ｽﾗｲﾄﾞﾀｲﾄﾙなし

１章行列と行列式
1
行列の定義
（定義）行列
数（実数）を縦横をそろえて並べたもの。
éa11 a12
ê
êa 21 a 22
A = êê
M
M
ê
êa
a
m
1
m2
êë
L
L
O
L
a1n ù
ú
a 2n ú
ú
Mú
ú
ú
amn ú
û
m 行、横が n 列あるとき、
m ´ n 行列という。
縦が
2
行列の型（大きさ）
（定義）行列の型
行数×列数を行列の型あるいは大きさという。
m 行 n 列の行列を、
行列
あるいは
(m , n ) 型行列
という。
m´ n
n
m
m´ n
3
例
２行３列の行列
(3, 3)型行列
4 ´ 3 行列
é1 3 - 2ù
ê
ú
ê8 4 3 ú
êë
ú
û
é 2 0 6ù
ê
ú
ê
ú
ê- 2 4 3ú
ê
ú
ê 1 7 5ú
êë
úû
é3 2
5ù
ê
ú
ê4 1 - 1ú
ê
ú
ê
ú
0ú
ê2 1
ê
ú
ê7 - 3 - 2ú
êë
úû
4
練習
次の行列の型を答えよ。
（１）
é- 1 3 ù
ê
ú （２）
ê
ú
ê 3 - 5ú
ê
ú
ê7
ú
2
êë
úû
（４）
é- 3ù
ê ú
ê0 ú
ê ú
ê ú
ê2 ú
ê ú
ê4 ú
êë úû
é2 3 3 2ù
êë
ú
û
（５）
é2
3
ê
ê3 - 1
ê
ê
5
ê0
ê
ê- 2 11
ê
ê2
7
êë
（３） [4 ]
1
6
6
0
1
8ù
ú
2 úú
ú
4ú
ú
9ú
ú
- 7 úú
û
5
行列の成分
（定義）行列の成分
i 行 j 列の要素 aij を (i, j ) 要素（ (i, j )成分）
という。
j
éa11
ê
êM
ê
ê
A = êa i 1
ê
êM
ê
êêa m 1
ë
列
L
a1 j
L
O
L
M
a ij L
L
M O
a mj L
a1n ù
ú
Mú
ú
a in úú
ú
Mú
ú
amn úú
û
添字は、
行が先で、
列が後。
i
行
行列を (i, j ) 成分だけに注目して、
A = éëa ij ùû
のように表すこともある。
6
ベクトル
（定義）ベクトル
大きさが、 1 ´ n あるいは、
行列をベクトルという。
1´ n
m´ 1
の
のベクトルを行ベクトル（row vector)という。
r = éêr1 r2 L rn ù
ú
ë
û
r = (r1, r2, L , rn )
m ´ 1 のベクトルを列ベクトル(column vector)という。
éc1 ù
ê ú
êc2 ú
c = êê úú
êMú
êc ú
êë n úû
7
行列と行ベクトル
m ´ n 行列は、 m 個の n 次元行ベクトルで表現可能。
éa11 a12
ê
êa 21 a 22
A = êê
M
M
ê
êa
a
m
1
m2
êë
L
L
O
L
a1n ù
ú
a 2n ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
ただし、 1 £ i £ m に対して、ri = é
êëai 1
ér1 ù
ê ú
êr 2 ú
A = êê ú
ú
M
ê ú
êr ú
êë m ú
û
ai 2 L
ain ù
ú
û
8
例
é3 2
5ù
ê
ú
ê4 1 - 1ú
ê
ú
A = ê
ú=
0ú
ê2 1
ê
ú
ê7 - 3 - 2ú
êë
ú
û
r1 = éê3
ë
r2 = éê4
ë
r 3 = éê2
ë
r 4 = éê7
ë
ér1 ù
ê ú
êr 2 ú
ê ú とする。
êr 3 ú
ê ú
êêr 4 ú
ë ú
û
2 5ù
= (3, 2, 5)
ú
û
1 - 1ù
= (4,1, - 1)
ú
û
1 0ù
= (2,1, 0)
ú
û
- 3 - 2ù
= (7, - 3, - 2)
ú
û
9
行列と列ベクトル
m ´ n 行列は、 n 個の m 次元列ベクトルで表現可能。
éa11 a12
ê
êa 21 a 22
A = êê
M
M
ê
êa
êë m 1 am 2
A = é
c1
ê
ë
c2
L
L
O
L
L
ただし、 1 £ j £ n
a1n ù
ú
a 2n ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
cn ù
ú
û
に対して、
éa1 j ù
ê ú
êa 2 j ú
c j = êê úú
ê Mú
êa ú
êë mj úû
10
例 é3
5ù
ê
ú
ê4 1 - 1ú
ê
ú
A = ê
ú=
0ú
ê2 1
ê
ú
ê7 - 3 - 2ú
êë
ú
û
2
é3ù
êú
ê4ú
êú
c1 = ê ú
ê2 ú
êú
ê7 ú
êë úû
éc c c ù
3ú
êë 1 2
û
é2 ù
ê ú
ê1 ú
ê ú
c2 = ê ú
ê1 ú
ê ú
ê- 3ú
êë úû
とする。
é5 ù
ê ú
ê- 1ú
ê ú
c3 = ê ú
ê0 ú
ê ú
êê- 2úú
ë û
11
例
é3 2
5ù
ê
ú
ê4 1 - 1ú
ê
ú
A = éëaij ù
=
ú とする。
û êê2 1
0ú
ê
ú
ê7 - 3 - 2ú
êë
ú
û
このとき、
a11 = 3
a23 = - 1
a41 = 7
12
例
A = éëa ij ùû を 3 ´ 4 行列とし、aij = i + j とする。
このとき、
é2 3 4 5ù
ê
ú
ê
ú
A = ê3 4 5 6ú
ê
ú
ê4 5 6 7 ú
êë
ú
û
13
練習
é2
3
ê
ê3 - 1
ê
ê
5
A = ê0
ê
ê- 2 11
ê
ê2
7
êë
1
6
6
0
1
8ù
ú
2 ú
ú
ú
4 ú= éaij ù=
ú ë û
9ú
ú
- 7ú
ú
û
ér1 ù
ê ú
êr 2 ú
ê ú
êr 3 ú=
ê ú
êr 4 ú
ê ú
êr 5 ú
êë ú
û
éc c c c ù とする。
3
4ú
êë 1 2
û
次に答えよ。
（１）（１，１）成分、（２，３）成分、（５，２）成分
（２）値が１１である成分、値が９である成分、
値が３である成分の集合
（３） a 34 , a 53 , a 44
（４） r 2 , r 5
（５） c 3
14
練習
é2 3 - 1ù, r = é- 3 8 2ù,
é
ù
r
=
r1 = ê- 2 6 3ú, 2 êë
3
ú
êë
ú
û
û
ë
û
r 4 = éê9 0 - 5ù
とする。
ú
ë
û
このとき、
ér 1 ù
ê ú
êr 2 ú
A = êr ú を求めよ。
ê 3ú
ê ú
êêr 4 úú
ë û
15
練習
aij = 10i + j
A = éëa ij ùû を 4 ´ 3 行列とし、
このとき、
A
とする。
を求めよ。
16
行列の相等
（定義）行列の相等
２つの行列A = éëaij ùû, B = éëbij ùûが次の（１）、（２）を満たすとき、
「等しい」といい、
A = B
と書く。
（１） A と B
の大きさが等しい。
（２）すべての (i, j ) 成分について aij
= bij
である。
17
例
é3 2
5 ù é3 2
5ù
ê
ú ê
ú
ê4 1 - 1ú ê4 1 - 1ú
ê
ú ê
ú
=
ê
ú ê
ú
2
1
0
2
1
0
ê
ú ê
ú
ê
ú ê
ú
ê7 - 3 - 2ú ê7 - 3 - 2ú
êë
úû êë
úû
é3 2
5ù
ù
ê
ú é3 2
5
ú
ê4 1 - 1ú ê
ú
ê
ú ê
ê
ú¹ ê4 1 - 1ú
0ú ê
ú
ê2 1
ê
ú ê7 - 3 - 2ú
úû
ê7 - 3 - 2ú êë
êë
ûú
é3 2
5 ù é3 2 ù
ê
ú ê
ú
ê4 1 - 1ú ê4 1 ú
ê
ú ê
ú
¹
ê
ú ê
ú
2
1
0
2
1
ê
ú ê
ú
ê
ú ê
ú
ê7 - 3 - 2ú ê7 - 3ú
êë
úû êë
úû
é3 2
5 ù é3 2
5ù
ê
ú ê
ú
ê4 1 - 1ú ê4 1 - 1ú
ê
ú ê
ú
¹
ê
ú ê
ú
2
1
0
2
1
0
ê
ú ê
ú
ê
ú ê
ú
ê7 - 3 - 2ú ê7 - 3 2 ú
êë
úû êë
úû
18
練習
次の行列の集合から、等しい行列の組をすべて求めよ。
é 1 3ù éê 1 ùú
ê
ú, ê 3 ú
ê- 2 1ú ê ú
êë
úû ê- 2 ú,
ê ú
ê ú
ê1 ú
ëê ûú
é1 - 3
êë
é 1 - 3ù
ê
ú,
ê- 2 1 ú
êë
úû
é1 ù
ê ú
ê3 ú
ê ú
ê ú,
ê- 2 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
é 1 3 - 3ù
ê
ú,
- 2 1ù
,
ú
û êêë- 2 1 1 úúû
é1
ù
3
ê
ú
ê
ú
-ê 3 - 2ú,
ê
ú
ê- 2 1 ú
êë
úû
é 1 - 3ù
ê
ú,
ê- 2 1 ú
êë
úû
é1 ù
ê ú
ê- 3 ú
ê ú
ê ú,
ê- 2 ú
ê ú
ê1 ú
êë úû
19
行列の演算
行列の加法
（定義）行列の加法
éa ij ù, B =
A
=
同じ型（ m ´ n ）の行列
ë û
て、その和 A + B を
éa + b
L
11
ê 11
ê
é
ù
A + B = ëaij + bij û= ê M
O
ê
êam 1 + bm 1 L
êë
と定義する。このとき、 A + B も
とに注意する。
m´ n
ébij ù
ë û
に対し
a1n + b1n ù
ú
ú
M ú
ú
amn + bmn ú
ú
û
の型になるこ
20
例
é3 2 6 ù é4 - 3 - 1ù
ê
ú+ ê
ú=
ê1 5 - 2ú ê3 2
ú
0
êë
ú
ú
û êë
û
é2 3ù é 1 2ù
ê
ú ê
ú
ê
ú ê
ú
ê2 3ú+ ê- 3 1ú=
ê
ú ê
ú
ê1 5ú ê- 1 3ú
êë
ú
ú
û êë
û
é1 2 3ù é9 8 7 ù
ê
ú ê
ú
ê
ú ê
ú
ê4 5 6ú+ ê6 5 4ú=
ê
ú ê
ú
ê7 8 9ú ê3 2 1ú
êë
ú
ú
û êë
û
é7 - 1 5 ù
ê
ú
ê4 7 - 2ú
êë
ú
û
é 3 5ù
ê
ú
ê
ú
ê- 1 4ú
ê
ú
ê 0 8ú
êë
ú
û
é10 10 10ù
ê
ú
ê
ú
ê10 10 10ú
ê
ú
ê10 10 10ú
êë
ú
û
21
和が計算できない行列
é2 1 ù
ê
ú
ê
ú
ê0 3 ú+
ê
ú
ê1 - 5ú
êë
ú
û
é- 1 0ù
ê
ú¹ ?
ê 2 1ú
êë
ú
û
é- 2 1 5ù+
êë
ú
û
é- 1 3 1ù
ê
ú+
ê 2 0 2ú
êë
ú
û
é2 3ù¹ ?
êë
ú
û
é2 1 ù
ê
ú
ê
ú
ê0 - 2ú¹ ?
ê
ú
ê0 1 ú
êë
ú
û
22
行列の性質１
（性質）行列の和に関する性質
を全て同じ型の行列とする。このとき、
次が成り立つ。
A , B ,C
（１） (A + B ) + C = A + (B + C ) （結合法則）
A + B = B +A
（２）
（交換法則）
（３）
（４）
A +O =O + A = A
（加法単位元）
A + (- A ) = (- A ) + A = O （加法逆元）
23
零行列
（定義）零行列
すべての成分が0である行列を零行列といい、
é0 0
ê
ê0 O
ê
O = ê
êM
ê
ê0
êë
L
0ù
ú
ú
ú
ú
ú
ú
0ú
ú
û
で表す。特に、型にも注意するきには、
O mn
と書いて、 m ´
n
型の零行列を表す。
24
例
O = O 23
é0 0 0ù
ú
= êê
ú
0
0
0
êë
ú
û
O = O 43
é0
ê
ê0
ê
= ê
ê0
ê
êê0
ë
O = O 33
é0 0 0ù
ê
ú
ê
ú
= ê0 0 0ú
ê
ú
ê0 0 0ú
êë
ú
û
0 0ù
ú
0 0ú
ú
ú
0 0ú
ú
0 0ú
ú
û
25
加法逆元
（定義）加法逆元
m ´ n 行列 A = éëa ij ùû に対して、
m ´ n 行列
- A = éë- a ij ù
û
を加法逆元という。このとき、
A + (- A ) = (- A ) + A = O mn
が成り立つ。
é3 2 6 ù
ú
A = êê
ú
1
5
2
êë
ú
û
Û
é- 3 - 2 - 6ù
ú
- A = êê
ú
1
5
2
êë
ú
û
26
行列のスカラー倍
（定義）行列のスカラー倍
スカラー k Î R
の k 倍を
に対して、
m ´ n 行列 A
éka
ê 11 L
ê
é
ù
é
ù
kA = k ëaij û= ëkaij û= ê M O
ê
êkam 1 L
êë
と定義する。このとき、 kA
になることに注意する。
の大きさも
= éëa ij ù
û
ka1n ù
ú
ú
Mú
ú
kamn ú
ú
û
m´ n
27
例
é3 2 6 ù
ú=
2 êê
ú
1
5
2
êë
ú
û
é2
ù
3
ê
ú
ê
ú
- 3 ê- 4 1 ú=
ê
ú
ê 0 - 5ú
êë
ú
û
é6 4 12 ù
ê
ú
ê2 10 - 4ú
êë
ú
û
é- 6 - 9ù
ê
ú
ê
ú
ê12 - 3ú
ê
ú
ê 0 15 ú
êë
ú
û
28
行列の性質２
（性質）行列のスカラー倍に関する性質
A , B を同じ型の行列とし、k, l
このとき、次が成り立つ。
（１） (k + l )A = kA + lA
Î R
とする。
（行列のスカラーへの分配法則）
（２） k (A + B ) = kA + kB （スカラーの行列への分配法則）
（３）
(kl )A = k (lA )
（結合法則）
（４）
1A = A
（公等法則）
（５）
0A = O
（零倍）
29
練習
é- 1 1ù
é 0 2ù
é0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
A = ê 0 3ú, B = ê 2 0ú,C = ê1 1ú
ê
ú
ê
ú
ê
ú
ê 2 0ú
ê- 1 1ú
ê3 1ú
êë
ú
ê
ú
êë
ú
û
ë
û
û
とする。このとき、行列演算の法則を用いることにより、
次を計算せよ。
（１） 2A + B - 2(B + A )
（２） 5A + B - 3(2B + 2C ) + 6C
（３） 3((A - B ) + (B - C ) + (C - A ))
30
行列の積
(定義）行列の積
l ´ m 行列 A = éëa ij ùûと m ´ n 行列 B = éëbij ùûに対して、
その積である C = A B = écij ù を
ë û
m
cij =
å
aikbkj = ai 1b1 j + ai 2b2 j + L + aim bmj
k= 1
(1 £ i £ l,1 £ j £ n )
となる行列とする。
ここで、 C = A B の型は
l´ n
になる。
31
行列積の覚え方
l´ m
´
m´ n
=
l´ n
ここが同じでないと
乗算できない。
（１）まず、出来上がる行列の型をきめる。
ここが同じでないと
乗算できない。
l´ m
m´ n
l´ n
32
（２）個々の成分を求める。
b1 j
b2 j
M
bm j
ai 1 ai 2 L aim
cij
33
é1ù
êú
例
ê1ú
é
ù
ú
A = ê
1 2 3 4ú B = ê
ê ú とする。
ë
û
ê1ú
êú
ê1ú
ê
é1ù
ëú
û
êú
ê1ú
êú
A B = [10]
êú
ê1ú
êú
ê1ú
ê
ëú
û
é
ù
1
2
3
4
ê
ú
ë
û
é1
ê
ê1
ê
BA = ê
ê1
ê
ê1
ê
ë
2
3
2
3
2
3
2
3
4ù
ú
4ú
ú
ú
4ú
ú
4ú
ú
û
é
1
ê
ë
é1ù
êú
ê1ú
êú
êú
ê1ú
êú
ê1ú
êû
ú
ë
2
3
4ù
ú
û
34
練習
次の行列の中から、積が定義できるものに対して、
積を求めよ。
é3
A = êê
êë0
é1 2 ù
0
1ù
ê
ú
ú,
ê
ú
ú
- 2 - 1ú B = ê0 3ú,
û
ê
ú
ê0 1ú
êë
úû
é1ù
êú
êú
C = ê0ú,
êú
ê0ú
êë úû
D = éê- 1 1ù
ú
ë
û
35
行列の性質
（性質）行列の積に関する性質１
積が定義できる行列に関して、次が成り立つ。
（１） (A B )C = A (BC )
（結合法則）
（２） A (B + C ) = A B + A C
（左分配法則）
（３） (A + B )C = A C + A C （右分配法則）
（４） k (A B ) = (kA )B = A (kB ) （スカラーの移動）
このような移動ができるのは、
スカラーに対してだけであることに、
注意すること。
36
例題
é0 1ù
ú,
A = êê
ú
1
0
êë
ú
û
é0 0ù
ú,
B = êê
ú
1
0
êë
ú
û
é0 1ù
ú,
C = êê
ú
1
1
êë
ú
û
k = 2,
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
（１）
(A B )C = A (BC )
（２） A (B + C ) = A B + A C
（３）
(A + B )C = A C + B C
（４） k (A B ) = (kA )B = A (kB )
37
解）
（１）
(A B )C = A (BC )
0 0ù é1 0ù
左辺： A B = éê0 1ùé
úê
ú ê
ú
ê1 0úê1 0ú= ê0 0ú,
êë
ú
ûêë
ú
û
êë
ú
û
é1 0ùé0 1ù é0 1ù
ú= ê
úê
ú,
\ (A B )C = êê
ê
ú
ú
ê
ú
0
0
0
0
1
1
êë
ú
ú
ú
ûêë
û
û êë
é0 0ùé0 1ù é0 0ù
ú= ê
úê
ú,
右辺： B C = ê
ê1 0úê1 1ú ê0 1ú
êë
ú
ú
ú
ûêë
û
û êë
é0 1ùé0 0ù é0 1ù
úê
ú= ê
ú,
\ A (B C ) = êê
úê0 1ú ê0 0ú
1
0
ú
ú
êë
ú
û êë
û
ûêë
よって、左辺＝右辺
これより、
(A B )C = A (B C ) = A B C
と書いても誤解が無い。
38
（２） A (B + C ) = A B + A C
左辺：
右辺：
é0 0ù é0
ú+ ê
B + C = êê
ú ê1
1
0
êë
ú
û êë
é0 1ùé0
úê
A (B + C ) = êê
úê2
1
0
êë
úê
ûë
é0
A B = êê
êë1
é0
A C = êê
êë1
1ùé0
úê
1
0úê
ú
ûêë
1ùé0
úê
0úê
1
úê
ûë
1ù é0
ú= ê
ê2
1ú
ú
û êë
1ù é2
ú= ê
ê0
1ú
ú
û êë
0ù
ú=
0ú
ú
û
1ù
ú=
1ú
ú
û
é1
ê
ê0
êë
é1
ê
ê0
êë
1ù
ú,
1ú
ú
û
1ù
ú,
1ú
ú
û
0ù
ú,
0ú
ú
û
1ù
ú,
1ú
ú
û
é1 0ù é1 1ù é2 1ù
ú= ê
ú,
ú+ ê
A B + A C = êê
ê
ú
ê
ú
ú
0
0
0
1
0
1
êë
ú
ú
ú
û êë
û êë
û
よって、左辺＝右辺
39
（３）
(A + B )C = A C + B C
左辺：
é0 1ù é0 0ù é0
ú+ ê
ú= ê
A + B = êê
ú ê1 0ú ê2
1
0
ú
êë
ú
û êë
û êë
é0
(A + B )C = êê
êë2
右辺：
é0
A C = êê
êë1
é0
B C = êê
êë1
1ùé0
úê
0úê
1
úê
ûë
0ùé0
úê
ê1
0ú
ú
ûêë
1ù é1
ú= ê
ê0
1ú
ú
û êë
1ù é0
ú= ê
ê0
1ú
ú
û êë
1ù
ú,
0ú
ú
û
1ùé0 1ù é1 1ù
úê
ú= ê
ú,
ú ê0 2ú
0úê
1
1
úê
ú
ú
ûë
û êë
û
1ù
ú,
1ú
ú
û
0ù
ú,
1ú
ú
û
é1 1ù é0 0ù é1 1ù
ú+ ê
ú,
ú= ê
A C + B C = êê
ú
ê
ú
ê
ú
0
1
0
1
0
2
ú
êë
ú
ú
û êë
û êë
û
よって、左辺＝右辺
40
（４） k (A B ) = (kA )B = A (kB )
é0 1ùé0 0ù é1 0ù
úê
ú= ê
ú,
A B = êê
úê
ú
ê
ú
1
0
0
0
1
0
ú ëê
ú
ú
û
û
ëê
ûêë
k = 2,
é1 0ù é2 0ù
ú= ê
ú,
k (A B ) = 2 êê
ú
ê
0 0ú
êë0 0ú
ê
ú
û ë
û
é0 1ù é0 2ù
ú= ê
ú
kA = 2 êê
ú
ê
2 0ú
êë1 0ú
ê
ú
û ë
û
é0 2ùé0 0ù é2 0ù
úê
ú= ê
ú,
\ (kA )B = êê
úê
ú
ê
2 0úê1 0ú ê0 0ú
ú
û ë
û
ëê
ûë
é0 0ù é0 0ù
ú= ê
ú
kB = 2 êê
ú
ê
2 0ú
êë1 0ú
ê
ú
û ë
û
é0 1ùé0 0ù
úê
ú=
\ A (kB ) = êê
úê
1 0úê2 0ú
ú
û
ëê
ûë
よって、成り立つ。
é2 0ù
ê
ú
ê0 0ú,
ú
ëê
û
41
練習
é0ù
A = êê úú,
êë1úû
B = éê1 1ù
,
ë ú
û
é1 1ù
ú,
C = êê
ú
1
0
êë
ú
û
k = - 1,
l = 3,
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
（１）
(A B )C = A (BC )
（２） k (A B ) = (kA )B = A (kB )
（３） l (BC ) = (lB )C = B (lC )
42
練習
é0ù
A = êê úú,
êë1úû
é1ù
B = êê úú,
êë1úû
C = éê2 - 1ù
,
ú
ë
û
D = éê- 1 0ù
,
ú
ë
û
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
（１）A (C + D ) = A C + A D
（２） B (C + D ) = B C + B D
（３）
(A + B )C = A C + B C
（４）
(A + B )D = A D + B D
43
行列の性質
（性質）行列の積に関する性質２
AB  BA
となる行列A、行列Bがある。
行列の積では、交換法則は成り立たない。
44
例題
é1
ù
0
1
ê
ú
ê
ú
A = ê0
4 5 ú,
ê
ú
ê- 2 3 0 ú
êë
úû
A B ¹ BA
é0
ù
1
7
ê
ú
ê
ú
B = ê- 1 0 1 ú,
ê
ú
ê2
0 4 úú
êë
û
とする。
を確かめよ。
é
ù
0 - 1ùé
0
1
7
úê
ú
úê
ú
4 5 úê- 1 0 1 ú=
ê
úê
ú
ê- 2 3 0 úê2
0 4ú
êë
úê
ú
ûë
û
解）
ê1
ê
左辺＝ A B = ê0
é0
ùé1
ù
1
7
0
1
ê
úê
ú
ê
úê
右辺＝ B A = ê- 1 0 1 úê0 4 5 úú=
ê
úê
ú
ê2
0 4úê
- 2 3 0 ú
êë
úê
ú
ûë
û
よって、左辺
¹
右辺
é- 2 1
ù
3
ê
ú
ê
ú
6
0
24
ê
ú
ê
ú
ê- 3 - 2 - 11ú
êë
ú
û
é- 14 25 5 ù
ê
ú
ê
ú
ê- 3 3 1 ú
ê
ú
ê- 6 12 - 2ú
êë
ú
û
45
行列の性質
（性質）行列の積に関する性質３
AB  O でも、
AO
または
BO
とは限らない。すなわち、
AO
かつ
BO
でも、
AB  O
となることがある。
46
例題
é- 1 - 1 1 ù
ê
ú
ê
ú
A = ê- 1 - 1 1 ú,
ê
ú
ê- 2 - 2 2ú
êë
úû
é2 4 - 3ù
ê
ú
ê
ú
B = ê1 3 - 2ú
ê
ú
ê3 7 - 5ú
êë
ú
û
とする。
A B = O を確かめよ。
解）
é- 1 - 1 1 ùé2 4 - 3ù
ê
úê
ú
ê
úê
ú
A B = ê- 1 - 1 1 úê1 3 - 2ú=
ê
úê
ú
ê- 2 - 2 2úê3 7 - 5ú
êë
úê
ú
ûë
û
é0 0 0ù
ê
ú
ê
ú
ê0 0 0ú= O
ê
ú
ê0 0 0ú
êë
ú
û
47
転置行列
（定義）転置行列
m ´ n 行列 A = [aij ]に対して、 n ´ m 行列 B = [bij ] を
bij = a ji
(1 £ i £ n,1 £ j £ m )
と定める。このとき、
t
B
を
A
の転置行列といい、
A
と表す。すなわち、
éa11 a12 L
ê
êa 21 a 22
A = êê
O
êM
êa
L
êë m 1
éa11 a 21 L
a1n ù
ê
ú
êa12 a 22
ú
ú のとき t A = êê
M
O
Mú
ê
ú
êa
ú
L
1n
amn ú
ê
ë
û
am 1 ù
ú
ú
ú
Mú
ú
anm ú
ú
û
48
転置行列のイメージ
éa11 a12 L
ê
êa 21 a 22
A = êê
O
êM
êa
L
êë m 1
a1n ù
ú
ú
ú
Mú
ú
amn ú
ú
û
転置
éa11 a 21 L
ê
êa12 a 22
t
A = êê
O
êM
êa
L
êë 1n
am 1 ù
ú
ú
ú
Mú
ú
anm ú
ú
û
回転
m´ n
n´ m
49
例
é3 2 6 ù
ú
A = êê
ú
1
5
2
êë
ú
û
é2 5 2ù
ê
ú
ê
ú
B = ê0 - 4 3ú
ê
ú
ê2 4 6ú
êë
ú
û
é2 ù
ê ú
ê3 ú
C = êê ú
-ê 5ú
ú
ê ú
êê 1 ú
ë ú
û
é3 1 ù
ê
ú
ê
ú
t
A = ê2 5 ú
ê
ú
ê6 - 2ú
êë
ú
û
Û
Û
é2 0 2ù
ê
ú
ê
ú
t
B = ê5 - 4 4ú
ê
ú
ê2 3 6ú
êë
ú
û
Û
t
C = éê2 3 - 5 1ù
ú
ë
û
50
練習
次の行列の転置行列を求めよ。
é2 - 3 4ù
ú
A = êê
ú
3
2
5
êë
ú
û
C = éê- 2 1 2 - 1ù
ú
ë
û
é 2 - 2 2ù
ê
ú
ê
ú
B = ê 2 - 4 3ú
ê
ú
ê- 1 3 6ú
êë
ú
û
é3 2ù
ú
D = êê
ú
2
3
êë
ú
û
51
転置行列の性質
（性質）転置行列の性質
A , B を l ´ m 行列とし、 C を m ´ n 行列とし、
k Î R とする。このとき、次が成り立つ。
t
（１）
（２）
（３）
（４）
t
t
(A + B ) = t A + t B
t
(kA ) = k ( A )
t
（和と転置の交換）
（スカラー倍と転置の交換）
t
(A C ) = ( C )( A )
（積と転置の交換）
t
（転置の交代性）
t
( (A )) =
A
52
証明
（１）
A = [aij ], B = [bij ]
t
を l ´ m 行列とする。
(A + B ) = t A + t B
t
左辺 = (A + B )
=
=
t
(éëa
t
([aij + bij ])
ù
ij û+ [bij ])
= [a ji + bji ]
右辺 = t A + t B
= t [aij ] + t [bij ]
= [a ji ] + [bji ]
= [a ji + bji ]
よって、左辺＝右辺
53
（２）
t
t
(kA ) = k ( A )
t
左辺 = (kA )
=
=
t
(k éëa ùû)
ij
t
([kaij ])
= [ka ji ]
t
右辺 = k (A )
= k
t
(éëa ùû)
ij
= k [a ji ]
= [ka ji ]
よって、左辺＝右辺
54
C = [cij ],をm ´
（３）
t
n
行列とする。
(A C ) = ( tC )( t A )
とする。すなわち、
D = [dij ] = A C
m
dij =
å
aikckj
k= 1
左辺 =
=
t
(A C )
t
([dij ])
右辺 =
(tC )(t A )
= t [ckj ]t [aik ]
= [d ji ]
= [c jk ][aki ]
ém
ù
ê
= å a jk cki ú
êëk = 1
úû
ém
ù
ê
= å c jkaki ú
êëk = 1
úû
よって、左辺＝右辺
55
（３）のイメージ
C m´ n
A
乗法
l´ n
l´ m
転置
AC
l´ n
t
AC
t
C m´ n
A
n´ l
転置
(A C )
A m´ l
乗法
t
C
n´ m
l´ m
AB
転置すると前後
が入れ替わる
n´ l
n´ l
(tC )(t A )
56
（４）
t
(t (A )) =
A
左辺 =
=
t
(t A )
t
(t [aij ])
= t [a ji ]
= [aij ]
QED
= 右辺
t
A
回転
t
(t (A )) =
A
A
回転
m´ n
n´ m
m´ n
57
例題
é0ù
A = êê úú,
êë1úû
é1ù
B = êê úú,
êë1úû
C = éê- 1 0 1ù
,
ú
ë
û
k = 3,
とする。次式が成り立つかどうかを調べよ。
t
（１）
（２）
（３）
（４）
t
t
t
t
(A + B ) = A + B
t
(kA ) = k ( A )
t
t
(A C ) = ( C )( A )
t
t
( (A )) =
A
58
解）
（１）
t
t
t
(A + B ) = A + B
t
æé0ù
ççê ú
左辺＝ ççê1ú+
çèêë ú
ût
t
é0ù
右辺＝ êê úú+
êë1ú
û
é1ùö
é1ù
÷
ê ú÷
ê ú= é1 2ù
=
÷
ú
ê1ú÷
ê2ú êë
û
÷
ø
êë ú
ê
ú
û
ëû
é1ù
ê ú= é0 1ù+ é1 1ù=
ú
ê1ú êë
û êë ú
û
êë ú
û
t
é1 2ù
êë
ú
û
∴左辺＝右辺
（２）
t
t
(kA ) = k ( A )
t
t
æ
ö
0
é
ù
é0ù
左辺＝ çç ê ú÷
÷ = ê ú= é0 3ù
çç3 ê1ú÷
ú
ê3ú êë
÷
û
÷
è êë ú
ø
ê
ú
û
ëû
æt é0ùö
çç ê ú÷
÷
é0 1ù= é0 3ù
÷=
3
3
ç
êë
ú
ú
右辺＝ ç ê1ú÷
û êë
û
÷
÷
çè êë ú
ø
û
∴左辺＝右辺
59
t
（３）
t
(A C ) = ( C )( A )
t
æé0ù
ççê ú
´
左辺＝ ççèêê1úú
ëû
t
右辺＝
t
é0 - 1ù
ê
ú
ö
0
0
0
é
ù
÷
ê
ú
ê
ú
÷
1ù
=
=
0
0
ê
ú
÷
ú
ê
ú
÷
ûø
1
0
1
ê
÷
êë
ú
û ê0 1 ú
ú
ú
ëê
û
é- 1ù
é0 - 1ù
t
ê
ú
é0ù êê ú
ê
ú
é
ù
ê ú= ê 0 ú
´
0
1
=
0
0
ê
ú
êë
ú
ê1ú ê ú
û
ú
ê
ú
êë ú
û ê1 ú
ê0 1 ú
êë ú
ú
û
ëê
û
t
é- 1 0
êë
é- 1 0 1ù´
êë
ú
û
∴左辺＝右辺
（４）
t
t
( (A )) =
t
左辺＝
æt
çç
çç
çè
é0ùö÷
ê ú÷
÷
ê1ú÷=
÷
êë ú
ûø÷
t
A
é0 1ù=
êë
ú
û
é0ù
êú
ê1ú＝右辺
êë ú
û
60

Download Report