Exotic Hadrons in
pole-dominated QCD sum rules
based on Phys. Rev. C74, 045206 (2006)
古城 徹 (京大理)、林垣 新 (Gothe Univ.) 、慈道 大介 （基研）
2007.3.1. ストレンジネスとエキゾティックス
QCD sum rules (QSR)
今回は主に、ハドロンを解析する非摂動的手法である
QCD sum rules (QSR)
を
Exotics 一般に適用する際に注意すべき点を議論する.
QSR: 相関関数一般と局所演算子の真空期待値とを関連付ける和則.
cf) 二点相関関数 → 伝播粒子の質量等、 三点相関関数 → 相互作用定数、 form factor
クォーク凝縮値等を通じてどのような効果が本質的かを同定できるという利点がある.
,
, ..
ハドロンの中間状態の和
matching
QCD level での計算
（演算子の真空期待値の和）
真空期待値自体は直接計算しない→ この意味で半現象論的取り扱い
→ 実験、現象論、格子QCD による計算と相補的
相関関数の解析で用いる近似
even
odd
hadron (現象論) side
QCD side
（スペクトル関数の積分）
Operator Product Expansion
（OPE）
q
soft
q
？
hard
sum of local operators
,…
information of QCD vacuum
simple parametrization
知りたい低エネルギーの情報
M に対する制限
Borel trans.
OPE good
OPE bad
Borel window
small
large
Borel window の範囲で, 物理量 mass & residue を
unphysical な展開パラメータ M ( と物理的な Sth ) の関数として表現.
,
physical parameter
M に依るべきではない！
物理量を計算する際に必要な手続き
?
M2
small
1, 各 Sth 毎に Borel window を設定する: (最も重要な手続き）
OPE の収束性に関する制限
continuum suppression に対する制限
Mmin < M < Mmax
この制限を守る M2 の範囲でのみ, Sth 以下の低エネルギー
の情報を議論することができる.
2, 物理量
を M2 の関数としてプロットし、安定性を見る.
もし Sth 以下の低エネルギーの寄与が十分であるにも関わらず、つまり
Borel window が十分に設定できるにも関わらず,
物理量が M2 に大きく依ってしまうならば、 Sth 以下で何が
起こっているか詳細に検討する必要がある.
3, 物理量の M2 依存性が最も小さくなるような Sth を選択する.
QSR の成功例:
-meson case ( up to dim. 6 )
1.2
3
1.0
750~790
770
2.3~2.5
2.36
0.8
Borel window
0.6
1
2
0.4
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
OPE の higher dim. terms の重要性:
OPE の dim.6 の項（低エネルギーの相関） まで入れてはじめて
Borel window の範囲で 安定性が生じる.
Dim.6 terms を入れないと ρ－A1 mass splitting を説明できない.
(dim.6 terms がないと ρ、A1 に対するOPEは同じ結果を与える.)
Exotics に適用する場合の困難
カレント演算子に含まれるクォークの数が多くなるほど
Borel window を見つけるのが難しくなる.
特に高エネルギーからの寄与が大きく見えてしまい、
低エネルギーが相対的に見にくくなってしまうというのが問題.
?
M2 small
このようなケースでは, M2 の変化に対し、
物理量が artificial な安定性 を示すことが知られている.
( メソン、バリオンのケースでさえ )
artificial な安定性を避けるためには,
Borel window の範囲内で物理量を評価しなければならない.
Borel window を見つけるために
高エネルギー ( > Sth ) からの寄与が大きすぎる.
→ 低エネルギー ( < Sth ) 領域を議論できない.
この問題に対処するために:
1, OPE の higher dim. terms を計算する :
（ 但し, 高次の演算子の真空期待値は ambiguity を含む ）
a) 低エネルギー領域との相関 を増やすことができる.
b) もし OPE の収束性が良いことを確かめられたら,
小さい M を取る ことにより 高エネルギーからの寄与を減らすことができる.
2, 何らかの工夫をすることで高エネルギーからの寄与を減らす:
a) 使うカレント演算子として良いものを選ぶ.
( cf; baryon sum rule ではカレント演算子の選択が極めて重要）
b) 高エネルギーで実現される対称性 （カイラル、フレーバー対称性）
に注目し、高エネルギー領域だけうまく相殺するような相関関数の組を選ぶ.
( cf: ρ、A1に対する Weinberg sum rule )
c) 異なるカレント間の相関関数を計算する
（cf: axial-current – pseudo scalar current → pion pole だけを通じて correlate する)
OPE はどこまで計算する必要があるか?
大まかに言って、全ての quark line が切れる dimension まで
理由：quark line が切れたダイアグラムには大きな factor がかかる.
cf) e~1/3 なのにQED の摂動論が機能するのはループで生じる 小さな factor のおかげ
higher dim.
lower dim.
soft
hard
soft
hard
hard
hard
soft
運動量保存のため、これ以上切れる loop がない
→ これより高次の項は大きな影響を及ぼさない
目安
meson (2 quark)
baryon (3 quark)
tetra (4 quark)
penta (5 quark)
2×2×3/2 = dim 6
2×3×3/2 = dim 9
2×4×3/2 = dim 12
2×5×3/2 = dim 15
Exotics の計算例:
Θ+（1540)
T.K., master thesis
T.K., Hayashigaki, Jido, PRC74, 045206 (2006)
三種類のカレントについて OPE の計算を dim.15 まで:
(但し、高次の真空期待値については factorization hypothesis を使って計算）
低エネルギーの相関を多く取り入れることで Θ+ の質量が出るか？
→ Borel window がそもそも設定できなかった.
一方で、もともと低エネルギーの相関が弱すぎるのか、高エネルギーの
相関が大きすぎて低エネルギーが見えないのかがはっきりしなかった.
そこで高エネルギー領域との相関を減らすことが至上命題となる.
一部だけカイラリティーの異なるカレントを二種類用意し、
相関関数の線形結合をうまく取る
高エネルギーではカイラル対称性が良い → 高エネルギーにおける相殺
Mass ( Bad cases: t = －1.0, 0.0, 10,0 )
even
独立な Sum rule
_
SS
_
_
PP + SS
_
_
PP + SS
_
SS
odd
_
PP
= 2.2 GeV
= 2.2 GeV
_
PP
t ~ 1.0 以外では Borel window を見つけられなかった.
しかし PP の方が SS の場合より低エネルギー相関が強いらしい.
→ PP － SS でうまく低エネルギーの相関だけ取り出せるかもしれない.
Mass ( even & odd part )
We take t = 0.9, 1.1 for even & odd part, respectively
to get the widest Borel window.
even
(t=0.9)
odd
(t=1.1)
t = 0.9
mass
1.63~1.64 GeV
2.1~2.3 GeV
t = 1.1
mass
1.71~1.73 GeV
2.0~2.2 GeV
Residue ( even & odd part )
even
(t=0.9)
similar value with close t
relative sign
odd
(t=1.1)
probably same state
Positive parity
まとめと課題
Exotics を QSR で議論するときの注意： Borel window の設定！
OPE の higher dim. の計算は避けられない.
Θ+（1540) に関して言えば、低エネルギー相関を見るには
higher dim. を計算するだけでは不十分だった.
対称性に注目して高エネルギー部分を相殺する等、付加的な工夫が必要.
高次の真空期待値の評価に関して:
結局のところ地道に、系統的に既知のメソン・バリオンの実験結果と QSR の計算を
比較することで決める、あるいは lattice で測って決めていくことになると予想される.
比較的 ambiguity の少ない meson の場合で、elemag. charge radius 等を計算し、
実験との比較から真空期待値に拘束をかけていく.
Exotics のバックグラウンドにある多体の散乱状態に関して:
→ 確立した評価方法はまだない.
condensate の値を人為的に振るなどしてその応答を見る.
large Nc の観点から ダイアグラムを分別してみる.
About KN scattering states
KN
?
OPE
lattice: volume dep. (ex. Takahashi et al., PRD71, 114509 (2005) )
QSR: soft kaon theorem. (ex. S.H.Lee et al., PLB609, 252 (2005) )
Speculations:
The response of the mass against variation of
provides the some information of KN contaminations.
K: Not strongly depend on
N:
The variation of
.
Ioffe’s formula
from – 0.21GeV to －0.25GeV shows:
KN threshold
MK + MN → ~0.18 GeV
enhance
Our observed state
even: 0.1 GeV reduce
odd : 0.05 GeV enhance
Optimistically speaking, our observed state seems to
be not the mimic of the KN scattering states.
E
Our criterion for the Borel window
Lower bound for M: ( OPE convergence )
The highest dim. terms share less than 10% of whole OPE.
Upper bound for M: ( Continuum suppression & Pole dominance )
Pole contribution exceeds the continuum ones :
usually used constraint
A
B
OPE
Sth
S
Linear combination of the correlators (not operators)
Set up: We prepare similar 5 quark operators
mixing parameter
Only difference is the chirality
of the diquark operator
When t ~ ±1.0, we can employ the concepts of Weinberg Sum Rule.
similar high energy behavior
(chiral sym. is good sym. in high energy)
OPE
?
E
Cancellation of lower dimension terms
OPE
?
Eth
Phys.Rev.Lett.18, 507(1967)
Eth
E
And high energy contaminations
is expected to be canceled.
If the low energy contributions remain enough,
we can extract the information of low energy.
About mixing t
OPE side
phen. side
(odd WSR)
dim 1, 3, 5 terms cancel
(even WSR)
dim 0, 4 terms cancel
Chiral even part:
constructed from the chirality conserving terms
Chiral odd part:
constructed from the chirality violating terms
sign for parity
spectrum approximated by OPE
Our choice for t
qualitative behavior of spectrum:
even
_
_
PP + SS
_
PP
2 GeV
good cont.
suppression !
_
_
PP －SS
_
－SS
_odd_
－ SS
contaminated
2 GeVPP still
t ~ 1.0
from 2.5~ 4.0
_ GeV
_
PP
_ + SS
PP
_
_ ~0
stillPPlarge
－SS !!
dim 15, 17, … dominant_terms
－SS
good OPE convergence !
We can take small M2
The choice t ~ 1.0 provides the widest Borel window.
(when we take reasonable value for Sth = 1.9 ~ 2.5 GeV)
OPE dependence of the mass
even ( t = 0.9 )
odd ( t = 1.1 )
After dim.12, the OPE dependence of the mass becomes small.
For other t, the OPE dep. is quite large.
For further development
It is important to clarify the meaning of factorization
hypothesis more accurately to judge which physics
are taken into account and are neglected in when we
use the vacuum saturation.
The meaning of the inclusion of complete set between
the normal product of the operators is not so clear.
Appendix.
Our criterions on diagram selection for OPE
OPE results
Qualitative behavior of the spectral function
( approximated by OPE )
Our parameter set
Our previous study for another interpolating field
QSR for Exotics
Exotics を解析する際の困難
1. Good OPE convergence
2. Good continuum suppression
3. small M2-dependence
クォーク演算子を多く含むカレントに対して,
Borel window を見つけるのは極めて難しい.
実際に Exotics に QSR を適用した計算のほとんどが
Borel window を設定しないまま解析を行なっていた. 典型的には、
低エネルギー相関の占める割合が
スペクトル関数の積分全体の 20% 以下になってしまっていた！
?
R.D.Matheus and S.Narison, hep-ph/0412063
M2
small
このようなケースでは,
物理量が artificial な安定性 を示すことが知られている.
( メソン、バリオンのケースでさえ )
artificial な安定性を避けるためには,
Borel window の範囲内で物理量を評価しなければならない.
How large dim. terms should be calculated ?
soft
hard
dim 3
dim 5
+
+ ….
Cutting loops generates the large factor．
leads to the extremely slow OPE convergence．
dim 12
After dim.12, no additional
large factor emerges．
hard
( due to momentum conservation )
Asymptotic expansion becomes stable.
Our criterions on diagram selection for OPE
1, Loop corrections are neglected.
2, Strange quark mass is evaluated to O(ms).
3, The higher dimensional gluon condensates such as
triple gluon condensates are neglected.
Since they are expected to be smaller than the quark
condensates entering the tree diagrams.
( This statement is usually used in the baryon sum rules. )
All other diagrams are calculated
(within factorization hypothesis) .
OPE Results ( up to dim.15 )
Qualitative behavior of spectral function
even part:
_
_
PP
SS
+ dim. 8
dim. 0 + 4
dim. 0 + 4
+ dim. 8
+ dim. 10
+ dim. 6
+ dim. 6
+ dim. 10
After the subtraction (even part)
_
PP
_
― SS
+ dim. 8
dim. 0 + 4
+ dim. 10
+ dim. 6
Qualitative behavior of spectral function
odd part: _
PP
_
SS
dim. 3
dim. 9
dim. 7
dim. 7
dim. 9
dim. 5
dim. 1
dim. 1
dim. 11
dim. 5
dim. 3
dim. 11
After the subtraction (odd part)
_
PP
―
_
SS
+ dim. 9
+ dim. 7
+ dim. 1
+ dim. 11
+ dim. 5
+ dim. 3
Our parameter set
gives the error of the mass ~ 0.08 – 0.12 GeV
gives the error of the mass ~ 0.03 – 0.05 GeV
gives the error of the mass ~ 0.01 – 0.02 GeV
Our previous study using the SDO operator
(T.K, master thesis. 2004)
,
, ….
( Sugiyama, Doi, Oka, Phys.Lett.B581(2004)167 )
should be suppressed.
?
OPE
E
KN
[diquark]2 - antiquark type: well-physically motivated operator
_
s
ud
spin
ud
attractive
color
spin, color, flavour anti-symmetric
composite boson
This op. does’nt have the nonrelativistic limit.
Small coupling with KN ？
Pole ratio
for SDO op. ( at
higher dimension effect
even
= 2.0 GeV )
M2
small
odd
too small !
too small !
Too small pole ratio to contaminations
( In experience, ratio is hoped to exceed 50 % )
We failed to find the Borel window despite of inclusion of
higher dim. terms of OPE (low energy correlations) .
Too small pole contribution? or too large high energy contaminations?
To clarify this point, we need the additional treatments
to suppress the high energy contaminations.
even
odd
40 %
sum rule’s artifact !
mass
No stability
mass
2.3~2.4 GeV
2.6~2.8 GeV
The idea of Weinberg sum rule
S.Weinberg, Phys.Rev.Lett.18, 507(1967)
chiral partner
continuum side
cancellation in high energy region
( Chiral symmetry is good symmetry in high energy )
pQCD
pQCD
ρ(~780 MeV)
OPE side
E
ρ(~1400 MeV)
E
a1 (~1200 MeV) a1 (~1600 MeV)
cancellation of leading OPE term
Application；
ρ(~780 MeV)
pQCD
pQCD
E
E
ρ(~1400 MeV)
a1 (~1200 MeV) a1 (~1600 MeV)
simple parametrization
λ
λ’
m’
m
cancellation in high energy region
We can get the equations relating the physical parameters for ρ& A1.
solutions
λ2 = λ’ 2
m’ = 1.6 ×m ~ 1.3 GeV
The role of each dimension terms
OPE side
Phen. side
理由：quark line が切れたダイアグラムには大きな factor がかかる.
cf) e~1/3 なのにQED の摂動論が機能するのはループで生じる 小さな factor のおかげ
higher dim.
lower dim.
soft
hard
soft
hard
hard
hard
soft
運動量保存のため、これ以上切れる loop がない
→ これより高次の項は大きな影響を及ぼさない

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