∞ ∑ ak e jkω0 t k=−∞ e jω0 t ∑ n=−∞ ∞ 2π ∑ k=−∞ cos(ω0 t) sin(ω0 t) x(t) = 1 ∞ Fouriertransformatie δ(t − nT ) δ(t) δ(t − t0 ) Jos´ e Lagerberg (FNWI) ak δ(ω − kω0 ) 2πδ(ω − ω0 ) π(δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 )) π j (δ(ω − ω0 ) − δ(ω + ω0 )) 2πδ(ω) 2π ∞ 2πk δ ω − ∑ T k=−∞ T 1 e −jω0 t Continue Fouriertransformatie Fourierreeks (periodiek) ak a1 = 1, ak = 0 anders a±1 = 1/2, ak = 0 anders a±1 = 1/2, ak = 0 anders a0 = 1 voor elke T0 ak = 1 T - November, 2014 44 / 44
© Copyright 2025 ExpyDoc
