情報メディア創成学類 解析 II (Analysis II) GC1 1201 平賀 譲 春日研究棟 7B214 / (7D209) [email protected] http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/analysis2/ http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga.yuzuru.gf/analysis2/ 担当者・連絡先 • 担当教員： 平賀譲 – 居室： 7B214（学類長室）、（7D209 研究室） – オフィスアワーは特に設定しない – 訪問は対応可能な場合には受け付けるが、 予約をとることが望ましい – 比較的空いているのは木曜、金曜午後 ただしレポート提出前日等は原則として不可 – manaba による質問等の受付については検討中 2 日程（春学期 AB） • ４月 １０、１７、２４日 • ５月 １、１５、２２、２９日（８日は水曜振替） • ６月 ５、１２、１９日 期末試験： ６月２６日 3 履修ポリシー • 「解析 I」で不可（D）であった学生の受講は 制限しない。 – ただし、内容的には「解析 I」の内容を習得し ていることが前提なので、きちんと理解してい ないと本科目の単位もおぼつかない。 • 他学類履修者は「自由科目」扱いとなる。 （ただし、学類規定によってはその限りでな い） 4 授業の進め方 • 授業のスタイル： 講義＋演習 – 板書およびプロジェクタを併用する – 必要に応じて実習室を用いる • 成績評価 – 期末試験 – 演習（ないし小テスト）＋レポート（２～３回） – （出席状況） • 出席は毎回とる（出席表を回覧） 5 教科書・資料・参考書 • 教科書 齋藤正彦 「微分積分学」（東京図書） （「解析 I」と同じ）： ４～６章（＋α） – 若干部は春日購買部にある？ • 参考書については随時案内する • レポート問題等： 授業時に配布 • 授業の補足資料等 ⇒ 次スライド 6 授業の資料、連絡 • 授業ページ（資料配布・連絡等） http://www.slis.tsukuba.ac.jp/~hiraga/analysis2/ • ただし、manaba を利用する（資料配布等を manaba に移動する）かもしれない • 授業の資料等（PPT 資料を含む）は原則と して上記より各自がダウンロード・プリント アウトする（こちらで配布はしない） 7 授業の概要とねらい • 級数の基本事項 – 級数の収束・発散 – 整級数（ベキ級数） – 関数列 • 多変数関数の解析 （実際には２変数関数の場合を扱う） – 極限概念、位相の基礎（距離、開集合、閉集合）、関 数の連続性 – 多変数関数の微分（偏微分、（全）微分）とその応用 – 多変数関数の積分（重積分、線積分）とその応用 • その他 8 授業の概要とねらい（２） • 基礎的な概念理解、計算力を身に付ける。 特に 「微分」 の概念 • 数学における抽象的な扱い・考え方・論証 方法に習熟する • 実際の現象を理解する数理的視点や、問 題を解決するための応用力を養う • （数学ソフトなどのツールを使いこなす） 9 教科書との関係 • 教科書（４章～６章）が主な対象だが、その すべての内容を扱うわけではない • 逆に授業や補足資料で、教科書にない内 容を扱う場合もある • 教科書の例題、練習問題などは自力で解 ける水準に達することが望まれる （もっとも中には難しい問題もある） 10 他科目との関係 • 「解析 I」の内容はすべて前提となる • 「線形代数 I, II」とは密接なつながりがある （話によってはそちらを先取りする） • 「確率と統計」、「統計分析」、「情報数学 III」（幾何学）、「信号とシステム」などに必 須の前提となる • その他、数理系科目全般の基礎となる 11 履修者に望むこと • 「大学生」としての履修・勉強をする – 「言われたから（言われたことだけを）やる」といった受 け身な態度ではダメ – わからないところがあったらそのままにしておかない 質問する、学生同士で教えあうなど – 遅刻しないこと！ • 何のために勉強するのか、何を修得することを目 的とするのかを常に自覚しておく – 授業の前より一歩でも半歩でも前進していること 12 数学計算ソフト（１） • 主な用途・目的 – 定型的な数値的計算 （複雑な計算は電卓よりラク） – グラフ、画像の生成・表示 – 記号的な数学計算（微分・積分・因数分解等） • 補助的・実用的ツールとしては非常に有用。 もちろん、「手計算でもできる」ことが前提 13 数学計算ソフト（２） • 全学計算機システムで使えるもの （いずれも Windows モード）： – Mathematica （無制限） 高度・高機能な描画・記号計算ソフト – Matlab （25ライセンス） Mathematica よりは機能は劣るが、その分使 い心地は軽い。信号計算などに強い – Excel 表計算、簡単なグラフ作成 うまく使えばいろいろ利用価値あり 14 数学関係 Web サイト例（１） • Wolfram MathWorld http://mathworld.wolfram.com/ Mathematica の製作会社が提供する Web 百科 事典 • Online Encyclopedia of Integer Sequences http://www.research.att.com/~njas/sequences/ あらゆる数列（整数列）の百科事典 • Wikipedia • 授業ページのリンクも参照 15 数学関係 Web サイト例（２） • オンラインの計算サービス（Wolfram） – Wolfram Alpha http://www.wolframalpha.com/ 多機能質問応答システム（数学計算も含む） – Integrator http://integrals.wolfram.com/index.jsp – 積分計算サイト – いずれもベースで mathematica を使用 16 数学を学ぶとは？ • • • • 数学は役に立つ？ 数学は道具？ 数学は難しい？ 数学は嫌い？ – 好きだからおもしろい？ – わからないから嫌い？ – 難しくてもおもしろい？ • パズルやクイズはおもしろくない？ – それとどう違うのかなあ。 17 どこが難しい／嫌い？ • 基本的な用語・概念・定義が正確に理解できてい るか。 – 実はかなり難しい。 → ちゃんとできれば数学はわかったも同然。 • 面倒な計算 – これは私もイヤだ（だからラクをしたい）。 • • • • 数理的なものの見方、扱いを身に付けているか？ 筋道だって論証・導出を組み立てられるか。 直観的・感覚的な理解ができているか。 （ひらめき、アイディア、．．．） – 入試の難問、数学オリンピックレベルでは必須 18 問題例１ 0 • 関数 𝑦 = 𝑓 𝑥 が上図のようなグラフのとき – 導関数 𝑦 = 𝑓 ′ 𝑥 – 不定積分 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑓 −∞ 𝑥 𝑑𝑥 のグラフの概形をそれぞれ示せ。 19 問題例２ 0 レベル２ • 関数 𝑦 = 𝑓 𝑥 のグラフが上図になるような 𝑓 𝑥 の具体例を数式で示せ。 20 問題例３ • あるマラソン走者が 40km を２時間ちょうど で走った。このとき、ある 1km 区間で、「正 確に」３分ちょうどで走ったものがあること を示せ。 21 問題例４ （無限級数） • 次の和を求めよ。 1 1 1 1 1 1+ + 2+ 3+ 4+ 5+⋯ 2 2 2 2 2 • 次の和を求めよ。 1+1−1+1−1+1−⋯ • 答（が得られたとして）それが正しいことを 説明できるか？ • 有限和と無限和とはどう違うか？ 22
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