Thermodynamics in lattice QCD simulations

Thermodynamics
in Lattice QCD
Simulations
前沢祐 (東京大学)
第２回 Heavy Ion Cafe
－重イオン衝突の物理を語る集い－
2006年12月9日
2007年1月13日
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
1
Contents
Introduction & Formalism of Lattice QCD
QCDの相構造と相転移温度(Tc)
状態方程式と有限密度(m >~0)への発展
まとめ
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
2
Introduction
重イオン衝突実験における物理の理解
有限温度・密度下におけるQCD熱力学の性質
Lattice QCDによる第一原理計算
Lattice QCDで出来ること
• ハドロンスペクトル, 構造関数 etc
• 散乱問題(phase shift, potential etc)
• 高温物質
• ゲージ不変な理論
• 非摂動な理論
出来ないこと(困難なこと)
• 低温・高密度物質
• 非平衡物質
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
3
QCD相図
T
QGP
  0
Asakawa & Yazaki,
Nuc. Phys A504 (‘89) 668
Hadron
  0
CSC
  0
Yamamoto, Tachibana, Baym & Hatsuda,
第2回Rev.
Heavy
Ion
07/1/13
Phys.
Lett.
97Cafe
(2006)122001
mB
4
Formalism of lattice QCD
分配関数

Z  T r e ( H  mN ) / T

a

 S (U )




dU
det
D
(
U
)
e
V
1
g
T
U m (n)
ゲージ場
U m (n)  exp[iga Am (n)]
U m (n)  SU (3)
L
 (n)
格子サイズ N s3  N t
T 1
フェルミオン場
Nta
, L  N sa
• Staggered fermion action
• Wilson fermion action
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
5
Formalism of lattice QCD
超大次元での積分
• モンテカルロ積分（重要サンプリング法）
O  V dU O e  S (U )
e  S (U )を重みとした期待値
配位{U}を exp(-S(U)) に比例した確率で生成
"熱平衡"に達した配位
O  V dU O e
 S (U )

1
N co n f
N conf
k
(k )
O
(
)
U

( m ≠0 sign problem)
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
6
Ⅱ. 相構造と相転移温度 (m = 0)
 相構造の解明
QCD熱力学の理解
1. 最近の相転移の研究
2. 相転移を表す物理量
 相転移温度(Tc): QCDにおける基本的な物理量の一つ
3. 相転移の次数 (1st, 2nd, crossover?)
• 現象論のInput
4.• 相転移温度
(Tc)
様々な格子計算のCross
Check
5. 問題点
T
QGP
hadron
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
CSC
m7
最近の相構造の研究（Nf=2+1）
 Wuppertal-Budapest Coll.
Nature 443, (2006) 675
Phys. Lett. B643, (2006) 46
• Stout staggered quark action
• Nt = 4,6,8,10
• mp = 135 MeV (Physical point)
 RBC-Bielefeld Coll.
連続極限に近い
Chiral外挿不要
Phys. Rev. D74, (2006) 054507
• P4fat3 staggered quark action
• Nt = 4,6
• mp > 150 MeV
 MILC Coll.
Phys. Rev. D71, (2005) 034504
• Asqtad staggered quark action
• Nt = 4,6,8
• mp > 220 MeV
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
8
相転移を表す物理量
 Chiral condensate
Wuppertal-Budapest Coll. PLB643, (2006) 46
T  log Z
  
V mud
 
T2
1 2

log Z
2
TV mud
O.P. of Chiral transition at mq = 0 (Chiral limit)
 Quark number density
T  log Z
ns 
V m s
s
1  2 log Z

2
TV m s2
T
m s 0
Event-by-event fluctuations in heavy-ion experiments
 Polyakov loop
N t 1

P  T r  U 4 ( , x)
 0
P V P  P
2
2
O.P. of confinement transition at mq = ∞ (Quench limit)
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
9
相転移の次数（m = 0）
Finite size scaling
Peak of   V (1st), V 2 / 3 (2nd) , const. (crossover)
 
T2
~T
Wuppertal-Budapest Coll. Nature 443 (2006)
のPeakが体積に依存しない
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
Crossoverを示唆
10
相転移の次数（m = 0）
連続極限 & 熱力学極限でのの幅
Wuppertal-Budapest Coll.
Nature 443 (2006)
 
 28 MeV
連続極限 & 熱力学極限においてもが有限の幅を持つ
Crossoverを示唆
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
11
相転移温度（Tc）
Wuppertal-Budapest Coll. PLB643, (2006) 46
のピークの位置
Tc(a)
a→0
Tc
Nt=4, 6, 8, 10でTcを計算
Nt  4
• Nt = 4 はスケールに乗っていない(格子が粗すぎる)
Tc (  )  151(3)(3) 28 (5)(1)MeV
Tc (ns )  175(2)(4) 42 (4)(1)MeV
Tc ( P )  176 (3)(4) 38 (5)(1)MeV
Crossover
測定する物理量
によってTcが異なる
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
12
相転移温度 Tc (  )
他のグループとの比較
Wuppertal-Budapest Coll., PLB643, (2006) 46
151(3)(3) MeV + 9 MeV
stout, Nt=6,8,10, Ns/Nt=4, F_K scale
RBC-Bielefeld Coll., PRD74, (2006) 054507
192(7)(4) MeV
P4fat3, Nt=4,6 Ns/Nt=2-4, r_0=0.469(7) fm
MILC Coll., PRD71, (2005) 034504
169(12)(4)(5) MeV
Asqtad, Nt=4,6,8, Ns/Nt=2, r_1=0.317(7) fm
10%~20%の系統誤差
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
13
Tc決定における問題点
 Actionの改良による不定性 & 連続極限のとり方による不定性
• 192(7)(4) MeV, RBC-Bielefeld Coll.
P4fat3 staggered quark action, Nt=4,6: O(a2) improvement
• 151(3)(3) MeV + 9 MeV, Wuppertal-Budapest Coll.
Stout staggered quark action, Nt=6,8,10: no-improvement for a
より大きなNtによるチェック
 Scaleのとり方による不定性
Sommer scales
r02V (r0 )  1.65
• r0=0.469 (7) fm, HPQCD-UKQCD Coll. hep-lat/0507013
from bottomonium mass splitting (Nf=2+1, staggered)
• r0=0.516 (21) fm, CP-PACS-JLQCD Coll., hep-lat/0610050
from ρ-meson mass (Nf=2+1, Wilson)
T = 0での詳細な研究
 Actionの定義による不定性
Staggered fermionによる計算しかない
Det D(U )N
f
4
trick
他のactionによるチェックが必要
e.g. Wilson fermion
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
14
Tc決定における問題点
 Actionの改良による不定性 & 連続極限のとり方による不定性
• 192(7)(4) MeV, RBC-Bielefeld Coll.
P4fat3 staggered quark action, Nt=4,6: O(a2) improvement
• 151(3)(3) MeV + 9 MeV, Wuppertal-Budapest Coll.
Stout staggered quark action, Nt=6,8,10: no-improvement for a
より大きなNtによるチェック
 Scaleのとり方による不定性
Sommer scales
r02V (r0 )  1.65
• r0=0.469 (7) fm, HPQCD-UKQCD Coll. hep-lat/0507013
from bottomonium mass splitting (Nf=2+1, staggered)
• r0=0.516 (21) fm, CP-PACS-JLQCD Coll., hep-lat/0610050
from ρ-meson mass (Nf=2+1, Wilson)
T = 0での詳細な研究
 Actionの定義による不定性
Staggered fermionによる計算しかない
Det D(U )N
f
4
trick
他のactionによるチェックが必要
e.g. Wilson fermion
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
15
Tc決定における問題点
 Actionの改良による不定性 & 連続極限のとり方による不定性
• 192(7)(4) MeV, RBC-Bielefeld Coll.
P4fat3 staggered quark action, Nt=4,6: O(a2) improvement
• 151(3)(3) MeV + 9 MeV, Wuppertal-Budapest Coll.
Stout staggered quark action, Nt=6,8,10: no-improvement for a
より大きなNtによるチェック
 Scaleのとり方による不定性
Sommer scales
r02V (r0 )  1.65
• r0=0.469 (7) fm, HPQCD-UKQCD Coll. hep-lat/0507013
from bottomonium mass splitting (Nf=2+1, staggered)
• r0=0.516 (21) fm, CP-PACS-JLQCD Coll., hep-lat/0610050
from ρ-meson mass (Nf=2+1, Wilson)
T = 0での詳細な研究
 Actionの定義による不定性
Staggered fermionによる計算しかない
Det D(U )N
f
4
trick
他のactionによるチェックが必要
e.g. Wilson fermion
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
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Wilson fermionによるTc ( N f
 2)
WHOT-QCD Coll., preliminary
Tc from Polyakov loop susceptibility
Chiral extrapolation
Tc
Pade-type ansatz
T pc
(1  Bx )
m 
A
, x   PS 
mV
(1  Cx )
 mV 
2
Tc  180(4) (5) MeV ( Nt  4)
176(4) (3) MeV ( Nt  6)
preliminary
より小さなクォーク質量でのシミュレーションが進行中
連続極限
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
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相転移温度 Tc (  )
他のグループとの比較
Wuppertal-Budapest Coll., PLB643, (2006) 46
151(3)(3) MeV + 9 MeV
stout, Nt=6,8,10, Ns/Nt=4, F_K scale
RBC-Bielefeld Coll., PRD74, (2006) 054507
192(7)(4) MeV
P4fat3, Nt=4,6 Ns/Nt=2-4, r_0=0.469(7) fm
MILC Coll., PRD71, (2005) 034504
169(12)(4)(5) MeV
Asqtad, Nt=4,6,8, Ns/Nt=2, r_1=0.317(7) fm
WHOT-QCD Coll., preliminary
176(4)(5) MeV
clover Wilson, Nt=4,6, Ns/Nt=3-4, m_r scale
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
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Ⅲ. 状態方程式と有限密度への発展
1. m = 0での状態方程式 ( p, e )
2. Taylor展開法による有限密度(m >~ 0)への発展
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
19
状態方程式
 第一原理計算から直接求まる状態方程式
p, e, s as a function of T
重イオン衝突実験におけるハイドロモデルの
インプットとして重要
 m ≠0 への発展
T
QGP
Critical pointの有無
hadron
CSC
m
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状態方程式
格子上での圧力の計算（積分法）
T
p  log Z
V
カノニカル分布
• 圧力を
log Z を直接計算することは難しい
, m で微分
 log Z
S
 
 
m
m
m
Starting point
Deconfine
high T
 log Z
S
 
 P


(, m)平面上の適当な積分経路で積分
  1 S

p
4

N
d


(
T

0
)
t 
 3

(  ,m )


T4
N
N
 s t

p T 0  0
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
Confine
low T
( , m)
Phase transition

21
状態方程式 m  0
MILC Coll., hep-lat/0611031
N f  2 1
83  4 & 123  6
e /T 4
p/T 4
Asqtad staggered quark action, mp / mr  0.3,
T (MeV)
• 現実に近いクォーク質量でのシミュレーション
T (MeV)
• O(a2) improved actionによる連続極限へのよい振る舞い
より小さなクォーク質量・より大きな格子サイズ
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
22
状態方程式 m  0
CP-PACS Coll., PRD64, (2001) 074510
e /T 4
Nf 2
163  4 & 163  6
p/T 4
Improved Wilson quark action, mp / mr  0.65 ~ 0.95,
T / Tc
T / Tc
• クォーク質量依存性は小さい
• 連続極限からの誤差が大きい（Nt=6は連続極限のSB limitに近い）
大きなNt & 軽いクォーク質量 & Nf = 2+1
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
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状態方程式 m  0
有限密度への発展
• m > 0 でのシミュレーションは不可能(sign problem)
• 宇宙初期、重イオン衝突実験: 低密度 - RHIC:
mq/Tc
~ 0.1
• Reweighing(再重み付け)法
-- m = 0 のシミュレーションから m ~> 0 を見積もる
p
1

ln Z
e.g. mq/T によるTaylor展開
4
3
T
VT
p
p
 mq 
 mq 
 mq 
m   4 0  c2    c4    c6    
4
T
T
T 
T 
T 
2
4
6
N t3  2 ln Z
N t3  4 ln Z
c2 
, c4 
,
3
2
3
4
2 N s  ( mq T )
4! N s ( mq T )
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
24
状態方程式 m  0
Critical point at
m0
T
QGP
重イオン衝突実験: イベントごとの揺らぎ
hadron
• クォーク数密度感受率
m
q
 p
 mq 


m


c

c
 
2
4
4
2
T
mq
T 
2
2
• アイソスピン感受率
2
I
2 p
m
I
I I 


m


c

c
 
2
4
4
2
T
mI
T 
At critical point:
CSC
mq  mu  md  2
mI  mu  md  2
• q has a singularity
 i 0
• I has no singularity  i 3 0
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
Hatta and Stephanov,
PRL 91 (2003) 102003
25
状態方程式 m  0
Bielefeld-Swansea Coll., PRD71, (2005) 054508
Improved staggered quark action, N f  2, 163  4, mp / mr  0.70
q
 mq



m

2
c

12
c
2
4
T2
T
2

 

m
I
I q 

 


m

2
c

12
c
2
4
T2
T
 
I
• m = 0でのそれぞれの感受率はTcで急激に増加
• c4 がTc 付近で大きなピークを示す
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
2
26
状態方程式 m  0
Bielefeld-Swansea Coll., PRD71, (2005) 054508
Improved staggered quark action, N f  2, 163  4, mp / mr  0.70
q
 mq



m

2
c

12
c
2
4
T2
T
•
2

 

m
I
I q 

 


m

2
c

12
c
2
4
T2
T
 
I
2
mq/T ~1.0で q に強いピーク（ I にはない）
第2回 Heavy
Ion
Cafe 07/1/13
(T, m
pointの存在？
q)上のcritical
27
有限密度での状態方程式
WHOT-QCD Coll., preliminary
Improved Wilson quark action,
N f  2, 163  4, mp / mr  0.80
q
 mq 


m

2
c

12
c

 
2
4
T2
T 
I
T2
2
m  
2c2I

 12c4I 
mq 
 
T
 
Dashed Line:
9q, prediction
by hadron
resonance gas
model
• Staggered fermionとよく似た結果
• c4 がTc 付近で大きなピークを示す
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
2
Critical point？
28
まとめ
相転移温度, Tc (m = 0 )
• 現実世界でのシミュレーションが可能になった
- 軽いクォーク質量、連続極限、熱力学極限
•  のピークが体積に依存しない
Crossover
•    から見積もられる相転移温度
151(3)(3) MeV + 9 MeV: Wuppertal-Budapest Coll.
192(7)(4) MeV:
RBC-Bielefeld Coll.
169(12)(4)(5) MeV:
MILC Coll.
系統誤差 > 10%？
問題点
• 連続極限のとり方による不定性
大きなNt
• Scaleのとり方による不定性
T = 0でのシミュレーション
• Actionの定義による不定性
Wilson actionによるcross check
176(4)(5)
MeV: WHOT-QCD Coll.
29
第2回 Heavy Ion Cafe
07/1/13
まとめ
状態方程式 ( p, e )
• 軽いクォーク質量でシミュレーション
• 連続極限への良い振る舞い(格子化による誤差の減少)
現実世界の物理を再現できそう
有限密度への発展 (q, I)
•
m >~ 0ではTaylor展開による方法が有効
- Tc 付近で q に大きなピーク
Critical point の存在を示唆？
問題点
•
m > 0でのシミュレーションはbreakthroughが必要
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
30
今後の展望
PACS-CS @ Tsukuba
QCD Cluster @ FNAL
BlueGene/L @ KEK
QCDOC @ RBRC-Columbia
ApeNEXT @ Rome
現実世界でのシミュレーションが可能になる！
第2回 Heavy Ion Cafe 07/1/13
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