Presentatie

Analyse met infinitesimalen
Hans Vernaeve
Universiteit Gent
(Hans Vernaeve)
1 / 15
Infinitesimalen in de 17de en 18de eeuw
Infinitesimalen = oneindig kleine getallen.
‘Fysisch’ hulpmiddel om eigenschappen van functies aan te tonen.
Gebruikt in de differentiaalrekening van Leibniz en Newton.
Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum, 1748.
(Hans Vernaeve)
2 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x
Voor een infinitesimaal dx geldt:
de x
dx
(Hans Vernaeve)
3 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x
Voor een infinitesimaal dx geldt:
e x+dx − e x
de x
=
dx
dx
(Hans Vernaeve)
3 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x
Voor een infinitesimaal dx geldt:
e x+dx − e x
de x
=
dx
dx
e x (e dx − 1)
=
dx
(Hans Vernaeve)
3 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x
Voor een infinitesimaal dx geldt:
e x+dx − e x
de x
=
dx
dx
e x (e dx − 1)
=
dx
1 + dx +
= ex
(Hans Vernaeve)
dx 2
2
+ ... − 1
dx
3 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x
Voor een infinitesimaal dx geldt:
e x+dx − e x
de x
=
dx
dx
e x (e dx − 1)
=
dx
1 + dx +
= ex
= e x (1 +
(Hans Vernaeve)
dx
2
dx 2
2
+ ... − 1
dx
+ . . . ) = ex
3 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x
Voor een infinitesimaal dx geldt:
e x+dx − e x
de x
=
dx
dx
e x (e dx − 1)
=
dx
1 + dx +
= ex
= e x (1 +
dx
2
dx 2
2
+ ... − 1
dx
+ . . . ) = ex
• eerste lijn: we delen door dx, dus dx 6= 0
(Hans Vernaeve)
3 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x
Voor een infinitesimaal dx geldt:
e x+dx − e x
de x
=
dx
dx
e x (e dx − 1)
=
dx
1 + dx +
= ex
= e x (1 +
dx
2
dx 2
2
+ ... − 1
dx
+ . . . ) = ex
• eerste lijn: we delen door dx, dus dx 6= 0
• laatste lijn: we verwaarlozen dx, dus dx = 0.
(Hans Vernaeve)
3 / 15
Kritiek op infinitesimalen
They are neither finite Quantities, nor Quantities infinitely small, nor yet
nothing. May we not call them the Ghosts of departed Quantities?
Bisschop George Berkeley, The Analyst, 1734.
(Hans Vernaeve)
4 / 15
De 19de eeuw: infinitesimalen verbannen
Wiskundige analyse werd ontwikkeld zonder infinitesimalen.
Bernard Bolzano (1781-1848)
Karl Weierstrass (1815-1897)
f is continu in a als
(∀ε > 0)(∃δ > 0)(∀x)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε)
(Hans Vernaeve)
5 / 15
De 20ste eeuw: infinitesimalen gefundeerd
Abraham Robinson, Non-standard analysis, 1966.
(Hans Vernaeve)
6 / 15
Robinson realiseert de Droom van Leibniz
Gottfried Wilhelm von Leibniz (brief aan Varignon, 1702):
• Aan het getallenstelsel moeten oneindig kleine en oneindig grote ideale
elementen toegevoegd worden
• In het uitgebreide getallenstelsel moeten dezelfde rekenkundige wetten
gelden als in het gewone stelsel
(Hans Vernaeve)
7 / 15
Robinson realiseert de Droom van Leibniz
Robinson construeert een uitbreiding ∗R van R die infinitesimalen bevat:
Definitie
x ∈ ∗R is infinitesimaal als −r < x < r voor elke r ∈ R+ .
Notatie: x ≈ 0.
Notatie: x ≈ y betekent x − y ≈ 0.
(Hans Vernaeve)
8 / 15
Robinson realiseert de Droom van Leibniz
Overdrachtsprincipe
Rekenregels voor re¨ele getallen blijven gelden voor hyperre¨ele getallen.
Voorbeelden
(∀x)(x 2 ≥ 0)
(∀x, y )((x − 1)2 + (y − 1)2 = 0 ⇐⇒ x = y = 1)
(∀x)(x 6= 0 ⇒ (∃y )(xy = 1))
(∀x)(| sin x| ≤ |x|)
(∀x, y )(e x+y = e x e y )
(Hans Vernaeve)
9 / 15
Robinson realiseert de Droom van Leibniz
Overdrachtsprincipe
Rekenregels voor re¨ele getallen blijven gelden voor hyperre¨ele getallen.
Voorbeelden
(∀x ∈ R)(x 2 ≥ 0)
(∀x, y ∈ R)((x − 1)2 + (y − 1)2 = 0 ⇐⇒ x = y = 1)
(∀x ∈ R)(x 6= 0 ⇒ (∃y ∈ R)(xy = 1))
(∀x ∈ R)(| sin x| ≤ |x|)
(∀x, y ∈ R)(e x+y = e x e y )
(Hans Vernaeve)
9 / 15
Robinson realiseert de Droom van Leibniz
Overdrachtsprincipe
Rekenregels voor re¨ele getallen blijven gelden voor hyperre¨ele getallen.
Voorbeelden
(∀x ∈ ∗R)(x 2 ≥ 0)
(∀x, y ∈ ∗R)((x − 1)2 + (y − 1)2 = 0 ⇐⇒ x = y = 1)
(∀x ∈ ∗R)(x 6= 0 ⇒ (∃y ∈ ∗R)(xy = 1))
(∀x ∈ ∗R)(| sin x| ≤ |x|)
(∀x, y ∈ ∗R)(e x+y = e x e y )
→ hyperre¨ele getallen hebben zelfde look and feel als re¨ele getallen
(Hans Vernaeve)
9 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x (nogmaals)
Voor een infinitesimaal dx geldt:
de x
e x+dx − e x
=
dx
dx
e x (e dx − 1)
=
dx
1 + dx +
= ex
= e x (1 +
(Hans Vernaeve)
dx
2
dx 2
2
+ ··· − 1
dx
+ . . . ) = ex
10 / 15
Voorbeeld: de afgeleide van e x (nogmaals)
Voor een infinitesimaal dx 6= 0 geldt:
de x
e x+dx − e x
=
dx
dx
e x (e dx − 1)
=
dx
1 + dx +
= ex
= e x (1 +
dx
2
dx 2
2
+ ··· − 1
dx
+ . . . ) ≈ ex
x
In niet-standaard analyse is (e x )0 = st( de
eel getal ≈
dx ), het unieke re¨
(Hans Vernaeve)
de x
dx .
10 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇒: kies ε ∈ R+ . Bij definitie bestaat δ ∈ R+ waarvoor
(∀x ∈ R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇒: kies ε ∈ R+ . Bij definitie bestaat δ ∈ R+ waarvoor
(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇒: kies ε ∈ R+ . Bij definitie bestaat δ ∈ R+ waarvoor
(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
Als nu x ≈ a, dan is |x − a| < δ
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇒: kies ε ∈ R+ . Bij definitie bestaat δ ∈ R+ waarvoor
(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
Als nu x ≈ a, dan is |x − a| < δ, en dus ook |f (x) − f (a)| < ε.
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇒: kies ε ∈ R+ . Bij definitie bestaat δ ∈ R+ waarvoor
(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
Als nu x ≈ a, dan is |x − a| < δ, en dus ook |f (x) − f (a)| < ε.
We hebben dus bewezen: (∀ε ∈ R+ ) (∀x ≈ a) |f (x) − f (a)| < ε.
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇒: kies ε ∈ R+ . Bij definitie bestaat δ ∈ R+ waarvoor
(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
Als nu x ≈ a, dan is |x − a| < δ, en dus ook |f (x) − f (a)| < ε.
We hebben dus bewezen: (∀ε ∈ R+ ) (∀x ≈ a) |f (x) − f (a)| < ε.
M.a.w., (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇐: kies ε ∈ R+ . Nu moeten we bewijzen dat
(∃δ ∈ R+ )(∀x ∈ R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇐: kies ε ∈ R+ . Nu moeten we bewijzen dat
(∃δ ∈ ∗R+ )(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇐: kies ε ∈ R+ . Nu moeten we bewijzen dat
(∃δ ∈ ∗R+ )(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
Dit is vervuld, want kies willekeurig δ ≈ 0, δ > 0. Als dan |x − a| < δ, dan
is x ≈ a
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇐: kies ε ∈ R+ . Nu moeten we bewijzen dat
(∃δ ∈ ∗R+ )(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
Dit is vervuld, want kies willekeurig δ ≈ 0, δ > 0. Als dan |x − a| < δ, dan
is x ≈ a, en dus ook f (x) ≈ f (a).
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Infinitesimale karakterisering van continu¨ıteit
Stelling
f is continu in a ⇐⇒ (∀x ≈ a) f (x) ≈ f (a).
Bewijs.
⇐: kies ε ∈ R+ . Nu moeten we bewijzen dat
(∃δ ∈ ∗R+ )(∀x ∈ ∗R)(|x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < ε).
Dit is vervuld, want kies willekeurig δ ≈ 0, δ > 0. Als dan |x − a| < δ, dan
is x ≈ a, en dus ook f (x) ≈ f (a). I.h.b. |f (x) − f (a)| < ε.
(Hans Vernaeve)
11 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Modeltheorie = deel van de logica.
Bestudeert welke wiskundige structuren (modellen) aan een gegeven
stel axioma’s voldoen.
(Hans Vernaeve)
12 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Modeltheorie = deel van de logica.
Bestudeert welke wiskundige structuren (modellen) aan een gegeven
stel axioma’s voldoen.
Voorbeeld (Axioma’s van het euclidisch vlak)
Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte.
Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte.
Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de
eindpunten als middelpunt.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Gegeven een rechte L en een punt p niet op L gelegen, bestaat er
juist ´e´en rechte door p die L niet snijdt (parallellenpostulaat).
(Hans Vernaeve)
12 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte.
Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte.
Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de
eindpunten als middelpunt.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel.
(Hans Vernaeve)
13 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte.
Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte.
Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de
eindpunten als middelpunt.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel.
Er bestaan andere modellen!
Bijv.: hyperbolische meetkunde
(Gauss - Bolyai - Lobachevsky,
1824–1832)
(Hans Vernaeve)
13 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte.
Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte.
Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de
eindpunten als middelpunt.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel.
Er bestaan andere modellen!
Bijv.: hyperbolische meetkunde
(Gauss - Bolyai - Lobachevsky,
1824–1832)
(Hans Vernaeve)
13 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Door iedere twee verschillende punten gaat een rechte.
Ieder lijnstuk kan verlengd worden tot een rechte.
Er bestaat een cirkel met een gegeven lijnstuk als straal en een van de
eindpunten als middelpunt.
Alle rechte hoeken zijn gelijk.
Klassieke vlakke meetkunde = een model voor dit axiomastelstel.
Er bestaan andere modellen!
Bijv.: hyperbolische meetkunde
(Gauss - Bolyai - Lobachevsky,
1824–1832)
p
L
(Hans Vernaeve)
13 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Niet-standaard model = een ander model van een axiomastelsel dan het
model dat men oorspronkelijk voor ogen had
(Hans Vernaeve)
14 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Niet-standaard model = een ander model van een axiomastelsel dan het
model dat men oorspronkelijk voor ogen had
Voorbeelden
• De hyperbolische meetkunde is een niet-standaard model van de
axioma’s van Euclides (zonder parallellenpostulaat)
(Hans Vernaeve)
14 / 15
Vanwaar de benaming niet-standaard analyse?
Niet-standaard model = een ander model van een axiomastelsel dan het
model dat men oorspronkelijk voor ogen had
Voorbeelden
• De hyperbolische meetkunde is een niet-standaard model van de
axioma’s van Euclides (zonder parallellenpostulaat)
• ∗R is een niet-standaard model van R
(Hans Vernaeve)
14 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0.
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot.
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot. Dan is
kx ω
ax = aεω = (aε )ω = (1 + kε)ω = 1 +
ω
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot. Dan is
kx ω
ax = aεω = (aε )ω = (1 + kε)ω = 1 +
ω kx
ω kx 2
ω kx n
+ ··· +
+ ...
=1+ω
+
ω
2
ω
n
ω
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot. Dan is
kx ω
ax = aεω = (aε )ω = (1 + kε)ω = 1 +
ω kx
ω kx 2
ω kx n
=1+ω
+
+ ··· +
+ ...
ω
2
ω
n
ω
k 2x 2
k nx n
= 1 + kx +
+ ··· +
+ ...
2!
n!
want
kx n
ω(ω − 1) . . . (ω − n + 1) kx n
ω kx n
ω!
=
=
n
ω
(ω − n)!n! ω
n!
ω
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot. Dan is
kx ω
ax = aεω = (aε )ω = (1 + kε)ω = 1 +
ω kx
ω kx 2
ω kx n
=1+ω
+
+ ··· +
+ ...
ω
2
ω
n
ω
k 2x 2
k nx n
= 1 + kx +
+ ··· +
+ ...
2!
n!
want
kx n
ω(ω − 1) . . . (ω − n + 1) kx n
ω kx n
ω!
=
=
n
ω
(ω − n)!n! ω
n!
ω
ωω−1
ω − n + 1 (kx)n
=
...
ω ω
ω
n!
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot. Dan is
kx ω
ax = aεω = (aε )ω = (1 + kε)ω = 1 +
ω kx
ω kx 2
ω kx n
=1+ω
+
+ ··· +
+ ...
ω
2
ω
n
ω
k 2x 2
k nx n
= 1 + kx +
+ ··· +
+ ...
2!
n!
want
kx n
ω(ω − 1) . . . (ω − n + 1) kx n
ω kx n
ω!
=
=
n
ω
(ω − n)!n! ω
n!
ω
ωω−1
ω − n + 1 (kx)n
(kx)n
=
...
= 1···1 ·
ω ω
ω
n!
n!
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot. Dan is
kx ω
ax = aεω = (aε )ω = (1 + kε)ω = 1 +
ω kx
ω kx 2
ω kx n
+ ··· +
+ ...
=1+ω
+
ω
2
ω
n
ω
k nx n
k 2x 2
+ ··· +
+ ...
= 1 + kx +
2!
n!
Vermits a willekeurig is, kunnen we a zo kiezen dat k = 1
(Hans Vernaeve)
15 / 15
Euler’s afleiding van e x = 1 + x +
x2
2!
+
x3
3!
+ ...
(a ∈ R, a > 1, x ∈ R)
Zij ε ≈ 0, zodat aε = 1 + δ voor een zekere δ ≈ 0. [ax cnt.⇒ aε ≈ a0 = 1]
Stel δ = kε. Dan is aε = 1 + kε.
Stel nu ω = xε . Vermits ε ≈ 0, is ω oneindig groot. Dan is
kx ω
ax = aεω = (aε )ω = (1 + kε)ω = 1 +
ω kx
ω kx 2
ω kx n
+ ··· +
+ ...
=1+ω
+
ω
2
ω
n
ω
k nx n
k 2x 2
+ ··· +
+ ...
= 1 + kx +
2!
n!
Vermits a willekeurig is, kunnen we a zo kiezen dat k = 1, d.w.z.
a = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + · · · = 2.71828182845904523536028 . . .
Voor dit getal zullen we het symbool e gebruiken.
(Hans Vernaeve)
15 / 15

Download Report