Web3Dを用いた数学教材の作成

The Shape of Math
暗号を作ろう
Masashi
SANAE
指で数える2進法
13
28
?
2
指で数える2進法
3
指で数える2進法
小
指
薬
指
中
指
人
指
親
指
(16)
(8)
(4)
(2)
(1)
×
×
×
×
×
0
1
1
0
1
||
||
||
||
||
0
8
4
0
1
=
13
4
記数法で暗号を作る
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
n
o
p
q
r
s
t
u
v
w
x
l
m
y
z
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
5
記数法で暗号を作る
c a p ≣ 2 0 15
2×262+0×26+15
=2×676+0×26+15
=1367
6
記数法で暗号を作る
26
1367
26
52
・・・15
2
・・・ 0
7
記数法で暗号を作る
8
問題1
① “ box” を数字に直してみよう。
② “13223” は何という文字を表しているか。
9
暗号の重要性
インターネットや電子メールなどの普及による危険性
情報がネットワーク上に流出
コンピュータ間のデータを見ることが可能
様々な手口
電子メールを知らない人に読まれてしまう(盗聴)
情報の内容を勝手に書き換えてしまう(改ざん)
正当なユーザーになりすまして悪用(なりすまし)
それらの脅威を防ぐための解決法⇒暗号化
データを第三者に解読できないようにする方法
10
シーザー暗号
文字をアルファベット順に特定の文字数だけずらす
=換字式(かえじしき)暗号
平文
暗号文
「暗号方式(アルゴリズム) 」
「鍵」
11
多文字置換暗号
平文
I
a m
a
b
o
y
鍵
7
3
2
4
7
3
2
暗号文
p
d
o
e
i
r
a
•キーワードが繰り返し使用される
•使用頻度の高い文字を元に
キーワードが簡単に推測
12
いろいろな暗号
★転置式暗号
① 行→列
② 1列→3列→2列→4列
★円盤式暗号
① 内側の小さい円盤位置決め
② 外側の大きい円盤の文字
③ 短い方の矢印が指している
小さい円盤の文字が暗号
13
問題2
① Math を鍵“3631”で暗号化してみよう。
② HGWWを鍵“1234”で複合化してみよう。
14
父へのメール
父さんへ
キャッシュカードのパスワードを忘れたので教
えてほしい。
他人に知られると困るので次の計算で出た数
字をメールで教えてくれ。
『まずパスワードの数字を37乗する。次に出た
数値を2491で割る。そのときの余りの数字。』
15
いくつかの疑問
① 4桁のパスワードの数字を37乗して2491で
割るなんて計算,どうやってやるのだろう。
② 送られてきた数字から本当にパスワードが
わかるのだろうか。
③ このメールを誰かに盗聴されたら,その人
にもパスワードを知られてしまわないか。
16
4桁の数を37乗して2491で割る計算
疑問①
はどうするのか
繰り返し2乗法
12342
12344
12348
123416
123432
=1522756
=7552
=20772
=20082
=16262
≡755
=570025
=4313929
=4032064
=2643876
≡2077
≡2008
≡1626
≡925
123437 =123432×12344×12341
≡925×2077×1234
=1921225×1234 ≡664×1234
≡2328
=819376
17
送られてきた数字をどのように復
疑問②
元するのか
例:21を余りとする世界では
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
2
4
8
16 11
1
2
4
8
16 11
1
2
4
8
16 11
1
2
3
9
6
18 12 15
3
9
6
18 12 15
3
9
6
18 12 15
3
4
16
1
4
16
1
4
16
1
4
16
1
4
16
1
4
16
1
4
5
4
20 16 17
1
5
4
20 16 17
1
5
4
20 16 17
1
5
6
15
6
15
6
15
6
15
6
15
6
15
6
15
6
15
6
15
6
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
1
8
9
18 15
9
18 15
9
18 15
9
18 15
9
18 15
9
18 15
9
10 16 13
4
19
10 16 13
4
19
10 16 13
4
19
10
1
1
7乗,13乗,19乗,…すると元に戻る
1
18
37乗したあと97乗すると元に戻る
2
3
4
5
6
7
8
9
10
…
36
37
…
1197
…
2393
…
3589
2
4
8
16
32
64
128
256
512
1024
…
672
1344
…
2
…
2
…
2
3
9
27
81
243
729
2187 1579 2246 1756
…
788
2364
…
3
…
3
…
3
4
16
64
256
1024 1605 1438
770
589
2356
…
713
361
…
4
…
4
…
4
5
25
125
625
634
679
904
2029
181
905
…
897
1994
…
5
…
5
…
5
6
36
216
1296
303
1818
944
682
1601 2133
…
1444 1191
…
6
…
6
…
6
7
49
343
2401 1861
572
1513
627
1898
831
…
354
2478
…
7
…
7
…
7
8
64
512
1605
385
589
2221
331
157
1256
…
864
1930
…
8
…
8
…
8
9
81
729
1579 1756
858
249
2241
241
2169
…
685
1183
…
9
…
9
…
9
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
…
1234
755
36
…
664
2328
…
1234
…
1234
…
1234
…
…
2077 2270 1296
42
37乗
2008 1818 1512
97乗
19
A君だけが知っている
37乗したあと97乗すると元に戻る
23282
23284
23288
232816
232832
232864
=5419584
=16592
=22172
=3462
=1482
=19762
≡1659
=2752281
=4915089
=119716
=21904
=3904576
≡2217
≡346
≡148
≡1976
≡1179
232897 =232864×232832×23281
≡1179×1976×2328
=2329704×2328 ≡619×2328
≡1234
=1441032
20
共通鍵暗号方式・公開鍵暗号方式
共通鍵暗号方式 共通鍵=3 知られると困る
平文
"apple"
暗号化
→
共通鍵
暗号文
"dssoh"
複合化
→
共通鍵
平文
"apple"
公開鍵暗号方式
公開鍵=37(乗),2491(で割る) 知られてもOK
秘密鍵=97
平文
“1234"
自分しか知らない
暗号化
→
公開鍵
暗号文
“2328"
複合化
→
秘密鍵
平文
“1234"
21
RSA暗号
e 乗して
平文
nで割る
→
暗号文
d乗
平文
→
公開鍵
秘密鍵
n=2491
d=97
e=37
22
A君はどうやって鍵を作ったか
①2つの 素数 P=47,Q=53を選択
②N=PQ=2491を余りとする世界を作る(公開鍵N)
③P-1=46とQ-1=52の最小公倍数L=1196を計算
④1196で割った余りの世界で
□×○≡1となる2つの素数○=97,□=37を選ぶ
⑤2つの数字の一つ□=37を父さんに送る(公開鍵E)
⑥もう一つの数字○=97で復元する
まず2つの素数を選ぶことから始まった
23
37乗して2491が得られたことを知
疑問③
られてもパスワードは大丈夫か
2つの素数の積は簡単に計算できます
38903 × 60293 = 2345578579
しかしある数を2つの素数の積に分解する
のは大変
2250021941 = 40253 × 55897
暗号の秘密は「素因数分解の困難性」に起因
24
問題3
①
②
③
④
⑤
2つの素数を選ぶ
P=3,Q=5
素数の積 これが余りの世界
N=15
p-1とq-1の最小公倍数Lを計算
L=2
Lと素な数を選択
E=7
7×□=1となる数を計算
D=13
平文
7乗して
15で割る 暗号文
→
13 乗
平文
→
25
問題3
(1) M=3 を暗号化してみよう
① 3の累乗を計算
32=9
34≡92=81≡6
② 37を計算
37=34×32×3≡6×9×3=162≡12
③ C=12
26
問題3
(2) D=13 で複合化してみよう
① 12の累乗を計算
122=144≡8
124≡82= 64≡4
128≡42=16≡1
② 1212を計算
1212=128×124×12
≡1×4×12=48≡3
③ M=3
27