pdf-bestand - Adviesbureau ir. J.G. Hageman B.V.

thema
Achtergronden rekenregels voor schijven, platen en schalen
Van spanning
naar wapening
Met de opkomst van de eindige-elementenmethode is het
belastingscombinaties. Daarom wordt uitgegaan van een
praktisch orthogonaal wapeningsnet waarvan de richtingen
samenvallen met de assen x en y. In het x,y-vlak wordt een
schijfvormig element beschouwd met de schijfkrachten per
eenheid van breedte nxx , nyy en nxy die volgen uit een EEMberekening (fig. 1a). De schuifkracht nxy is gelijk aan nyx.
Zoals ze zijn getekend, hebben de schijfkrachten een positief
teken. Deze EEM-spanningstoestand is te ontbinden in drie
lijnspanningstoestanden (fig. 1b, 1c en 1d). De kracht nc per
eenheid van breedte is positief als deze druk is. Ook de wapeningskrachten nsx en nsy zijn gedefinieerd per eenheid van
breedte; deze zijn positief voor trek. De kracht in de drukdiagonalen valt samen met de richting van de diagonalen. Loodrecht op de diagonalen treedt in het beton geen kracht op en
tussen de diagonalen geen schuifkracht. De hoek tussen de
diagonalen en de y-as is φ. Twee vragen staan nu centraal:
–Hoeveel betonstaal is nodig?
–Is het mogelijk de toe te passen hoeveelheid betonstaal te
minimaliseren?
analyseren van het gedrag van constructies toenemend geautomatiseerd. Dat is ook van toepassing op de wapeningsberekeningen. De in elementen berekende lineair-elastische krachten worden daarbij omgezet in hoeveelheden wapening. In dit
artikel wordt op hoofdlijnen aangegeven hoe die berekeningen
zijn opgezet door in te gaan op de achtergronden van de rekenregels voor schijven, platen en schalen. Afgesloten wordt met
de overkoepelende theorie voor de gecombineerde plaat-schijfwerking (schalen) van NEN-EN 1992-2 [1].
Schijf: vlakke spanningstoestand
Als eerste komen de achtergronden van het wapenen van een
schijf aan bod. De meest economische wapening zal samenvallen met de hoofdtrekspanning, maar dat is niet praktisch.
De hoofdspanningsrichting zal in het algemeen niet samenvallen met schijfranden en is bovendien anders voor diverse
Deze vragen zijn al enkele decennia onderwerp van onderzoek
[2-4].
nyy
nyx
nxy
y
EEM
x
nc
nxx
EEM-spanningen
=
beton
1a
28
nsx
+
1b
3 2 014
nsy
x-wapening
+
1c
y-wapening
1d
Van spanning naar wapening
dr.ir.drs. René Braam
TU Delft, fac. CiTG /
Adviesbureau ir. J.G. Hageman BV
prof.dr.ir. Johan Blaauwendraad
Emeritus hoogleraar, TU Delft
1 Schijfelement met EEM-schijfkrachten (a); ontbinding in drie lijnspanningstoestanden: krachten nc in betondrukdiagonalen (b), wapeningskrachten nsx in
x-richting (c) en wapeningskrachten nsy in y-richting (d)
2 Bepaling van minimum van k + k-1
3 Vier kwadranten met, afhankelijk van de genormeerde spanningen in x- en
y-richting, de wapeningsconfiguratie en uitdrukkingen voor de benodigde
wapening en aanwezige scheurhelling en betondrukspanning [5]
5
Om de wapening te vinden bij een positieve schuifkracht nxy
moet deze schuifkracht zowel in de x- als y-richting worden
opgeteld bij de aanwezige krachten nxx en nyy. Als de schuifkracht negatief is, wordt een vergelijkbare uitkomst gevonden.
Dan moet de absolute waarde van nxy worden toegevoegd.
4,5
4
3,5
3
2,5
k
1/k
k + 1/k
2
1,5
Tot hier is er stilzwijgend van uitgegaan dat in beide richtingen
wapening nodig is. Als voor nsx een negatieve waarde wordt
berekend, is wapening in die richting niet nodig. Nu volgt de
grootte van hoek φ uit de conditie nsx = 0. Een vergelijkbaar
commentaar geldt voor de y-richting. In figuur 3 is een en
ander uitgewerkt voor vier verschillende gevallen.
Deze figuur is welbekend uit de literatuur [5]. De figuur maakt
gebruik van vier kwadranten. De spanningen zijn genormeerd.
De eerder beschreven situatie met de twee wapeningsrichtingen bevindt zich rechtsboven in de figuur. Afhankelijk van de
grootte van de genormeerde spanningen wordt scheurvorming
onder een hoek φ = π ⁄4 of φ = 3π ⁄4 verondersteld op te treden.
1
0,5
2
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
Op basis van evenwichtsoverwegingen zijn tussen de drie
EEM-schijfkrachten en de drie lijnspanningstoestanden de
volgende vergelijkingen af te leiden:
nxx = nsx – nc sin2 φ(1)
nyy = nsy – nc cos2 φ
nxy = nc sin φ cos φ
Voor nxx ⁄ |nxy| = −1 en nyy ⁄ |nxy| = −1 treden overgangssituaties
op. In de eerstgenoemde situatie wordt overgestapt van
wapenen in x- én y-richting naar wapenen in alleen x-richting.
Hierin zijn de drie schijfkrachten in het linkerlid bekend. In het
rechterlid staan vier onbekenden, te weten de drie krachten per
eenheid van breedte nsx, nsy en nc en de hoek φ. Vergelijking (1)
is te herschrijven tot:
nyy
|
nxy |
nc = 2 | nxy | (druk)
nsx = nxx + | nxy |
nxy < 0
nsx = nxx + nxy tan φ(2)
φ
nsx = nyy + nxy cot φ
nc =
π
3
≤φ≤π
4
4
n xy
sin φ cos φ
nsx + nsy = nxx + nyy + nxy (k + k-1)(3)
In deze vergelijking is k nog onbekend omdat de grootte van de
hoek φ onbekend is. Dat biedt een mogelijkheid de hoeveelheid
wapening te optimaliseren. De term tussen haken is minimaal
voor k = 1 (fig. 2), dus voor een hoek φ = 45° . Het eindresultaat is:
nsx = nxx + nxy
nsy = nyy + nxy
n2xy
nsy = nyy − 
nxx
Van spanning naar wapening
nxy > 0
(
)
1
nc = nxy tan φ + 
tan φ
(druk)
n2xy
nyy ≤ 
n
nxx
|
nxy |
π
φ=
4
−1
−1
xx
nxx + nyy
nc =  +
2
(
2
)
1
 nxx − nyy
4
+ n2xy
π
0≤φ≤
4
of
3
π≤φ≤π
4
≤ fcd (druk)
(4a)
(4b)
y
nxy
tan φ = − 
nyy
GEEN WAPENING
φ
De kracht in de betondiagonalen wordt:
nc = 2nxy (met nc > 0 bij druk).
3
φ=π
4
nxx
tan φ = − 
nxy
De som van de eerste twee vergelijkingen geeft een maat voor
de totale hoeveelheid wapening. Ingevoerd wordt het symbool
k, volgens de definitie k = tan φ, zodat:
nsy = nyy + | nxy |
n2xy
nsx = nxx − 
nyy
nc
x
(5)
3 2 014
(
)
1
nc = nxy tan φ + 
tan φ
(druk)
3
29
thema
4 Plaatelement met momenten gesplitst in een boven- en een onderschijf
(sandwichmodel)
5 Het opnemen van een dwarskracht door een stelsel van drukdiagonalen
en additionele (schijf )krachten op de boven- en onderschijf
y
ys
z
yi
x
y
x
z
φ0
θ = 21,6° − 45°
myy
mxy
v0 =
mxx
1 v0
 
2 tan θ
v0
myx
vx2 + vy2
ys + yi = z
dv
top
s
mxy

z
θ
v0
θ
mxx

z
myx

z
v0

tan θ
1 v0
 
2 tan θ
bottom
i
mxx
−
z
mxy

z
myx

z
myy
−
z
Het betreft de overgang tussen de kwadranten rechtsboven en
rechtsonder. Een vergelijkbare situatie treedt op in de als
tweede genoemde situatie. Nu wordt overgestapt van wapenen
in x- én y-richting naar wapenen in alleen y-richting (kwadranten rechtsboven en linksboven). Ten slotte is er nog een
kwadrant dat wordt gekenmerkt door het afwezig zijn van
betonhoofdtrekspanningen. Het kwadrant bevindt zich linksonder en de bijbehorende spanningstoestand vraagt geen
wapening. De gekromde overgangszone met de twee naastgelegen kwadranten wordt beschreven met nxx nyy ⁄ (nxy)2 = 1.
Voor de situaties dat óf geen wapening in x-richting óf geen
wapening in y-richting nodig is, kunnen desgewenst toch de
regels van vergelijkingen (4a) en (4b) worden gebruikt, maar
dit is niet heel economisch.
Platen
In een plaat treden in het algemeen buigende en wringende
momenten en dwarskrachten op. De voor het schijfelement
bekende aanpak kan worden toegepast. Daartoe wordt de plaat
gesplitst in drie lagen (fig. 4). Te onderscheiden zijn een bovenschijf, een onderschijf en een kern, dus een ‘sandwichmodel’
[1]. De twee schijven worden gedacht alleen in hun vlak te zijn
belast; de kern wordt loodrecht op zijn vlak belast.
30
v0
dv • cot θ
myy

z
v0

sin θ
4
5
Door de buigende momenten te vervangen door koppels van
krachten is dit te realiseren (fig. 4). De normaalkrachten en
schuifkrachten die hierdoor worden geïntroduceerd, belasten
de boven- en onderschijf. De wapening in deze twee schijven
kan met de voorgaand besproken schijftheorie worden gedimensioneerd. Bijzondere aandacht verdient de aanvullende
component, te weten de dwarskracht. Deze wordt opgenomen
door de kern. In de EEM-analyse worden dwarskrachten vx in
x-richting en vy in y-richting berekend. Er is een richting in het
plaatvlak waarin de dwarskracht maximaal is. Deze wordt v0
genoemd en de richting wordt vastgelegd door de hoek φ0 met
de x-as (fig. 5). Deze maximale dwarskracht roept in de kern
drukdiagonalen op onder een hoek θ met het vlak van de plaat.
Bij het controleren van het afschuifdraagvermogen spelen de
wapeningsverhoudingen in x- en y-richting een rol. Daarom kan
van een equivalente wapeningsverhouding gebruik worden
gemaakt. Deze wordt berekend door de in x- en y-richting aanwezige wapening tot een equivalente wapeningsverhouding in de
richting met de grootste dwarskracht om te rekenen. Als uit een
controle op dwarskrachtweerstand blijkt dat dwarskrachtwapening nodig is, moeten langskrachten worden toegevoegd aan de
krachten die in de boven- en onderschijf werkzaam zijn [1]. Deze
langskrachten worden berekend met het staafwerkmodel voor het
opnemen van de dwarskracht. Figuur 5 toont het principe. Deze
aanpak komt overeen met het bekende ‘verschuiven van de
momentenlijn in ongunstige zin’. Het is ook mogelijk een bijkomende wapeningstrekkracht te berekenen (fig. 5). Dat is in rekenprogrammatuur eenvoudiger op te nemen.
3 2 014
Van spanning naar wapening
6 Schaalelement met schijfkrachten en momenten gesplitst in een boven- en
een onderschijf (sandwichmodel)
● Literatuur
1 NEN-EN 1992-2: Eurocode 2: Ontwerp en berekening van
Schalen
betonconstructies – Bruggen.
De schaal combineert de normaal- en schuifkrachten van de schijf
met de buigende en wringende momenten en dwarskrachten van
de plaat. De verschillen met een plaatelement zijn beperkt. De
boven- en onderschijf van het sandwichmodel nemen ook nu de
uitwendige krachten op die als normaal- en schuifkrachten op het
geheel worden uitgeoefend. Deze krachten worden verdeeld over
de twee schijven. Dit toebedelen vindt plaats op basis van de
excentriciteiten van de betreffende wapeningslagen in de bovenen onderschijf van het gehanteerde assenstelsel (fig. 6). De toetsing op dwarskracht vindt plaats als bij een plaat.
In praktijkberekeningen zal meestal geen onderscheid worden
gemaakt tussen de excentriciteiten van de wapeningslagen in
x- en y-richting. In figuur 6 is hiermee al rekening gehouden
door uit te gaan van factor γ en factor 1 – γ voor alle wapening
in, respectievelijk, de boven- en onderschijf. De uitdrukkingen
worden er aanzienlijk eenvoudiger van.
Het drielagenmodel uit Eurocode 2 deel 2 is goed toepasbaar
bij niet al te hoge wapeningsverhoudingen en bij niet-dominante wringing [5]. Deze eisen zullen in de constructeurspraktijk veelal niet tot problemen leiden.
y
2 Baumann, Th., Tragwirkung orthogonaler
Bewehrungsnetzebeliebiger richtung in Flächentragwerken aus
Stahlbeton. Deutscher Ausschuss für Stahlbeton, Heft 217, 1972, p. 53.
3 Baumann, Th., Zur Frage der Netzbewehrung von
Flächentragwerken. Der Bauingenieur, vol. 47, 1972, pp. 367-377.
4 Wapenen van platen. CUR-rapport 54, CUR, Gouda, 1972, p. 60.
5 Lourenço, P.B., Blaauwendraad, J., Aanzet tot consistent wapenen van
schijven, platen en schalen I en II. Cement 1995/2 en Cement 1995/3.
In de berekening volgens het sandwichmodel uit Eurocode 2
deel 2 is geen rekening gehouden met het aanbrengen van een
minimumwapening in de richtingen waarin theoretisch geen
wapening is benodigd. Uiteraard is het mogelijk in de modellen
rekening te houden met minimumwapening.
Het model van Lourenço en Blaauwendraad [5] bevat een iteratieprocedure waarmee kan worden geoptimaliseerd. In die
procedure kan ook rekening worden gehouden met een theoretische wapeningsbehoefte die kleiner is dan nul. Door de hoek
van de drukdiagonalen/scheuren in de boven- en onderschijf te
variëren, kunnen stelsels van betondrukdiagonalen en wapeningstrekstaven worden gevonden die leiden tot een geringere
wapeningsbehoefte. Ook de dikten van de onder- en bovenschijf zijn daarbij als variabelen mee te nemen.
ys
yi
x
z
Tot slot
nxx
mxy
nxy
nyx
nyy
mxx
z − ys
γ=
z
ys + yi = z
mxx
γnxx + 
z
myx
z - yi
1−γ=
z
top
s
mxy
− γnxy + 
z
De auteurs geven in dit artikel een beknopt overzicht van de
stappen die spanningen of krachten door uitwendige belastingen vertalen in wapenings- en betonspanningen. Daarbij blijkt
dat op lokaal niveau wordt gekeken, dus op elementniveau. De
spanningen en krachten die als invoer voor de berekeningen
dienen, worden meestal aan een lineair-elastische analyse
ontleend.
myy
myx
γnyx + 
z
myy
γnyy + 
z
bottom
i
myx
− (1 − γ) nyx + 
z
mxx
( 1 − γ) nxx − 
z
mxy
( 1 − γ) nxy + 
z
Van spanning naar wapening
myy
(1 − γ) nyy − 
z
6
Voorgaande constateringen vragen enige aanvullende opmerkingen. De eerste is dat uit een berekening van element na
element een onpraktische wapeningsverdeling volgt. In werkelijkheid zal de constructeur kiezen voor een praktisch net. Een
tweede opmerking is dat de wapeningsverdeling goed past bij
de bruikbaarheidstoestand, maar niet noodzakelijkerwijs de
beste is voor de bezwijktoestand. Door scheurvorming kan
sprake zijn van een substantiële herverdeling in de krachtswerking. In een plaat kan de hefboomsarm groter worden waardoor de bezwijkbelasting groter kan worden dan verwacht.
Ten slotte dient te worden opgemerkt dat de getoonde algoritmen geen aanwijzingen inhouden voor goede verankeringslengten en het onverzwakt doorvoeren van trekbanden. ☒
3 2 014
31

Download Report