学部3年実習

Ａ：赤色巨星構造の解明をめぐって
２００８年１０月０６日
単位名
大学院：恒星物理学特論IＩ
教官名
中田好一
授業の内容は下のHPに掲載される。
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/intro-j.html
成績は出席とレポートの双方により決めます。
授業タイトル
A：赤色巨星をめぐって
Ｂ：赤色巨星構造の追究
２００８年１０月６日
２００８年１０月２０日
Ｃ：ハヤシライン
２００８年１０月２７日
Ｄ：スペクトル
２００８年１１月１０日
Ｅ：等級
２００８年１１月１７日
Ｆ：ダスト
２００８年１２月１日
Ｇ：ダストシェル
２００８年１２月１５日
Ｈ：変光
２００８年１２月２２日
Ｉ：銀河系の赤色巨星
２００８年１月１９日
Ｊ：系外銀河のの赤色巨星
２００８年１月２６日
Ａ．1．HR図上の赤色巨星
中小質量星（Ｍ＜8Mo)の進化経路
4
PN
Post-AGB
AGB
(Ｈ，Ｈｅ二重殻燃焼)
Log L/Lo
ＲＣ
Ｈｅ核燃焼
2
Ｈｅフラッシュ
RGB
(Ｈ殻燃焼)
ＳＧ
Ｈｅ核重力収縮
MS
0
Ｈ核燃焼
４
log T
3.5
進化経路と等時線は元来異なる意味を有する。
0年
6Mo
与えられた質量の
星の進化経路
log (L/Lo)
3
１００Ｒｏ
4Mo
2
1
共通年齢の星集団の
ＨＲ図。
= Isochron (等時線)
赤色巨星（ＲｅｄＧｉａｎｔ）
＝ＲＧＢ + ＡＧＢ
赤
色
巨
星
108年
2Mo
109年
１０Ｒｏ
1Mo
1010年
0
-1
4.5
１Ｒｏ
4.0
3.5
log T
赤色巨星の等時線を進化経路で代用してよいわけ
しかし実際には進化が速いので
赤色巨星の進化が遅かったら
１．６
１．４
１．２
１．０６Ｍｏ
１．０３Ｍｏ
１．０Ｍｏ
Ｌ
Ｌ
７Ｇｙｒ
Ｔｅ
５
６
等時線と進化経路は全く異なる
Ｔｅ
１０Ｇｙｒ
等時線と進化経路はよく重なる。
両者は線として重なるだけでなく、線上の分布密度も互いに代用できる。
つまり、等時線上の恒星密度から対応する質量の星の進化速度を導くこ
とができる。またその逆も可能である。その理由については各自考えて
みよ。
では実際はどうかというと、主系列を離れてから赤色巨星を終えるまで案
外長いことがわかる。ＲＧＢ期とＡＧＢ期の長さの比が１．６Ｍｏ付近で逆転
するのも面白い。
赤色巨星各ステージへの到達時間と恒星質量の関係（Ｚ＝０．０１９）
3
(5)
2.5
(2)
M/Mo
2
(1) ターンオフ
(2) RGB Base
(3) ＲＧＢ先端
(4) AGB Base
(5) ＡＧＢ先端
(1)
1.5
1
0.5
8.7
9
9.3
log t(yr)
9.6
9.9
参考のため、時間をリニアスケールにした絵をつける。
Ｍ＝２－１．２Ｍｏでは主系列を離れてから、赤色巨星に入るまでの期間
が長い。また、Ｍ＝１．６－３（？）、ｔ＝１－２Ｇｙｒではレッドクランプの時代
が長いことがわかる。
赤色巨星の各ステージ
3
(5)
2.5
(1)
M/Mo
2
(1) ターンオフ
(2) RGB Base
(3) ＲＧＢ先端
(4) AGB Base
(5) ＡＧＢ先端
(2)
1.5
(1)
1
0.5
0
2
4
6
t(Ｇyr)
8
10
Ａ．２．赤色巨星の出現をめぐって：
（１）Ｓｃｈｏｎｂｅｒｇ・ＣｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒＬｉｍｉｔ
背景
１９３８Ｗｅｉｚｓｃｋｅｒ，１９３９ＢｅｔｈｅＨＨｅ核反応が星のエネルギー源
１９３９Ｇａｍｏｗ
一様な組成でＨが燃え尽きるまで星が進化する。
M.Schonberg, S.Chandrasekhar 1942, Astrophysical Journal 96, 161-172
“ On the evolution of the main-sequence stars”
(1) 核反応が中心部で起こると対流核＋外層 (Henrich/Chandrasekhar 1941)
(2) Ｈｅ中心核が形成され、水素殻燃焼開始。
(3) Ｈｅ等温核＋Ｈ外層の２重組成の構造は？
4 r 3  d ln M r
GM r 
d ln P
U

, V

,
Mr
d ln r
rP
d ln r
d ln P
1
 1
d ln 
N
境界条件は、中心で　(U ,V )  (3,0)
(U ,V )  (0, )
表面で　等温核の解と外層の解とは、境界で次
の条件で結ばれなければならない。
Ui
i

Ue
e
,
Vi
i

外層
Ｖ
境界
等温核
Ve
e
ここで、μ＝電子も含めた平均分子量
０
Ｕ
３
主系列終了後の等温核（ｉ)＋外層（ｅ）の構造を計算した。μi/μe=2
Ａ
状態方程式は
kT
P
H
その結果、
Ａ点で等温核に外層をフィットするこ
とができなくなる。
M core
M
等温核の大きさがＡ点に達すると
等温核の存在が不可能となり、核
の収縮による重力エネルギー解放
が始まる。
Rcore
R
境界の温度が上がり水素殻燃焼が
始まると、再び等温核が出現するは
ずだが、既にＡ点を超えているので
平衡な解は存在しない。
この論文では、速度分布がマクスウェル型の理想気体の場合に等温核の大きさに上
限（Ｓｃｈｏｎｂｅｒｇ－ＣｈａｎｄｒａｓｅｋａｒＬｉｍｉｔ）があることが、等温核と輻射外層との間
でフィットができなくなることから発見された。
（２）等温自己重力系のエントロピーの極大問題
ＳｈｏｎｂｅｒｇとＣｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒは、星の等温核の質量には上限があることを、外層
と核とのフィッティングが不可能になることから発見した。
２０年後の１９６２年にＶ．Ａ.．Ａｎｔｏｎｏｖは、質量ｍの質点の集団、総質量Ｍ、が
半径Ｒの球壁内に閉じ込められている状況を考察した。
彼が提出した問題：「系の総エネルギーＥ，総質量Ｍ、半径Ｒを与えたとき、
系はエントロピー極大の状態にたどりつけるか？」
Ｖ．Ａ.．Ａｎｔｏｎｏｖ（ＶｅｓｔｎｉｋＬｅｎｉｎｇｒａｄｓｋｏｇｏＵｎｉｖｅｒｓｉｔｅｔａ，７，１３５）
“ＳｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｐｒｏｂｌｅｍｏｆｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｔｅｌｌａｒｓｙｓｔｅｍＥｍｄｅｎ‘ｓ
ｌａｗａｎｄｔｈｅｓｐｈｅｒｉｃａｌｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ of velocities“
質点の位置速度分布関数をｆ（ｒ、ｖ）とし、系のエントロピーＳを
Ｓ＝－∬ｆ（r,v)・ｌｎｆ（r,v) ｄｒｄｖ
で定義する。
（１）密度ν（ｒ）＝∫ｆ（r,v) dv と運動エネルギーＫ＝ｍ∬ ｆ（r,v)（ｖ２/２）ｄｒdv
が一定な系の中でエントロピーＳが停留値になる最大にするｆ（r,v) は、
ラグランジュの未定係数、 λ（ｒ）とμを使い、
δ（Ｓ＋∫λ（ｒ）ν（ｒ）ｄｒ＋μＫ）＝0
から求められる。
∬[-ｌｎｆ（r,v) －１＋λ （ｒ）＋μ（ｍｖ２/２）] δｆ（r,v) ｄｒｄｖ＝０
-ｌｎｆ（r,v) －１＋λ （ｒ）＋μ（ｍｖ２/２）＝０
f (r , v)  e
mv 2
 ( r ) 1

2

 r 
2 D  2
3
e
v 2
2D
μまたはＤが位置ｒに依らな
いことに注意
（２）このときの系の物理諸量は以下のようである。
3
3

S   r  ln 2D   ln r  dr　エントロピー
2
2

3D
K  m
 r dr　運
動エネルギー
2
 r 
U  m
 r dr　位置エネルギー
2
E  K  U　全エネルギー
M  m  r dr　（３）
全質量
上の系が力学平衡にある条件はボルツマン方程式で与えられる。
f  f
v 

0
r r v
ここに（１）の
f (r , v) 
 r 
2 D  2
3
e
v 2
2D
を代入すると、
 r 
r  v
 r   r  r 
v
 r 
  0　
0
r
r D
r
D r
 r   ce

 r 
D
なので、結局
f (r , v) 
c
2 D 2
3
e

  r  v 2
2D
より、
となる。
しかし、自己重力系では、Φ と ν はポアッソン方程式で結ばれている：
1 d  2 dr  
r
  4 G m r 
2
r dr 
dr 
1 d  2 d ln r  
r
  4 G m r  / D
2
r dr 
dr 
こうして求めた解ν（ｒ）を使うと、球壁に囲まれた球対称な等温自
己重力系は、（１）ν（ｒ＝０）≡νｏ、（２）Ｄ、（３）Ｒ（球壁半径）の３つ
のパラメターでを指定されることが分かる。
（４）
無次元化
ところで、上で求めた球対称な等温自己重力系のポアソン方程式は次のような
変換で無次元化されることが知られている。
 2

D

r   r0
   0
 r0  4 G m  0  中心数密度
0




1 d  2 d ln 
d








BC
:


0
,

0
at


0
2



 d 
d 
d


半径Ｒ＝ξｅ・ｒ０とおくと、系のエネルギーＥ、質量Ｍなどは


3

    e 
3
3 e
M  4 m 0 r0   2  d , E  MD e e
 
0
   2  d 2 
 0

したがって、系を指定する新しいパラメターの組として、
（１）ｒ０、（２）ν０、（３）ξｅ
または
（１）Ｍ、（２）Ｅ、（３） ξｅ
が可能であることが判る。
（５）等温平衡球のまわりのエントロピーＳの変化
 2

f r , v   2D   r e
32
 v

 2D 
3
3

S   f ln fdrdv  r  ln 2D   ln r  dr　を用いてＳの変分は
2
2

 S   S1   S 2
  3  D    3
3
 
    ln 2D   ln r  dr
2
 
 2 D   2
 S1    
3 
1
3
 
  
 D   ln 2D   ln r  dr
2
2
 
2 D
3
1
 3 
2
2




 S 2   

D




D



dr
2
2D
D

（１次の変分）
（２次の変分）
ここで、系にＭ＝一定、Ｅ＝一定、Ｒ＝一定という拘束条件をかけると、
ν、Ｄは自由に変わることができなくなる。この場合、ラグランジュの未定係数
α、β を用いると、Ｓが上の拘束条件の下で停留値になるのは
（δＳ＋ α δＭ＋ β Ｅ）１＝０とあらわされる。
 S     M     E 1
 3  3
 
  
   m  r  D dr
 
 2 D 2
 3
1
3
 
   ln 2D   ln r     m    m  D    m   r  dr
2
2
 
 2
0
であるから、
3
r 
ln 2D  1  ln r     m 
0
2
D
1
D
 m
 m 1
 r   2D  2 e
3
 r 
D
 Ce

 r 
D
であればよい。つまり等温平衡解ν（ｒ）に対し、Ｓは停留値をとる。
Ｓが極大かどうかは、δＳ２＜０かどうかで決まる。
全質量Ｍ＝一定、全エネルギーＥ＝一定という条件下で２次変分 δＳ2 はどうなる
だろう？
δＳ１で見たように、δＤ、δν、 δΦは互いに独立でなく、 δＤ、δν、はポテンシャルΦの変
分δΦで表現される。そこで、
r 2 d 
T
という関数Ｔ（ｒ）を考える。 δνに対するポアソン方程式
4 mG d r
1 dT
1 d  2 d  から、



である。
 r

4 mG  2
2
r dr
r dr 
dr 
δν（ｒ＝０）が有限であるため、Ｔ（ｒ0)∝ｒ３なので、
Ｔ（０）＝０
R
R dT
2
dr  T ( R)  T (0)  0
Ｍ＝一定の条件から、 M   r  dr  
0
0 dr
従ってＴ（Ｒ）＝０
つまり、Ｔ（ｒ）は、境界条件Ｔ（０)=T(R)=0 を有する。、
一方、δＥ＝０から、
3
r 
 r 
3

 E  m   D   r   D   r  
 r  
 r dr
2
2
2
2

3

 m   D   r    r  r dr  0
2

2m   r  r dr
したがって、  D  
3
M
  dr  0,  dr    dr  0
結局、δＳ２はＴを用いて下のように表わされる。
2
 R d 
4   T
dr 
2
0
R
1  dT  4 mG T 2 
dr 

S 2  2   2

dr




R
0
2
D r 2 
 r  r   dr 
3D  r 2 r dr
0
δＳを無次元量ξ, ｒ＝ξ・ｒ０、 ν（ｒ）＝η（ξ）・ν０で表わすと分りやすい。すると、
  e d 
4   T
d 
2
2

0

d
1  dT  T
e
2


  2 d    e
r0  0S 2  2   2
0
      d   
3  2  d
2
0
  e d 
4   T
d 
0

e  d 

d

1 dT
T

  2 d   
 2  T   2
e
0
3  2  d
 d      d   
2
0
数値計算を行うと、ξｅが３４以下では常にδＳ２＜０となり系はエントロピー極大
であるが、 ξｅ＞３４、つまりη（ξｅ）＜１/７０９、の時にはδＳ２＞０となり得ること
が分かった。
結論：与えられた総質量Ｍ，総エネルギーＥの下では、無次元半径ξ＜３４の時
には等温球のエントロピーＳが極大で系は安定である。が、 ξ＞３４になると、
等温状態のエントロピーは極大でなくなり、系は不安定になる。
Ａｎｔｏｎｏｖの得た「壁に囲まれた自己重力系は半径が大きいと等温状態がエ
ントロピー極大に対応しない」という結果は１９６８年にＬｙｎｄｅｎ－Ｂｅｌｌにより
熱重力カタストロフィーというセンセーショナルな題名で紹介された。
D. Lynden-Bell, R.Wood 1968, Mon.Not.R.astr.Soc.138.495-525
“ The Gravo-Thermal Catastrophe in Isothermal Spheres and the Onset of
Red-Giant Structure for Stellar Systems “
Ａｎｔｏｎｏｖがエントロピーの変分δＳを直接扱ったのに対して、リンデンベルは
「静的平衡状態の線形系列」という概念で壁に囲まれた等温自己重力系の
平衡系列を調べた。
（１）一般に静的平衡状態は系の状態を表す一般化座標ｑ１、ｑ２、．．．と
系を規定する外部パラメター μ とのセットで表現される。
安定な平衡状態は与えられた外部パラメターμ＝一定の条件下で
ポテンシャルＵ＝Ｕ（μ ；ｑ１、ｑ２、．．）が局所的に極小となることに等しい。
（２）（μ、ｑ１、ｑ２、．．）空間に等ポテンシャル面Ｕ（μ ；ｑ１、ｑ２、．．）＝Ｕｏ
を考える。
等ポテンシャル面Ｕ＝Ｕo が平面μ＝ μ０と触れる（交差でなく）所が
ポテンシャルが停留値を取る点（μ０、ｑ１０、ｑ２０、．．）である。
図による説明
μ＝ μo 面でＵの等高線
＋はＵが極値Ｕｏをとる平衡点
ｑ2
μ＝ μo 面とＵ＝Ｕｏ面の接点＋は左図
でＵの極値＋と一致する。
μ
Ｕ大
＋
＋
μ＝ μo
ｑ2
ｑ１
ｑ１
Ｕ＝Ｕo
上の図から分かるように、Ｕが増加する方向に対してＵ＝一定曲面が出っぱる時
に、μ＝一定平面上でＵが極小値をとり安定な平衡点となる。
さらに、この接点でＵ＝一定面が出っ張るという性質が変わらない間、パラメター
μが変化していくと、安定な平衡状態の系列が続く。
平衡系列のこのような性質、つまりμ＝一定平面とＵ＝一定曲面との接点でのＵ
面の窪み方、が終了するのは、この系列が他の平衡系列と出会うときか、又はこ
の系列の進む方向が逆向きになるときである。
（３）
ここでは、Ｕ＝ーＳ、 μ＝Ｍ，Ｅ，Ｒ、ｑ＝ｆ（ｒ、ｖ）と考える。
簡単のため、パラメターμとしてー（Ｅ・Ｒ/ＧＭ２）、一般化座標ｆ（ｒ、ｖ）
の代表として中心と壁際の密度比ｖ１＝ｌｏｇ（ρＥ./ρＣ）を取って
図示すると、
点線はエントロピー
Ｓ＝一定の線を表す。
下ほど高エントロピー
で、
簡単に言うと高温で重
力が無視できる状態。
点線の向きが水平になり
μ＝－（Ｅ・Ｒ/ＧＭ２）一定
の線に接する点が平衡点
である。
実線は平衡点を結んだ平
衡系列を表す。左下から
Ａ点までは安定な平衡系
列である。
（４）
Ａ点で平衡系列の向きが反転する。（３）で述べたように、安定な平衡系列
はＡ点で終了する。
アントノフの議論と対応させると、Ａ点まではδＳ１＝0, δＳ2＜0 であり、その先
では平衡点の周りにδＳ2＞0 となる点が存在するということである。
（５）ここまでは壁の性質を断熱壁としていた。しかし、壁が等温壁の場合はエント
ロピーＳではなく、ヘルムホルツ自由エネルギーＦ＝Ｅ－ＴＳが極小という条
件が安定平衡解を与える。対応するグラフでは、
パラメターとして
μ＝ＧＭβ/Ｒが取られ
ている。前のアントノフ
の表記ではβ＝１/Ｄ
実線が最初のピークに
達するのはｖ１＝－３．５
である。この点で系の比
熱は正から負に転じる。
なぜなら、


dE
 dE 

Cv  

k

 1
 dT  R
d 

 dE 




  k 2  dE   k 2  dv1  R
 d 

 d 

R



R
 dv1  R
前ページのピークでＣｖは無限大、その先ではＣｖは負の無限大となる。
Ｃｖが負の系が等温壁に接していた場合には、熱的な揺らぎが増幅されて不安
定になるのは当然である。この状況は水素燃焼殻（温度がほぼ一定）に囲まれ
たヘリウム核の不安定性を示していて、Ｓｈｏｎｂｅｒｇ－ＣｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒＬｉｍｉｔ
を表していると考えられる。
このように、恒星の中心核と外層とのフィッティングがうまくいかないことから等
温核の大きさに上限が設定された（Ｓｈｏｎｂｅｒｇ－ＣｈａｎｄｒａｓｅｋｈａｒＬｉｍｉｔ）の
であるが、実は背後に自己重力系のエントロピー極大という問題が潜んでいた
のである。

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