7章分散分析（2）

７章分散分析：第2部
第1部一元配置分散分析：１つの条件に
よる母平均の違いの検定
第２部： 2つの条件の組み合わせによる二元
配置分散分析
温度の違い
例題：表7.4 銘柄の違い
A①冷蔵庫
Ｂ①イカ
アン
A②常温
Ｂ②ボスＢ③ビ
Ｂ①イカ
ビック
ビッテルアン
Ｂ②ボスＢ③ビ
ビック
ビッテル
6
4
5
10
8
10
11
12
12
5
4
2
7
6
5
12
8
5
3
2
8
9
10
10
2
2
4
3
6
4
表7.4 ミネラルウォーターのおいしさの評定に関する実験
データ
7.3.1 主効果と交互作用効果
要因: 母平均に違いをもたらす原因
水準: ある要因の中に含まれる個々の条件
例題では...
要因
温度の違い
銘柄の違い
水準
冷蔵、常温
イカアン、ボスビック、ビビッテル
主効果と交互作用効果
二元配置分散分析では、
主効果と交互作用効果
という2種類の効果を考える
主効果：それぞれの要因ごとの効果
一元配置分散分析のときに考えた効果と同じ
交互作用効果: 2つ以上の要因が組み合わされたとき
に生じる効果。
2つの要因の効果の単純な足し算では説明でき
ない効果
表7.6 交互作用効果のない平
均値のパターンの例
B1
B2
B3
A1
4
3
6
A2
6
5
8
表7.7 交互作用効果のある平均
値のパターンの例
B1
B2
B3
A1
4
3
6
A2
4
6
7
> データ1 <- c(4,3,6, 6,5,8)
> 要因A <- factor(c(rep("水準A1",3),rep("水準A2",3)))
> 要因B <- factor(rep(c(rep("水準B1",1),rep("水準B2",1),rep("水
準B3",1)),2))
> interaction.plot(要因A,要因B,データ1)
> interaction.plot(要因B,要因A,データ1)
> データ2 <- c(4,3,6, 4,6,7)
> interaction.plot(要因A,要因B,データ2)
> interaction.plot(要因B,要因A,データ2)
8
8
要因B
5
6
7
水準A2
水準A1
4
5
6
mean of データ1
7
水準B3
水準B1
水準B2
3
3
4
mean of データ1
要因A
水準A1
水準A2
要因A
表7.2 交互作用効果のない平
均値のプロットの例(1)
水準B1
水準B2
水準B3
要因B
表7.3 交互作用効果のない平
均値のプロットの例(2)
7
7
要因A
要因B
6
4
5
mean of データ2
6
5
4
3
3
mean of データ2
水準A2
水準A1
水準B3
水準B2
水準B1
水準A1
水準A2
要因A
表7.4 交互作用効果のある平
均値のプロットの例(1)
水準B1
水準B2
水準B3
要因B
表7.5 交互作用効果のある平
均値のプロットの例(2)
7.3.2 二元配置分散分析（対応なし）
（1）帰無仮説と対立仮説の設定
（2）検定統計量の選択
分散分析では、検定統計値としてＦを利用
（3）有意水準αの決定
有意水準は5％、つまりα＝0.05とする。この検定は片
側検定
（4）検定統計量の実現値を求める
aov関数を用いて実現値を求める
（5）帰無仮説の棄却or採択の決定
(1) 帰無仮説と対立仮説の設定
要因Ａ(温度の違い)の主効果
帰無仮説Ｈ0：温度が違ってもおいしさ得点の母平均は等しい（要因Ａ
の主効果はない）
対立仮説Ｈ1：温度が違いによっておいしさ得点の母平均は異なる（要
因Ａの主効果がある）
要因Ｂ（銘柄の違い）の主効果
帰無仮説Ｈ0：銘柄が違ってもおいしさ得点の母平均は等しい（要因Ｂ
の主効果はない）
対立仮説Ｈ1：銘柄が違いによっておいしさ得点の母平均は異なる（要
因Ｂの主効果がある）
要因Ａと要因Ｂの交互作用効果
帰無仮説Ｈ0：温度と銘柄の組み合わせに相性の良し悪しはない（要因Ａと
要因Ｂの交互作用効果はない）
対立仮説Ｈ1：温度と銘柄の組み合わせに相性の良し悪しがある（要因Ａと
要因Ｂの交互作用効果がある）
> 味 <- c(6,4,5,3,2,10,8,10,8,9,11,12,12,10,10,5,4,2,2,2,7,6,5,4,3,12,8,5,6,4)
>味
[1] 6 4 5 3 2 10 8 10 8 9 11 12 12 10 10 5 4 2 2 2 7 6 5 4 3 12 8 5
> summary(aov(味~温度*銘柄))
6 4
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
> 温度 <- factor(c(rep("冷蔵庫",15),rep("常温",15)))
1 67.5 67.500 21.3158 0.00011 ***
> 温度温度
[1] 冷蔵庫
冷蔵庫 77.500
冷蔵庫冷蔵庫
冷蔵庫 1.608e-06
冷蔵庫冷蔵庫
銘柄冷蔵庫冷蔵庫
2 155.0
24.4737
***
冷蔵庫温度:銘柄 2 15.0
7.500
2.3684 0.11515
[11] 冷蔵庫冷蔵庫冷蔵庫冷蔵庫冷蔵庫常温常温常温常温常温
Residuals 24 76.0
3.167
[21] 常温常温常温常温常温常温常温常温常温常温
Levels: --常温冷蔵庫
codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
> 銘柄 Signif.
<- factor(rep(c(rep("イカアン",5),rep("ボスビック",5),rep("ビビッテル
",5)),2))
> 銘柄 > summary(aov(味~温度+銘柄+温度：銘柄))
[1] イカアンイカアンイカアンイカアンイカアンボスビック
> 67.5000+155.000+15.000+76.000
[7] ボスビックボスビックボスビックボスビックビビッテルビビッテル
[1] 313.5
[13] ビビッテル
ビビッテルビビッテルイカアンイカアンイカアン
> sum((味-mean(味))^2)
#全体平方和
[19] イカアン
イカアンボスビックボスビック
ボスビックボスビック
[25] ボスビック
ビビッテルビビッテルビビッテルビビッテルビビッテル
[1] 313.5
Levels: イカアンビビッテルボスビック
（5）帰無仮説の棄却or採択の決定
温度の主効果：5％水準で有意な効果がある
（p ＝ 0.0011）
銘柄の主効果：5％水準で有意な効果がある
（p ＝0.0000016）
温度と銘柄の交互作用効果：5％水準で有意な効果
はない（p ＝0.115）
interction.plot(横軸にとる要因、もう一方の要因、平
均値を求める変数)
> interaction.plot(温度,銘柄,味)
> interaction.plot(銘柄,温度,味)
> interaction.plot(温度,銘柄,味)
8
6
4
mean of 味
10
銘柄
直線が完全に平行ではないので
多少の交互作用はある
常温
冷蔵庫
（が有意な差はない）温度
ビビッテル
ボスビック
イカアン
> interaction.plot(銘柄,温度,味)
6
8
冷蔵庫
常温
4
mean of 味
10
温度
イカアン
ビビッテル
銘柄
ボスビック
7.3.3 一元配置と見なして分散分析
• 例題に対し、二元配置分散分析に含まれる２
つの要因のうち、一方を無視して一元配置分
散分析を行なってみる
一元配置ｖｓ二元配置分散分析
一元配置
> summary(aov(味~温度))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
温度
1 67.5 67.500 7.6829 0.009797 **
Residuals 28 246.0
8.786
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
F値がかなり小さい
二元配置
> summary(aov(味~温度*銘柄))
Df Sum Sq Mean Sq
温度
1 67.5 67.500
銘柄
2 155.0 77.500
温度:銘柄 2 15.0
7.500
Residuals 24 76.0
3.167
F value
21.3158
24.4737
2.3684
Pr(>F)
0.00011 ***
1.608e-06 ***
0.11515
一元配置ｖｓ二元配置分散分析
一元配置
> summary(aov(味~銘柄))
Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
銘柄
2 155.0 77.50 13.202 0.0001003 ***
Residuals 27 158.5
5.87
--Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1
F値がかなり小さい
二元配置
> summary(aov(味~温度*銘柄))
Df Sum Sq Mean Sq
温度
1 67.5 67.500
銘柄
2 155.0 77.500
温度:銘柄 2 15.0
7.500
Residuals 24 76.0
3.167
F value
21.3158
24.4737
2.3684
Pr(>F)
0.00011 ***
1.608e-06 ***
0.11515
一元配置ｖｓ二元配置分散分析
（平均平方和に注目）
二元配置分散分析の「銘柄」「温度：銘柄」「Ｒｅｓｉｄｕａ
ｌｓ」の平方和を足すと
155.000 + 15.000 + 76.000 ＝ 246.000
一元配置と見なしたときの残差の平方和と一致
このように、二元配置分散分析は
2つの要因について同時に検討するだけでなく、
残差のばらつき（平方和）を減らすことで、それぞれ
の要因について有意な結果が得られやすくする
（検定力を高める）
という利点がある
７．４二元配置分散分析（２要因とも対応あり）
統計的仮説検定の一般的手順のうち
（１）帰無仮説と対立仮説の設定
（２）検定統計量の選択
（３）有意水準αの決定
は、対応のない二元配置分散分析のときと同じ
対応のない場合と異なるのは
検定統計量の計算方法
ここではａｏｖ関数を使う
温度の違い
例題：表7.8 銘柄の違い
A①冷蔵庫
Ｂ①イ
カアン
Ｂ②ボ
スビッ
ク
村松
6
10
川崎
4
井口
A②常温
Ｂ①イ
カアン
Ｂ②ボ
スビッ
ク
Ｂ③ビ
ビッテ
ル
11
5
7
12
8
12
4
6
8
5
10
12
2
5
5
松中
3
8
10
2
4
6
城島
2
9
10
2
3
4
評定者
Ｂ③ビ
ビッテ
ル
表7.8 ミネラルウォーターのおいしさの評定に関する実験
同じ評定者
データ
７．４二元配置分散分析（２要因とも対応あり）
> 人１ <- factor(rep(c("村松","川崎","井口","松中","城島"),6))
> 人１
[1] 村松川崎井口松中城島村松川崎井口松中城島村松川崎井口松中
[15] 城島村松川崎井口松中城島村松川崎井口松中城島村松川崎井
口
[29] 松中城島
Levels: 井口松中城島川崎村松
> 数字ＩＤ１ <- factor(rep(1:5,6))
> 数字ＩＤ１
[1] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
Levels: 1 2 3 4 5
７．４二元配置分散分析（２要因とも対応あり）
summary(aov(味~温度*銘柄
+Error(人１+人１:温度+人１:銘柄+人１:温度:銘柄)))
「味~温度*銘柄」までは対応のない二元配置分散分析と同じ
+Error(人１+人１:温度+人１:銘柄+人１:温度:銘柄)
が追加されている
対応のない分散分析で「残差」としてまとめられていたものを
人１
人１：温度
人１：銘柄
人１：温度：銘柄
の４つの要素に分ける
「温度」の主効果
「銘柄」の主効果
「温度」と「銘柄」の交互作用効果
温度の違い
例題：表7.9 銘柄の違い
A①冷蔵庫
A②常温
Ｂ①イカＢ②ボＢ③ビ
評定アン
スビッビッテ評定
者
ク
ル
者
Ｂ①イＢ②ボＢ③ビ
カアンスビッビッテ
ク
ル
村松
6
10
11
斉藤
5
7
12
川崎
4
8
12
和田
4
6
8
井口
5
10
12
寺原
2
5
5
松中
3
8
10
杉内
2
4
6
城島
2
9
10
新垣
2
3
4
７．５二元配置分散分析（１要因のみ対応あり）
> Ａ１条件 <- rep(c("村松","川崎","井口","松中","城島"),3)
> Ａ２条件 <- rep(c("斉藤","和田","寺原","杉内","新垣"),3)
> 人２ <- factor(c(Ａ１条件,Ａ２条件))
> 人２
[1] 村松川崎井口松中城島村松川崎井口松中城島村松川崎井口松中
[15] 城島斉藤和田寺原杉内新垣斉藤和田寺原杉内新垣斉藤和田寺原
[29] 杉内新垣
Levels: 井口寺原松中城島新垣杉内斉藤川崎村松和田
> 数字ID2 <- factor(c(rep(1:5,3),rep(6:10,3)))
> 数字ID2
[1] 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 6 7 8
[24] 9 10 6 7 8 9 10
Levels: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
7．5二元配置分散分析（1要因のみ対応あり）
summary(aov(味~温度*銘柄
+Error(人２:温度+人２:温度:銘柄)))
「味~温度*銘柄」までは対応のない二元配置分散分析と同じ
+Error(人２:温度+人２:温度:銘柄)
が追加されている
対応のない分散分析で「残差」としてまとめられていたものを
人２：温度
人２：温度：銘柄という要因に分解
各評定者は同じ温度の条件で３種類の銘柄を飲んでいる⇒個人差の要因
だから、個人差の要因である「人２」と温度の違いの要因をあらわす「温度」
が関係する組み合わせだけを指定
「温度」の主効果
「銘柄」の主効果
「温度」と「銘柄」の交互作用効果
拡張
同様に、三元配置、四元配置、...要因を増やして
分析することが可能
ただし、要因の数が多いと、分析が複雑になり、結
果の解釈が困難になることがあるので注意
分散分析は：基本的に平均値の比較の検定
主効果や交互作用効果の観点からデータにおけ
る値のばらつきの分析が可能

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