相対論的変動エディントン因子 Relativistic Variable Eddington Factor Plane-Parallel Case 福江 純＠大阪教育大学 Plan of my talk ０ 現象：宇宙ジェット現象 １ 準備：輻射流体力学の定式化 1. 2. 3. 輻射流体力学のモーメント定式化 エディントン近似と拡散近似 変動エディントン因子とFLD ２ 動機：相対論的輻射流体力学におけるエディントン近似の妥当性 1. 2. 3. 相対論的輻射流体力学のモーメント定式化 共動系でのエディントン近似と拡散近似：問題点 相対論的エディントン因子：手で与える、数値シミュレーション、解析的な解を求める ３ 解析的手法：光玉（one-tau photo oval）の形状 1. 2. 3. 4. 共動系における光学的厚み＝１の範囲 極線形近似 線形近似 準線形近似 ４ 結果：共動系での輻射場とエディントン因子 1. 2. 3. 極線形近似 線形近似 準線形近似 ５ 議論 ６ まとめと今後の課題 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 2 ０ 現象 宇宙ジェット現象 Astrophysical Jets 相対論的ジェット 中心の天体から双方 向に吹き出す細く絞ら れたプラズマの流れ ｢宇宙ジェット｣ (YSO) (CVs, SSXSs) Crab pulsar SS 433 microquasar AGN quasar gamma-ray burst 2015/10/1 GRS1915 SS433 3C273 M87 GRB Tuesday Seminar in Kyoto 4 系内ジェット＆系外ジェット 系内ジェット（microquasar） SS433 ＞LE ep cont/blob 0.26c 1E1740.7－2942 ee? 0.26c GRS1915+105 ～LE ee? bloby 0.92c GROJ1655－40 ee? bloby 0.92c 系外ジェット 3C 273 ＞LE ？ ？ 0.99c？ M87 ＜＜LE ？ ？ ？ ガンマ線バースト GRB030329/SN2003dh ee? 0.9999c 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 5 放射圧加速ジェット 光度 L＞LE 成分 ep通常プラズマ ｖｓ ee対プラズマ 形態 continuous / periodic / intermittent 速度 mildly relativistic β=0.26、γ=1.04 highly relativistic β=0.92、γ=2.55 ultra relativistic β=0.99、γ=10 extremely relativistic β＝0.9999、γ=100 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 6 宇宙ジェットの加速機構 エネルギー源 輻射力加速にせ – 重力エネルギー – 自転エネルギー （エルゴ圏） 加速・駆動方法 – 高温ガスの圧力 – 輻射（光）の圧力 – 磁場の力 2015/10/1 よ磁気力加速に せよ、光速の9割 ぐらまでなら可能 だが、γが10とか 100の超相対論的 ジェットはまだ実 現できていない。 Tuesday Seminar in Kyoto 7 １ 準備 輻射流体力学の定式化 1 Preparation Moment Fomalism of Radiation Hydrodynamics １． RHD Radiation Hydrodynamics Radiative Transfer for radiation Hydrodynamics for matter couple Radiation Hydrodynamics for matter+radiation 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 9 １． RHD Fundamental Equation Boltzman equation for matter f f f f v a t r v t Transfer equation for radiation 1 I 1 (l) I j I c t 4 I d I d f (r, v, t ) : distribution function I (r, l, t , ) : radiationintensity r : posit ion r : posit ion v : velocit y t : time 2015/10/1 l : directioncosine t : time : frequency Tuesday Seminar in Kyoto 10 １． RHD Moment Formalism Moment equations for matter Moment equations for radiation fre qu e n cy- in te grate d con tin u itye qu ation k ( vk ) 0 t x 0th m om e n t E F k k ( j c E E ) t x 1st m om e n t m om e n tu me qu ation v i 1 p F i v k k vi i F i t x x x c 1 F i P ik 1 i F F c 2 t x k c e n e rgye qu ation cE IdΩ : radiat ionenergy p v 1 k e q j c E E v k k t x x k 2015/10/1 F i Il i dΩ : radiat iveflux cPik Il i l k dΩ : radiat ionst ress tensor Tuesday Seminar in Kyoto 11 １． RHD Closure Relation 1 Closure relation for radiation Closure relation for matter Fl u i d approxi m at i on mean free pat h systemscale random velocity isot ropic pressure isot ropic EoS: p p ( , T ) p ( 1) e 2015/10/1 Eddin gton approxim at ion radiationfields isotropic P ik ik E 3 Diffu sionapproxim at ion radiationfields isotropic opticallythick c P ik c E F R x k 3 R x i i Tuesday Seminar in Kyoto 12 １． RHD Eddington Factor Eddington factor in an optically thin regime plane-parallel pl an e- paral l e l cE 2 I F I 2 cP I 3 spherical sph e ri cal cE 2 I (1 cos 0 ) F r I sin 2 0 2015/10/1 2 cP rr I (1 cos3 0 ) 3 13 Tuesday Seminar in Kyoto １． RHD Eddington Factor Eddington factor in an optically thin regime plane-parallel plan e- paralle l f P 1 E 3 spherical sph e rical P rr 1 f (1 cos 0 cos2 0 ) E 3 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 14 １． RHD Closure Relation 2 Closure relation in optically thick to thin regimes Variable Eddin gton factor Tamazawa et al. 1975 ik ik P f E; OK: Physically correct in the limited cases 1 1 1 1tau=0 and infinity. f ik f ( ), f ( ), of f ( ) 2 2 2NG: 2 Quantitatively incorrect in the region 1 around tau=1. f ( ) 1 3 Flu x lim ite ddiffu sion F i c E ; i R x Levermore and Pomraning OK: Vector form 1981 convenient for numerical simulations NG: E Diffusion type 2 R ; R cannot apply to an optically thin regime 6 3R R 2 R E causality problem 2 2 f R 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 15 １． RHD Closure Relation 2 Ohsuga+ 2005 特殊相対論：(v/c)1 非定常 多次元 Flux-Limited Diffusion 近似←あまりよくない 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 16 ２ 動機 相対論的輻射流体力学の定式化 エディントン近似の妥当性 2 Motivation Validity of Eddington Approximation in Moment Fomalism of Relativistic Radiation Hydrodynamics ２． RRHD Moment Formalism Moment equations for matter continuity momentum energy In th ecom ovin gfram e cE0 I 0 d 0 , F0i I 0l0i dΩ0 , cP0ik I 0l0i l0k d In th e in e rtialfram e cE Id, F i Il i dΩ, cPik Il i l k d 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 18 ２． RRHD Moment Moment equations for radiation 0th moment 1st moment 2015/10/1 Formalism In th ecom ovin gfram e cE0 I 0 d 0 , F0i I 0l0i dΩ0 , cP0ik I 0l0i l0k d In th e in e rti alfram e cE Id, F i Il i dΩ, cPik Il i l k d Tuesday Seminar in Kyoto 19 ２． RRHD Closure Relation 1 Usual closure relation for radiation エディントン因子 Fukue 2005 拡散近似 Castor 1972 Isotropic assumption may break down Ruggles, Bath 1979 in the relativistic regime Flammang 1982 even inTullola+ the comoving frame. 1986 Paczynski 1990 Nobili+ 1993, 1994 シミュレーション Eggum+ 1985, 1988 Eco Kley 1989 i Okuda+ 1997 xDiffusion assumption may break down Kley, Lin 1999 in the optically thin and/or relativistic regimes Okuda 2002 even in Okuda+ the comoving frame. 2005 Ohsuga+ 2005 Ohsuga 2006 In the comoving frame Eddi n gton approxi m at i on P ik co ik Eco 3 Di ffu si onapproxi m at i on ik P c c co Fcoi R x k 3 R Fl u x - l im i te ddi ffu si on c Eco Fcoi R x i 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 20 ２．RRHD Pathological Behavior Violation of Eddington Approximation in the Relativistic Moment Formalism Turolla and Nobili 1988 Turolla et al. 1995 Dullemond 1999 Fukue 2005 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 21 ２．RRHD v＝c/√3で特異性が出現 u2=1/2 or β2=1/3 で分母=0！ 平行平板（１次元定常輻射流）で、τは表面からの光学 的厚み u=γβ=γv/c： 流れの4元速度、β=v/c F：輻射流束、P：輻射ストレス、J：質量流束 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 22 ２． Motivation 従来の定式化の下では 特異性を通過する遷音 速解はあるが、輻射抵 抗で減速する解で境界 条件も満たさず、不適 2015/10/1 加速する解で、かつ表 面境界条件を満たすの は、特異性を通過しな い亜音速解だけだった 光速まで加速できない！ Tuesday Seminar in Kyoto 23 ２．RRHD 問題はclosure relationの妥当性 特異性の原因を辿ると エディントン近似に行き着く。 従来の定式化では、 P0：流体共動系での輻射ストレス（テンソル） E0：流体共動系での輻射エネルギー密度 P0= f E0： f =1/3 と置くが、これは v～c （β～1）で成り立つのか？ 大きな速度勾配によって等方性近似が悪くなる 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 24 ２． RRHD Eddington Factor Eddington factor in an optically thin regime plane-parallel Moving pl an e- paral l e l Inertial frame cE 2 I E, F, P F I 2 cP I 3 spherical sph e ri cal => Comoving frame E0, F0, P0 cE 2 I (1 cos 0 ) F r I sin 2 0 2015/10/1 2 cP rr I (1 cos3 0 ) 3 25 Tuesday Seminar in Kyoto ２． RRHD Eddington Factor Eddington factor in an optically thin regime plane-parallel plan e- paral le l P0 1 3 3 2 f E0 3 3 2 Moving spherical sph e ri cal P0rr 1 cos 0 cos2 0 3(1 cos 0 ) 3 2 f E0 3 3(1 cos 0 ) (1 cos 0 cos2 0 ) 2 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 26 ２． RRHD Closure Relation 2 What is a closure relation in subrelativistic to relativistic regimes Ve locity- de pe n de n t variableEddin gtonfactor Pco f ( ) Eco plan e- paralle l 1 2 v ; 3 c sph e rical f ( ) Fukue 2006; Fukue, Akizuki 2006, 2007 Akizuki, Fukue 2007; 1 /[ (1 )] Abramowicz+ f ( , ) 1 3 /[ (1 )] 1991 Nu m e ricalsim u lation f ( , ) Koizumi, Umemura 2007 Ve locity- gradie n t- de pe n de n t variableEddin gtonfactor Fukue 2007; this study f , , d / d 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 27 ２． RRHD Closure Relation 2 What is a closure relation in subrelativistic to relativistic regimes Ve locity- de pe n de n t variableEddin gtonfactor Pco f ( ) Eco plan e- paralle l 1 2 v ; 3 c sph e rical f ( ) Fukue 2006; Fukue, Akizuki 2006, 2007 Akizuki, Fukue 2007; 1 /[ (1 )] Abramowicz+ f ( , ) 1 3 /[ (1 )] 1991 Nu m e ricalsim u lation f ( , ) Ve locity- gradie n t- de pe n de n t variableEddin gtonfactor f , , d / d 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 28 ２． RRHD Closure Relation 2 What is a closure relation in subrelativistic to relativistic regimes Ve locity- de pe n de n t variableEddin gtonfactor Pco f ( ) Eco plan e- paralle l 1 2 v ; 3 c sph e rical f ( ) mean free path l= 1 /[ (1 )] 1 3 /[ (1 )] Nu m e ricalsim u lation Koizumi, f ( , ) Umemura 2007 Ve locity- gradie n t- de pe n de n t f ( , ) variableEddin gtonfactor f , , d / d 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 29 ２． RRHD Closure Relation 2 What is a closure relation in subrelativistic to relativistic regimes Ve locity- de pe n de n t dβ/dτ variableEddin gtonfactor Pco f ( ) Eco plan e- paralle l 1 2 v ; 3 c sph e rical f ( ) β 1 /[ (1 )] 1 3 /[ (1 )] Nu m e ricalsim u lation f ( , ) f ( , ) Ve locity- gradie n t- de pe n de n t variableEddin gtonfactor Fukue 2007; this study f , , d / d 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 30 ３ 解析的手法 光玉の形状 3 Analytical Approach One-Tau Photo-Oval 鉛直方向への加速流 鉛直（z）方向へ 速度大 速度（v）増加 密度小 密度（ρ）減少 表面 Photo-vessel 光玉 共動観測者から 観た光学的厚み τ＝１の領域の 形状 速度小 密度大 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 光壺 Photo-oval 底 32 ３．Photo Oval 線形領域 共動観測者z=z0，β＝β0 z z0 s cos c J d dz d 0 |0 ( z z0 ) dz 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 33 ３．Photo Oval 密度勾配も線形を仮定 One-tau range length 2015/10/1 線形近似 s方向への光学的厚み Tuesday Seminar in Kyoto 34 ３．Photo Oval 線形近似 光玉の形状（線形） 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 35 ３．Photo Oval 線形近似 Breakup condition 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 36 ３．Photo Oval 準線形近似 s方向への光学的厚み 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 37 ３．Photo Oval 準線形近似 光玉の形状（線形） 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 38 ３．Photo Oval 準線形近似 Breakup condition 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 39 ４ 結果 共動系における輻射場と 速度勾配依存エディントン因子 4 Results Comoving Radiation Fields and Variable Eddington Factor ４．Radiation Fields 共動観測者の 放射強度の非一様性 観測者への赤方偏移 I I ( , ) I ( ) ( ) 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 41 ４．Radiation Fields 輻射強度の非一様性 観測者への赤方偏移 2015/10/1 線形近似 Tuesday Seminar in Kyoto 42 ４．Radiation Fields 共動観測者の 共動系での輻射強度Ico 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 43 ４．VEF 2015/10/1 極線形近似 Tuesday Seminar in Kyoto 44 ４．VEF 線形近似 3 × f (β, dβ/dτ) dβ/dτ β 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 45 ４．VEF 準線形近似 3 × f (β, dβ/dτ) dβ/dτ β 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 46 ５ 議論 5 Discussion ５．Discussion 2015/10/1 他の成分 Tuesday Seminar in Kyoto 48 ６ まとめと今後の課題 6 Concluding Remarks Concluding Remarks したこと★平行平板近似のもとで光学的 に厚い相対論的加速流における共動系 でのエディントン因子を（準）線形近似＆ 亜光速域の範囲で半解析的に求めた； わかったこと★亜光速の範囲内では速度 勾配に比例して減少する これから★光速に近い場合、光学的に薄 い場合、球対称の場合などなど 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 50 +．Next βではなく u=γβで考える Preliminary Results 共動観測者z=z0，u＝u0 z z0 s cos cu J d dz du u u0 |0 ( z z 0 ) dz 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 51 +．Next Preliminary Results 3 × f (u, du/dτ) du/dτ u 2015/10/1 Tuesday Seminar in Kyoto 52
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