第3章 重回帰分析 ｰ 計量経済学 ｰ 第1節 3変数のケースの最小2乗法 １ ２ ３ ４ 3変数のケース 回帰線が原点を通るケース 重相関係数 自由度修正済み決定係数 第2節 t検定 １ 検定の問題 第3節 重回帰に関連する諸概念 １ 偏相関係数 第4節 4変数以上のケース １ 4変数のケース（偏微分を利用） ２ 多変数のケース（行列を利用） • 第2章で考えた、独立変数が１つの場合の単純 回帰分析では、経済モデルを分析する上で不十 分なことがある。 （例） 消費関数において、 Y＝a+bX +cW ↑ ↑ ↑ 消費 所得 資産 というように、説明変数を所得１つだけでなく、 資産などを含む複数考えることがある。 このような、説明変数が複数の回帰モデルを重 回帰モデルという。 第1節 3変数のケースの最小２乗法 １ 3変数のケース • 単回帰モデル 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 – 𝑎, 𝑏の推定 – 決定係数R2 – 個々の係数について ｔ検定 • 重回帰モデル 𝑌 = 𝑎 + 𝑏𝑋 + 𝑐𝑊 – 𝑎, 𝑏, 𝑐の推定 – 決定係数R2(ただし 問題あり) – 個々の係数について ｔ検定 ＜3変数の場合のパラメータ推定値＞ 3変数の場合には回帰直線ではなく回帰平面となる。 このとき、最小2乗法は空間上にある各点との垂直方向 の距離(これが残差となる)の2乗和が最小になるように 回帰平面 Y=a+bX+cW を描くことである。 Y W × × × × 回帰平面 Y=a+bX+cW X パラメータ推定値は次のようになる。 ただし 𝑎 = 𝑌 − 𝑏𝑋 − 𝑐 𝑊 2 −𝑆 𝑆 𝑆𝑥𝑦 𝑆𝑤 𝑥𝑤 𝑤𝑦 𝑏= 2 2 𝑆𝑥 𝑆𝑤 − 𝑆𝑥𝑤 2 𝑆𝑤𝑦 𝑆𝑥2 − 𝑆𝑥𝑤 𝑆𝑥𝑦 𝑐= 2 2 𝑆𝑥 𝑆𝑤 − 𝑆𝑥𝑤 2 𝑆𝑥2 = 𝑥12 + ⋯ + 𝑥𝑛2 𝑆𝑦2 = 𝑦12 + ⋯ + 𝑦𝑛2 𝑆𝑧2 = 𝑧12 + ⋯ + 𝑧𝑛2 𝑆𝑥𝑦 = 𝑥1 𝑦1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑆𝑥𝑤 = 𝑥1 𝑤1 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝑤𝑛 𝑆𝑤𝑦 = 𝑤1 𝑦1 + ⋯ + 𝑤𝑛 𝑦𝑛 これは残差2乗和を𝑎, 𝑏, 𝑐で偏微分し、それらを0とおい たものを整理する。（別紙参照） これから正規方程式といわれる次のような連立方程式 が得られる。 𝑌 = 𝑛𝑎 + 𝑏 𝑋𝑌 = 𝑎 𝑊𝑌 = 𝑎 𝑋+𝑐 𝑋+𝑏 𝑊+𝑏 𝑊 𝑋2 + 𝑐 𝑋𝑊 + 𝑐 𝑋𝑊 𝑊2 これを解いたものがパラメータ推定値 ２ 回帰線が原点を通るケース Y = ｂX + ｃW+u という、回帰平面が原点を通るモデルを考える。 このときの残差2乗和Gは 2 𝐺 = 𝑌1 − 𝑏𝑋1 − 𝑐𝑊1 + ⋯ + 𝑌𝑛 − 𝑏𝑋𝑛 − 𝑐𝑊𝑛 2 となるので、これを最小にするような 𝑏, 𝑐 をもとめる。（具体 的には 𝑏, 𝑐 で偏微分したものを0とおく）すると、次のような 正規方程式が得られる。 𝑋𝑌 = 𝑏 𝑋2 + 𝑐 𝑊𝑌 = 𝑏 𝑋𝑊 + 𝑐 𝑋𝑊 𝑊2 この方程式を解くと 𝑏= 𝑐= となる。 𝑊 2 𝑋𝑌 − 𝑊𝑌 𝑋𝑊 𝑋2 𝑊 2 − 𝑋𝑊 2 𝑋 2 𝑊𝑌 − 𝑋𝑌 𝑋𝑊 𝑋2 𝑊 2 − 𝑋𝑊 2 ３ 重相関係数 • 決定係数は単純回帰の場合同様、次のように定義され る。 回帰によって説明される変動 𝑌の全変動 2 𝑌𝑖 − 𝑌 = 𝑌𝑖 − 𝑌 2 𝑅2 = この式を変形すると次のように表すことができる。 （別紙参照） 𝑅2 = 𝑏𝑆𝑥𝑦 + 𝑐𝑆𝑤𝑦 𝑆𝑦2 • 重相関係数はこの平方根をとった 𝑅= 𝑏𝑆𝑥𝑦 + 𝑐𝑆𝑤𝑦 𝑆𝑦2 であり、重回帰の場合には + の値しかとらない。 • 決定係数は説明変数の数を増やせば増やすほど、（そ の説明変数が被説明変数に関係なくても）その値が1に 近づく • ex2-5に次のデータを加えて重回帰分析をやってみよう。 1983 1984 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 4 4 1 3 6 6 5 6 6 2 4 5 6 6 5 6 このデータは阪神タイガースのセリーグでの順位 6 6 6 4 ４ 自由度修正済み決定係数 • 決定係数に、説明変数の数を考慮して修正を加えたもの。 残差の分散 2 𝑅 =1− 𝑌の分散 ただし、 𝑒12 + ⋯ + 𝑒𝑛2 残差の分散 = k: 変数の数 𝑛−𝑘 2 𝑌1 − 𝑌 + ⋯ + 𝑌𝑛 − 𝑌 2 𝑌の分散 = 𝑛−1 である。 • 自由度修正済み決定係数と決定係数には、次のような関係 がある。 𝑛−1 2 𝑅 =1− 1 − 𝑅2 𝑛−𝑘 ＜自由度修正済み決定係数の性質と使い方＞ • 自由度修正済み決定係数𝑅2 は負の値をとることもある。 (例) n=4, k=3,R2=0.5 のとき 4−1 =1− 1 − 0.5 = 1 − 3 × 0.5 = −0.5 4−3 • 自由度修正済み決定係数は、説明変数の数が異なる複 数のモデルで、どちらのモデルが回帰のあてはまりが良 いかを判断するときなどに用いられる。 • たとえば消費関数において、 𝑅2 𝑌 消費 = 𝑎 + 𝑏𝑋 所得 𝑌(消費) = 𝑎 + 𝑏𝑋(所得) + 𝑐𝑊(資産) のいずれのモデルが良いかを判断するためには、決定係 数ではなく、自由度修正済み決定係数が有効である。 第2節 ｔ検定 １ 検定の問題 • 自由度修正済み決定係数は、あくまでモデル全体のあて • はまりを示す指標である。個々の変数がモデルにおいて 意味を持つかどうかは、t検定が利用される。 標準誤差はそれぞれ次のようになる。 2 + 𝑊 2 𝑆 2 − 2𝑋 𝑊𝑆 1 𝑋 2 𝑆𝑤 𝑥 𝑥𝑤 = + 2 − 𝑆 2 𝑛 𝑆𝑥2 𝑆𝑤 𝑥𝑤 2 𝑆 𝑤 2 𝑠𝑏2 = 2 2 𝑠 𝑆𝑥 𝑆𝑤 − 𝑆𝑥𝑤 2 2 𝑆 𝑥 2 𝑠𝑐2 = 2 2 𝑠 𝑆𝑥 𝑆𝑤 − 𝑆𝑥𝑤 2 𝑠𝑎2 𝑠2 ただし 2 2 𝑒 + ⋯ + 𝑒 𝑛 1 𝑠2 = 𝑛−3 たとえば「XがYに影響を及ぼしているか」を検定するため には、H0: b=0 という帰無仮説を設定し、t検定をおこな えば良い。 この場合の検定統計量は 𝑏−𝑏 𝑡𝑏 = 2 𝑠𝑏 となるが、帰無仮説が正しいと設定して𝑡𝑏 = 𝑏 𝑠𝑏2 の値を求 める。 この値と、自由度n-3のt0.95とを比較すれば良い。 第3節 重回帰に関連する諸概念 １ 偏相関係数 相関が高い X Y 強い影響 W YとXとの間の関係は「見せかけの相関」である。 YとXとの相関が本当はどの程度かを見るためには、他の 変数の影響を除いた偏相関係数で見る必要がある。 • YをWに対して回帰する。すると、 𝑌1 = 𝑎′ + 𝑐 ′ 𝑊1 + 𝑢1 ⋮ 𝑌𝑛 = 𝑎′ + 𝑐 ′ 𝑊𝑛 + 𝑢𝑛 Wの影響をとり除いた部分 Wの影響による部分 となる。同様にXをWに回帰すると、 𝑌1 = 𝑎′′ + 𝑐 ′′ 𝑊1 + 𝑢1 ⋮ 𝑌𝑛 = 𝑎′′ + 𝑐 ′′ 𝑊𝑛 + 𝑢𝑛 Wの影響による部分 となる。 Wの影響をとり除いた部分 • この2つの残差u1,･･･,unと v1,･･･,vnの相関係数が偏相 関係数である。偏相関係数は次のようになる。 𝑢1 𝑣1 + ⋯ + 𝑢𝑛 𝑣𝑛 𝑟𝑌𝑋・𝑊 = 𝑢12 + ⋯ + 𝑢𝑛2 𝑣12 + ⋯ + 𝑣𝑛2 • 偏相関係数はまた、各変数間の相関係数を用いて次の ように表せる。 𝑟𝑌𝑋・𝑊 = 𝑟𝑌𝑋 − 𝑟𝑌𝑊 𝑟𝑋𝑊 2 2 1 − 𝑟𝑌𝑊 1 − 𝑟𝑋𝑊 rYX: YとXの相関係数 rYW: YとWの相関係数 rXW: XとWの相関係数 第4節 4変数以上のケース １ 4変数のケース（偏微分を利用） 4変数の場合、Y=a+bX+cW+dZというモデルになるが、 パラメータ推定値は、残差2乗和を最小にする。 残差2乗和Gは 𝐺 = 𝑌1 − 𝑏𝑋1 − 𝑐𝑊1 − 𝑑𝑍1 2 + ⋯ + 𝑌𝑛 − 𝑏𝑋𝑛 − 𝑐𝑊𝑛 − 𝑑𝑍𝑛 2 となるので、これを 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 で偏微分したものを0とおくこ とによって、次のような正規方程式が得られる。 𝑌 = 𝑛𝑎 + 𝑏 𝑋𝑌 = 𝑎 𝑊𝑌 = 𝑎 𝑍𝑌 = 𝑎 𝑋+𝑐 𝑋+𝑏 𝑊+𝑏 𝑍+𝑏 𝑊+𝑑 𝑋2 + 𝑐 𝑋𝑊 + 𝑐 𝑋𝑍 + 𝑐 𝑍 𝑋𝑊 + 𝑑 𝑊2 + 𝑑 𝑊𝑍 + 𝑑 𝑋𝑍 𝑊𝑍 𝑍2 ２ 多変数のケース（行列を利用） 一般的なモデルとして、説明変数がm個のモデルを考える。 すなわち、 Y=a+b1X1+ ･･･ +bmXmというモデルである。 このモデルに撹乱項uを加えて、n年分を書くと次のように なる。 𝑌1 = 𝑎 + 𝑏1 𝑋11 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑋𝑚1 + 𝑢1 ⋮ 𝑌𝑛 = 𝑎 + 𝑏1 𝑋1𝑛 + ⋯ + 𝑏𝑚 𝑋𝑚𝑛 + 𝑢𝑛 ここで、次のように行列とベクトルを定義する。 𝑎 𝑢1 1 𝑋11 ⋯ 𝑋𝑚1 𝑌1 𝑏1 𝐗= ⋮ ,𝐘 = ⋮ ,𝐩 = ⋮ ,𝐮 = ⋮ ⋮ 𝑢𝑛 𝑌𝑛 1 𝑋1𝑛 ⋯ 𝑋𝑚𝑛 𝑏𝑚 よって、行列とベクトルを用いてあらわすと 𝐘 = 𝐗𝐩 + 𝐮 と表される。 パラメータ推定値、残差のベクトルを次のように表す。 𝐩= 𝑎 𝑒1 𝑏1 ,𝐞 = ⋮ ⋮ 𝑒𝑛 𝑏𝑚 すると、 𝐘 = 𝐗𝐩 + 𝐞 となる。 残差2乗和Gは となるので、 𝐆 = 𝐞′ 𝐞 𝐆 = 𝐘 − 𝐗𝐩 ′ 𝐘 − 𝐗𝐩 を最小にする 𝐩 を求める。 𝐩 で偏微分して整理すると、正 規方程式は 𝐗 ′ 𝐘 − 𝐗 ′ 𝐗𝐩 = 𝟎 これを 𝐩について解いたものがパラメータ推定値であり、 𝐩 = 𝐗 ′ 𝐗 −𝟏 𝐗 ′ 𝐘 である。
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