非対称三角尺度法 荘島宏二郎 大学入試センター研究開発部 [email protected] ATRISCAL • Asymmetric Triangulation Scaling – 非対称三角尺度法 – 多次元尺度法(MDS)の1手法 • 目的 – テストデータにおけるグローバルな項目間従属関 係の可視化 • 分析対象 – 2値のテストデータから得られる項目間の条件付 き正答率行列 • Shojima (2011) Behaviormetrika, 修正採択 同時正答率行列 Item 1 Item 2 Item 1 P(1,1) P(1,2) Item 2 P(2,1) P(2,2) ⋯ ⋯ ⋯ Item n P(1,n) P(2,n) ⋮ ⋮ ⋮ Item n P(n,1) P(n,2) ⋱ ⋯ ⋮ P(n,n) • n×n 対称行列 • 第j対角要素 P(j,j)=P(j) – 項目jの正答率 • 第ij非対角要素 P(i,j) – 項目iとjの同時正答率 – 対称 P(i,j)=P(j,i) 条件付き正答率行列 Item 1 Item 2 ⋯ Item n Item 1 Item 2 P(1,1)/P(1) P(1,1) 1 P(2,1)/P(2) P(1|2) P(2,1) P(1,2)/P(1) P(2|1) P(1,2) P(2,2)/P(2) P(2,2) 1 P(1,n)/P(1) P(n|1) P(1,n) P(2,n)/P(2) P(n|2) P(2,n) ⋮ Item n ⋮ P(n,1)/P(n) P(1|n) P(n,1) ⋮ P(n,2)/P(n) P(2|n) P(n,2) ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ • n×n 非対称行列 • 第j対角要素 P(j|j)=P(j)/P(j)=1.0 • 第ij非対角要素 P(j|i)=P(i,j)/P(i) – 項目iに正答した時の項目jの正答率 – P(i|j)≠P(j|i): 通常は非対称 ⋮ P(n,n)/P(n) P(n,n) 1 多次元尺度法(MDS) QM Q2 X15 X11 X7 非対称条件付き正答率行列 X12 Item Item 2 ⋯ X5 1 X13 1 P(2|1) ⋯ X X12 P(1|2)1 ⋯ X3 X9 ⋮ ⋮ ⋱ P(1|n) P(2|n)X ⋯ Item 1 Item 2 ⋮ Item n X6 O 14 X4 X10 Item n P(n|1) P(n|2) ⋮ 1 X8 Q1 項目iとjの関係 Item i Item j Item i 1 P(i|j) |𝑂𝑋𝑖𝑗 | = 𝑃(𝑖, 𝑗) Xij Xｊ Xi |𝑂𝑋𝑖 | = 𝑃(𝑖) |𝑂𝑋𝑗 | = 𝑃(𝑗) O 𝑂𝑋𝑖𝑗 = 𝑘𝑂𝑋 𝑋𝑖 𝑋𝑗𝑖 ∙+𝑂𝑋1𝑖 − 𝑘 𝑂𝑋𝑗 (0 ≤ 𝑘 ≤ 1) 𝑂𝑋𝑖𝑗 = − 𝑋𝑖 𝑋𝑗 + 𝑂𝑋𝑖 |𝑋𝑖 𝑋𝑗 | Item j P(j|i) 1 項目iとjの関係 Item i Item j Item i 1 P(i|j) Item j P(j|i) 1 |𝑂𝑋𝑖𝑗 | = 𝑃(𝑖, 𝑗) Xij Xｊ Xi |𝑂𝑋𝑖 | = 𝑃(𝑖) |𝑂𝑋𝑗 | = 𝑃(𝑗) O 𝑃(𝑖,𝑖𝑗 |𝑗) |𝑂𝑋 𝑃 𝑗 𝑖 =𝑐𝑜𝑠∠𝑋𝑖 𝑂𝑋𝑖𝑗 |𝑂𝑋 𝑃(𝑖) 𝑖| 𝑃(𝑖,𝑖𝑗𝑗) |𝑂𝑋 | 𝑃 𝑖 𝑗 = 𝑐𝑜𝑠∠𝑋𝑗 𝑂𝑋𝑖𝑗 𝑃(𝑗) |𝑂𝑋 𝑗| 拡大 非対称条件付き正答率行列 Item 1 Item 2 Item 1 1 P(2|1) Item 2 P(1|2) 1 ⋮ ⋮ ⋮ Item n P(1|n) P(2|n) Item n+1 P(1|n+1) P(1) P(2) P(2|n+1) ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯ ⋯ Item n P(n|1) P(n|2) ⋮ 1 P(n) P(n|n+1) Item n+1 1 P(n+1|1) 1 P(n+1|2) ⋮ 1 P(n+1|n) 1 • 非対称条件付き正答率行列は、各項目の正答率に 関する情報が欠如している。 • そこで正答率が1.0という仮想的な項目n+1を考える – P(j|n+1)=P(j,n+1)/P(n+1)=P(j) – P(n+1|j)=P(j,n+1)/P(j)=1.0 ストレス関数 S(X ) F(X ) U (X ) T(X ) S ( X ) i , j (i j ) λij p(i | j ) (i | j ) n 1 2 T ( X ) i , j (i j ) δij λij (i | j ) p n 1 2 U ( X ) i , j (i j ) 1 p(i | j )1 p( j | i)exp arccos n 1 (i | j ) | OX ij | | OX j | p n 1 i , j (i j ) p(i | j ) n(n 1) 2 ij δ (delta) 正しい三角形 • 原点Oからの垂線の足が 線分XiXjに落ちる 正しくない三角形 • 原点Oからの垂線の足が 線分XiXjに落ちない Xi Xi Xij Xｊ Xｊ Xij δij=δji=1 O O δij=δji=0 λ（lambda） 1 if c, r n c|r n 1 otherwise Item 1 Item 2 Item 1 Item 2 1 P(1|2) P(2|1) 1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋮ Item n ⋮ P(1|n) ⋮ P(2|n) ⋱ ⋯ ⋮ 1 Item n+1 P(1) P(2) ⋯ P(n) 0.5 1 Item n Item n+1 P(n|1) P(n|2) 1 1 0.5 1⋮ 1 1 次元数と 空間の不定性回避のための固定座標 • 次元数=3 • 項目n+1の座標 – (xn+1=0, yn+1=0, zn+1=1) • 最も正答率が低い項目kの座標 – (xk=0, yk>0, zk) • P(・|k)が中程度の項目lの座標 – (xl>0, yl, zl) ストレス関数の最適化 • ATRISCAL（MDS全般に）の最適化は難しい – ストレス関数が単調でないため • 2段階の最適化を行う – 第1段階：単純遺伝的アルゴリズム（SGA） – 第2段階：最急降下法 岡太先生（多摩大学）に有益な アイデアをいただきました。どうも ありがとうございました。 @行動計量春のセミナー2010 Exametrikaデモ 14 分析結果：放射図(Radial Map) • 赤い点 – 推定された座標 • オレンジの点 – 原点から赤い点を越 えて半球ドームとの 交点 項目jと仮想項目n+1 の関係 • P(j)→1.0 • P(k)→0.0 Item j Item n+1 Xn+1 Xj P(j) 1 Xk O P(k) Item j 1 Item n+1 1 P(j) 1 項目iとjの関係 • P(i)<P(j) • P(i|j)→1.0 • P(i|j)→0.0 Item i Item j Item i 1 P(i|j) Xn+1 Xj Xi O Item j P(j|i) 1 地勢図(Topographic Map) • オレンジ点をXY平面に 射影 • ボロノイ分割 • ボロノイ領域をオレンジ の線分長だけリフト – 高さによって色分け 習得図(Mastery Maps) • 各受検者ごとに
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