国際連合論（第1回） 計量分析入門 久保田徳仁 政治学の雑誌でよく見かける表 数字が出てくる2つのパターン • モデル化（ゲーム理論、意思決定論など） →複雑な世界を単純化して示すための手段 →理屈に矛盾がないことを示す（内部整合 性）＝数理分析 • 実証（統計分析） →理論が現実とあっているかを証明する手段 （外部整合性）＝計量分析 ここで扱うのは後者の計量分析 実証研究 • 目的：ある理論が空想の産物ではなく、実態 をきちんと表現していることを証明する。 • 理論の例：民主的平和（民主主義国同士は 戦争をしない） • さまざまな方法：事例分析、計量分析、比較 事例分析（Structured Focused Comparison: SFC法） なぜ計量分析？ • 事例研究、比較事例研究には大きな欠点が ある – 事例選択が恣意的になりやすい（理論に合致す るものばかりを選ぶ傾向がある） – 現実はさまざまな要素が作用しているので、どの 要素が重要なのかは１，２の事例を見ただけでは 判別できない。 例）戦後日本とアメリカの間に戦争が起きていない ことを例に挙げて民主的平和論が証明されたと いえるか？ 計量研究の利点 • 数量化することでできるだけ多くの事例を扱 えるようにする（事例選択の恣意性を排除す る） • 各事例に作用していると思われる要素すべて をモデルに入れて効果のあるものを判定する ことができる（変数のコントロール） 変数 • 考慮されるものは、数ではないものも含めて すべて「変数（variable）」と呼ばれる • 従属変数（被説明変数：dependent variable）：理論において「結果」と考えられる 現象 例）戦争の発生 • 独立変数（説明変数：independent variable）：理論において「原因」と考えられる 現象 例）民主主義の成熟度、GDP、対立の 歴史・・・ • 通常従属変数はひとつ、独立変数は複数 基本の発想（例） • 世界各国のすべて の2国間関係を調べ たときそれぞれの国 が経験した戦争の頻 度は民主主義の進 展と負の比例の関係 にあるか？ 戦 争 の 頻 度 民主主義の成熟度 データ化 • どういうデータがあればよいか？ • 戦争の頻度（回） • 民主主義の成熟度（恣意的ではない方法で 数値化） – PolityIVというデータバンクではー１０～＋１０とい う指標で各国の民主主義を評価している – 2国間なので小さいほう（民主主義が未熟なほう） のデータを使う（これは恣意的に） データの例（仮想の事例） 事例 国 １ ２ ３ ４ ５ ６ A国ーB国 B国ーC国 C国ーA国 D国ーA国 D国ーB国 D国ーC国 戦争の頻度 民主主義の成熟 度 １０ ２ ０ ５ ０ ３ ５ ２ ５ ４ ０ ５ 図にしてみると・・・ 民主主義の成熟度と戦争の頻度（例） 6 戦争の頻度 5 4 3 2 1 0 0 5 10 民主主義の成熟度 15 どうやら2つの変数の間には相関関係 がありそう 民主主義の成熟度と戦争の頻度（例） 6 戦争の頻度 5 y = -0.24x + 4.3 4 3 2 1 0 0 5 10 民主主義の成熟度 15 数式化（単回帰） • 数式化すると・・・ 戦争の頻度＝ ー０．２４×（民主主義の成熟度）＋４．３ • ではこの「－0.24」や「4.3」はどうやって出た のか？ • →最小二乗法（コンピュータが計算してくれる ので心配しなくてよい） 最小二乗法（念のため） • 基本の数式が Y=βX+α • しかしすべての現象には誤差がある Y=βX+α+ε • 誤差が一番少なくなるようにβとαを決める • 誤差ε=Y-βX-α • 誤差は正負の両方に生じるので2乗して符号をそろえる ε2=(Y-βX-α)2 • YとXの値を事例１から６まですべて当てはめて合計 Σε2＝Σ(Y-βX-α)2 ＝(2-β10-α)2+(5-β0-α)2+… これをαとβでそれぞれ偏微分して０とおいた答えが-0.24と4.3 「影響がある」とはどういうことか？ 民主主義と戦争の頻度 民主主義の成熟度と戦争の頻度（例） 6 6 5 y = -0.24x + 4.3 4 戦争の頻度 戦争の頻度 5 3 2 1 y = -0.12x + 4.3 4 3 2 1 0 0 0 5 10 民主主義の成熟度 15 0 5 10 15 民主主義の成熟度 20 • 民主主義の指標を2倍してみたら係数が半分になっ た（-0.12）。でも関係の強さは同じ。単位の問題。 25 影響があるとはどういうことか？（ｔ値） • 指標の単位に影響されないようにするために開発された数 • • • • • • 値が「標準誤差（S.E.）」。 ばらつきが大きければS.E.も2倍になる 例１の民主主義の標準誤差は0.11 例２の民主主義の標準誤差は0.06 これらの値に対して係数の絶対値が大きければその変数は 従属変数と強い相関関係があるということになる。 -0.24／0.11=-0.12／0.06 つまり関係の強さは同じで負の 効果がある 係数を標準誤差で割った値（t値）は単位に依存しないため 影響力の強さを比較することができる 関係の強さと係数、標準誤差 民主主義と戦争の頻度 6 8 7 6 5 4 3 2 1 0 5 y = 0.06x + 4.3 戦争の頻度 戦争の頻度 民主主義と戦争の頻度 y = -0.12x + 4.3 4 3 2 1 0 0 5 10 民主主義の成熟度 係数＝0.06 標準誤差＝0.2 Ｔ値＝0.28 15 0 5 10 15 民主主義の成熟度 係数＝－0.12 標準誤差＝0.11 Ｔ値＝－2.02 右側のほうがはっきりと関係を示している 左側はランダムに点を打ってもそんな形になりそう 20 25 でたらめと言い切れるか？（検定） • Ｔ値の絶対値が小さいとき「影響がない＝でたらめにサンプ ルをとってもそのような結果になる」と疑われる • Ｔ値の絶対値が大きいと、さすがに「でたらめ」とはいいがた い • でたらめに点を打ったときのＴ値が出る確率はコンピュータ が計算してくれる：Ｐ値 （サンプルの数によるが、±2.5を超えると奇跡に近い） • 通常確率が5％以下になるともはや奇跡としかいえなくなる ので、やはりでたらめではなく、独立変数は従属変数に影響 があると認めざるを得ない。（独立変数は有意水準５％で有 意） • こうした方法を統計的検定と呼ぶ。 検定 8 7 6 5 4 3 2 1 0 民主主義と戦争の頻度 6 y = 0.06x + 4.3 5 戦争の頻度 戦争の頻度 民主主義と戦争の頻度 0 5 10 民主主義の成熟度 係数＝0.06 標準誤差＝0.2 Ｔ値＝0.28 Ｐ値＝0.7 15 y = -0.12x + 4.3 4 3 2 1 0 0 5 10 15 民主主義の成熟度 係数＝－0.12 標準誤差＝0.11 Ｔ値＝－2.02 Ｐ値＝0.1 右の例がランダムに起きる確率は１０％（５％以下ではないので微妙） 左の例はランダムにやっても７０％の確率でおきるので有意ではない 20 25 表にすると・・・ 例１（有意ではな 例2（微妙に有 い） 意） 4.3** 4.3*** 切片 (0.59) （1.06） -0.24† 0.06 民主主義の成熟 度 （0.21） （0.11） Ｎ（事例の数） ６ ６ • † P<0.1 *P<0.05 **P<0.01 ***P<0.001 （）内は標準誤差 要は係数の符号と星の数を見ればよい 変数のコントロール • でも経済的な豊かさ も戦争の頻度と関係 しているのでは？ • →経済的な豊かさを 「コントロール」する 戦 争 の 頻 度 豊 か さ 民主主義の成熟度 例）豊かさも民主主義も重要 コントロール（続き） 戦 争 の 頻 度 戦 争 の 頻 度 豊 か さ 豊 か さ 民主主義の成熟度 例）豊かさをコントロールすると 民主主義は無関係 民主主義の成熟度 例）豊かさをコントロールすると 民主主義は逆効果 複数の変数を考慮することをモデル に表すと･･･（重回帰分析） • ヒント：先の図では三次元の面のグラフを求めた • 答え： • (戦争の頻度)＝β1×（民主主義の成熟度） • • • • ＋β２×（豊かさ）＋α このように係数×変数を数式に入れるだけでよい。 3個以上の独立変数を入れることもできる あとは標準誤差もＴ値もＰ値もコンピュータが計算し てくれる ただし、ここでのβやＴ値はほかの変数が一定だった とき（コントロール済み）の値 民主主義が１上がるとβ１だけ戦争の頻度が変化し、 豊かさが１上がるとβ2だけ戦争の頻度が変化する 重回帰分析に必要なデータ 事例 国 １ ２ ３ ４ ５ ６ A国ーB国 B国ーC国 C国ーA国 D国ーA国 D国ーB国 D国ーC国 民主主義 豊かさ 戦争の頻 の成熟度 度 １０ ３ ２ ０ ８ ５ ０ １０ ３ ５ ３ ２ ５ １ ４ ０ １０ ５ 数じゃない変数だったら？ • 「アジアの国」や「独裁国家の国」といった数 字で表せない場合は・・・ • ダミー変数を作る（アジアの国＝１、それ以外 の国＝０） • 独立変数がダミー変数である場合は普通に 回帰分析を行うことができる。 • 係数はその条件を満たす場合とそうでない場 合の差を表している。 ダミー変数 事 国 例 １ ２ ３ ４ ５ ６ A国ーB国 B国ーC国 C国ーA国 D国ーA国 D国ーB国 D国ーC国 民主主 豊かさ アジア 戦争の頻度 義の成 熟度 １０ ３ １ ２ ０ ８ ０ ５ ０ １０ １ ３ ５ ３ １ ２ ５ １ ０ ４ ０ １０ ０ ５ 独立変数に条件がつく場合 • 例）アジアの国だけは民主主義の成熟度に比例し て戦争が起きる（という仮説） • アジアの国（１or０）というダミー変数がある。 • 民主主義の成熟度という変数もある。 • これをかけると・・・ アジアの国×民主主義の成熟度 という変数ができる（これを相互作用項：interaction termと呼ぶ）。この係数の有意性検定をすればよい。 • このとき、「アジアの国」という変数も、「民主主義の 成熟度」という変数もモデルに入れておくこと。 相互作用項 事国 例 １ ２ ３ ４ ５ ６ A国ーB国 B国ーC国 C国ーA国 D国ーA国 D国ーB国 D国ーC国 民主主 豊か ア アジア 戦争 義の成 さ ジ ×民主 の頻 熟度 ア 主義 度 10 １０ ３ １ ２ 0 ０ ８ ０ ５ 0 ０ １０ １ ３ 5 ５ ３ １ ２ 0 ５ １ ０ ４ 0 ０ １０ ０ ５ 重回帰分析の結果 独立変数 • サンプルが少ないので • • まともな分析ではない が･･･ Nが小さいとPが十分小 さくならない。（なぜで しょう？） †P<0.1, *P<0.05, **P<0.01, ***P<0.001 係数（標準誤差） 切片 3.97* (0.52) 民主主義の成熟 度 -0.01 (0.10) 豊かさ 0.11 (0.05) アジア -2.14* (0.21) アジア×民主主 義 -0.00 (0.07) N ６ 重回帰分析で気をつけなければなら ないこと • 変数が多くなると、コンピュータが係数やＰ値を推定 • • するのにたくさんのデータが必要になる。 30以上の独立変数を扱うためには1000や2000の データを集める必要がある。 独立変数同士が相関関係を持ってしまうと（豊かさ と民主主義の成熟度）どちらの効果かコンピュータ も判断できなくなる（多重共線性問題：マルチコ： Multicolinearity）→むやみに変数を入れない 従属変数が特殊なとき • 従属変数がダミー変数（戦争した/しない 等） – 最小二乗法では扱うことができない（条件が満た されない） – →ロジットモデル、プロビットモデルなどが使わ れる。直線の変わりにＳ字曲線が当てはめられる （係数は単純な読み方ができない） – でも表の見方は同じ。係数の正負と星の数。 • 時系列（や比較事例と時系列のミックス）を扱 う場合 – さまざまなモデルが用いられる（覚えなくてよい） では最初の表から何がわかるか？ 計量分析の難点・問題点 • データを集めるのが大変（1000の事例をどう やって集めるか）。 – 時間で区切って毎年観察する。200カ国×10年 ＝2000 – インターネット上のデータセットを利用する ＣＯＷ、ＩＣＯＷ、Ｐｏｌｉｔｙ – データを生成してくれるソフトもある（EUGENE） – どうしてもデータがない場合「欠損値」が生じるが、 （アフガニスタンのGDPなど）これはソフトで補完 する 計量研究の難点･問題点２ • データ化する際に恣意的になりやすい（この 国の民主主義の成熟度は本当に「５」なの か？） – データを公開し多くの人に批評してもらう – PolityやCOWは、批判があるものの数十年間使 われ続けている。 計量研究の問題点３ • 統計モデルにどの変数を入れるかでP値が大 きく変わってくる。 – さまざまな妥当なモデルを作って、それでも有意 であることを示す必要がある。
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