2 連立方程式 1章 連立方程式 §2 連立方程式の解き方 (5時間) §2 連立方程式の解き方 《ケーキとアイスを買う ①》 10人の子どもたちに、1個 250円のケーキと、 1 個 100円のアイスをあわせて 10個買っていきたい。 1600円で、できるだけ値段の高いケーキをたくさん 買いたいとき、それぞれ何個ずつ買えばよいか。 ケーキの個数を x 個、アイスの個数を y 個とする と、金額と個数から連立方程式は、 250x+100y=1600 x+y=10 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 《つるかめ算で解く》 10個とも値段の安いアイスを買うと 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 合計 1000 《つるかめ算で解く》 10個ケーキに替えると 個とも値段の安いアイスを買うと 1 2 3 4 100 (円) 250 100 (円) 250 100 (円) 250 100 (円) 250 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 100 (円) 1000 1150 1300 1450 合計 1600 《ケーキとアイスを買う ②》 1600円で、ケーキとアイスを適当に見つくろって もらったところ、ケーキ 6個と、アイス 1個を 持ってきてくれた。しかし、それでは子どもの人数 に足りないので、もう一度見つくろってもらうと、 ケーキ 4個と、アイス 6個を持ってきてくれた。 このときのケーキとアイスの値段はいくらだった のでしょう。 ケーキの値段を x 円、アイスの値段を y 円とする と、金額と個数の関係から連立方程式は、 6x+y=1600 4x+6y=1600 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 《わからない物を1種類にする》 1600 (円) =1600-6 1600-6 1600-6 1600-6 1600-6 1600-6 1600-6 9600-32 = -32 8000 1600 (円) =- = 250 《文字が1つの方程式を導く》 ・・・・・・・・① 6x+y=1600 ・・・・・・・・② 4x+6y=1600 ①を変形して ・・・・・・・・③ y=1600-6x ②のyと③のyは同じものだから、②のyを、 ③の1600-6x でおきかえる。(代入する) 4x+6(1600-6x)=1600 ・・・・・・・・④ 4x+9600-36x=1600 -32x=-8000 x=250 この値を③のxに代入すると、 y=100 よって、この連立方程式の解は、(250 , 100)であ る。 (x , y)=(250 , 100) と書く。 《練習》 250x+100y=1600 x+y=10 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② ②を変形して ・・・・・・・・③ y=10-x ①のyと③のyは同じものだから、①のyを、 ③の10-x でおきかえる。 ・・・・・・・・④ 250x+100(10-x)=1600 250x+1000-100x=1600 150x=600 x=4 この値を③のxに代入すると、 y=6 よって、この連立方程式の解は、(4 , 6)である。 (x , y)=(4 , 6) と書く。 《代入法》 連立方程式から、ある文字をふくまない方程式を 導くことを、その文字を消去するという。 代入によって文字を消去する方法を代入法という。 《例題1》 5x-2y=6 y=2x+1 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② ②を①に代入すると、 5x-2(2x+1)=6 5x-4x-2=6 x=8 x=8 を②に代入して、 y=17 (x , y)=(8 , 《P33 解答 ①》 9x-2y=12 ・・・・① (1 (2 ・・・・② y=3x ) ) x=-3y+2 ・・・・① 2x+y=-1 ・・・・② 《ケーキとアイスを買う ③》 1600円で、ケーキとアイスを適当に見つくろって もらったところ、ケーキ 2個と、アイス 11個を 持ってきてくれた。しかし、それでは子どもの人数 より多すぎるので、もう一度見つくろってもらうと、 ケーキ 4個と、アイス 6個を持ってきてくれた。 このときのケーキとアイスの値段はいくらだった のでしょう。 ケーキの値段を x 円、アイスの値段を y 円とする と、金額と個数の関係から連立方程式は、 2x+11y=1600 4x+6y=1600 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 《代入法でケーキを消去する》 800-5.5 800-5.5 800-5.5 800-5.5 3200-16 = -16 1600 1600 2(円) =1600-11 100 =800-11/2 =800-5.5 1600 (円) =- = 《代入法でアイスを消去する》 (1600- (1600- 2 )/11 (1600- 2 )/11 (1600- 2 )/11 (1600- 2 )/11 (1600- 2 )/11 )/11 1600 4 +(9600- 2 (円) 12 44 )/11= +9600-12 = 1600 17600 32 = 11(円) =1600-2 8000 =250 =(1600- 《数をそろえて消去する》 - = 1600 1600 3200 (円) (円) (円) 16 1600 =1600 (円) = 《ミカンとリンゴを買う》 ミカンとリンゴを買ったところ、ミカン4個と リンゴ1個で 340円、ミカン2個とリンゴ1個で 220円でした。 このときのミカンとリンゴの値段はいくらだった のでしょう。 ミカンの値段を x 円、リンゴの値段を y 円とする と、金額と個数の関係から連立方程式は、 4x+y=340 2x+y=220 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 《加法・減法で消去する》 - = 2 220 (円) 2×60 + 340 120 (円) =120 =060 =220 (円) =100 《加法・減法で、1つの文字を消去する》 ・・・・・・・・① 4x+y=340 ・・・・・・・・② 2x+y=220 ①の左辺から②の左辺をひくと、 4x+y=340 - 2x+y=220 (4x+y)-(2x+ =2x ①の右辺から②の右辺をひくと、 ) 2x =120 y) 340-220 =120 等しいものから等しいものをひいた残りは等しいから、 2x=120 x=60 x=60 を②に代入して、 2×60+y=220 y=220-120 y=100 (x , y)=(60 , 《加法・減法で、1つの文字を消去する》 ・・・・・・・・① 4x+y=340 ・・・・・・・・② 2x+y=220 ①から②をひくと、 4x+y=340 - 2x+y=220 ) 2x =120 x=60 x=60 を②に代入して、 2×60+y=220 y=220-120 y=100 (x , y)=(60 , 100) 《P34 解答 ③》 ・・・・① x+y=5 (1 (2 ・・・・② x-3y=-3 ) ) 2x-y=-1 ・・・・① 4x-y=3 ・・・・② 《P35 解答 ④》 《加減法》 2x+y=7 ・・・・① 連立方程式を解くのに、 5x-y=14 ・・・・② 左辺どうし、右辺どうし を、それぞれ、たすかひ くかして、1つの文字を 消去してもよい。このよ うな方法を加減法という。 《数をそろえるため、式を変形する1》 2x+11y=1600 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 4x+6y=1600 ①の両辺を2倍すると、 4x+22y=3200 ①’から②をひくと、 ・・・・・・・・ ①’ 4x+22y=3200 - 4x+06y=1600 16y =1600 ) y=100 y=100 を②に代入して、 4x+6×100=1600 4x=1000 x=250 (x , y)=(250 , 《例 ①》 2x+y=8 7x-2y=17 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② ①の両辺を2倍すると、 4x+2y=16 ・・・・・・・・ ①’と②をたすと、 ①’ 4x+2y=16 + 7x-2y=17 =33 ) 11x x=3 x=3 を①に代入して、 2×3+y=8 y=8-6 y=2 (x , y)=(3 , 《P35 解答 ⑥》 ・・・① 2x-y=4 (1 (2 5x+3y=-1 ・・・② ) ) 2x+3y=5 ・・・① x+2y=4 ・・・② 《ケーキとアイスを買う ④》 10人の子どもたちに、ケーキとアイスを買ってい くことにした。ケーキ 2個と アイス 8個では 1300円、ケーキ 3個と アイス 7個では1450円で した。 このときのケーキとアイスの値段はいくらだった のでしょう。 ケーキの値段を x 円、アイスの値段を y 円とする と、金額と個数の関係から連立方程式は、 2x+8y=1300 3x+7y=1450 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 《数をそろえて消去する》 - 13003900 (円)(円) = 1450 2900 (円) (円)10 1000 (円) =1000 = 《数をそろえるため、式を変形する2》 ・・・・・・・・① 2x+8y=1300 ・・・・・・・・② 3x+7y=1450 ①の両辺を3倍すると、 ・・・・・・・・ ②の両辺を2倍すると、 ①’ ・・・・・・・・ 6x+14y=2900 ①’から②’をひくと、 ②’ 6x+24y=3900 6x+24y=3900 - 6x+14y=2900 10y =1000 ) y=100 y=100 を①に代入して、 2x+800=1300 2x=500 (x , y)=(250 , ケーキ250円、アイス100円 x=250 《数をそろえて消去する》 1300 9100 1450 11600 (円) (円) (円) (円) 《例題2》 ・・・・・・・・① 6x-5y=28 4x+7y=-2 ・・・・・・・・② ①×2 ・・・・・・・・ 12x-10y=56 ②×3 ①’ 12x+21y=-6 ・・・・・・・・ ②’- 12x+21y=-6 ②’ ①’ - 12x-10y=56 31y =-62 ) y=-2 y=-2 を①に代入して、 6x-5×(-2)=28 6x=28-10 6x=18 x=3 (x , y)=(3 , 《P36 解答 ⑦》 ・・・・・・・・① 3x+2y=8 (1 ・・・・・・・・② 5x-3y=7 ) 《P36 解答 ⑦》 6x+5y=4 (2 9x-2y=-13 ) ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 《係数に分数があったり、かっこがある方程式》 4x-2y=3x+5 ・・・・・・・・① x y ―-―=2 ・・・・・・・・② 3 2 ①から ・・・・・・・・ 1x-2y=5 ②×6 ①’ ・・・・・・・・ 2x-3y=12 ①’×2 ②’ ・・・・・・・・ 2x-4y=10 ①” ②’- 2x-3y=12 ①” - 2x-4y=10 y=2 ) y=2 を①’に代入して、 x-2×2=5 x=5+4 x=9 (x , y)=(9 , 《P37 解答 ⑧》 x y (1 ―-―=1 4 5 ) 3x+4y=-52 ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② 《P37 解答 ⑧》 4x+7y=39 (2 2(x-y)=3x+3y ) ・・・・・・・・① ・・・・・・・・② END
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