第４回 推 論（２） 1 知識表現の種類と特徴-７（再） 述語論理(predicate calculus, logic) 種々の知識を表現するための形式的言語 ～ 第１階述語論理 知識を記号の式として数学的に表現 cf）述語： 真偽判定可能な叙述 例） (∀Ｘ)(elephant(X) → color(X, gray)) 理論的基盤が保証されている 導出原理(resolution principle)による推論 人間の持つ曖昧性を組み込むことが困難 2 述語論理表現に用いる記号 定数 変数 関数記号： plus(X, Y) 述語記号： red(X)、study(x, school, English) 論理結合子： -連言(conjunction): ∧ 選言(disjunction): ∨ -否定(negation): ￢ 含意(implication): → 束縛（量）記号： -全称記号: ∀ 存在記号: ∃ 3 融合法（背理法） 一階述語論理の論理式が充足不能（恒偽）かどう かを判定する部分的決定手続き 1. 冠頭標準形への変換 2. Skolem標準形への変換 3. 融合の実行 代入 単一化 融合節の生成 空節の導出 ～ 矛盾生成 4 融合法（背理法）の原理 対象領域D, 論理式M[x]に対し， ∀ｘ [M[x]]が真であることを示すのは困難 一方， ∃a∈Dに対し， M[a]が偽であることを示せば 恒偽式であることは示せる 5 節形式 素（原子）命題： 述語記号と項から構成される命題 リテラル(literal)： 素命題、または素命題の否定 節(clause)： リテラル、またはリテラルの選言 節形式命題： (∀x1) (∀x2) ・・ (∀xn)[C1∧C2 ∧ ・・∧Cm] []内： 母式(matrix) 6 節形式への変換-1 冠頭標準形：論理式F: (Q1x1)・・・(Qnxn)α (Q1x1)・・・(Qnxn)：冠頭部α：本体 Qi:束縛子 P → Qを￢P∨Qに、 Ａ≡Ｂを（ ￢Ａ∨Ｂ）∧（ ￢Ｂ∨Ａ）に変換 否定記号の括り出し： ￢（￢Ａ）=Ａ ￢（Ａ∧Ｂ）= （ ￢Ａ∨￢Ｂ） ￢（Ａ∨Ｂ）= （ ￢Ａ∧￢Ｂ） ￢ ((∀x)α）= (∃x)(￢α) ￢ ((∃x)α）= (∀x)(￢α) 7 節形式への変換 -2 Skolem標準形への変換 連言標準形へ変換 存在記号∃の除去： (∀x) (∃y)P(x,y) = (∀x) P(x, f(x)) f(x): Skolem関数 存在記号を含む変数を引数とする新しい関数 で置き換えたもの 8 第９回 一階述語論理 [email protected] 節形式への変換 -3 1. 分配法則を用いて、母式を 選言の連言結合形に変換： （Ａ∧Ｂ）∨（Ｂ∧C）=（Ａ∨Ｂ）∧ （Ｂ∨C）∧Ｂ∧（Ａ∨C） P∨（Q∧R）=（P∨Q）∧（P∨R） P∧（Q ∨ R）=（P∧Q）∨（P∧R） ２．節集合への変換： P ∨ Q ∨ ￢ R ⇒ {P, Q, ￢ R} （Ａ∨Ｂ）∧ （Ｂ∨C）∧Ｂ∧（Ａ∨C） ⇒ {{A,B}, {B,C}, {B}, {A,C}} 9 融合法による推論-1 節の統合 ～ 節集合に変換する前 基本：(P, P→Ｑ）⇒Ｑ (P→Ｑ, Ｑ→R）⇒ P→R 例： C1 = L∨M1∨M２ ・・ ∨Mｋ C２ = ￢L∨N1∨ N2 ・・ ∨Nl の統合 (￢M1∧ ～M２∧ ・・ ∧ ～Mｋ） → L 及び L → (N1∨ N2 ・・ ∨Nl ） ⇒ (￢M1∧ ￢M２∧ ・・ ∧ ￢Mｋ） → (N1∨ N2 ・・ ∨Nl ） ⇒ M1∨M２ ・・ ∨Mｋ∨ N1∨ N2 ・・ ∨Nl = C３ 10 融合法による推論-2 単一化(unification) 複数のリテラルの変数に適当な項を置換・代入 することにより、全てのリテラルを同一化すること 置換(substitution) s=P/Q: 変数QをPで置換える こと ← 全称記号∀のみなのでOK 例）P(y, f(x))とP(a,z)の単一化 ｓ１=a/y: P(y, f(x)) ⇒ P(a, f(x)), P(a,z)不変 ｓ2=f(x)/z: P(a, z) ⇒ P(a, f(x)) で一致 11 融合法による推論-3 融合節の生成・空節の導出 ← 導出原理(resolution principle) 目標の否定を前提に加えた節の集合から 導出・単一化を繰り返すことにより、矛盾 （空節）を導く 12 融合法による推論例 前提S： A(x, b, c)∨B(x) ￢A(g(a), y, z) ￢B(v)∨ C(y, f(u)) 目標： C(b, f(h(y))) [解法] 目標の否定￢C(b, f(h(y)))を前提Ｓに加えて ＮＩＬを導出: 一通りとは限らない 13 融合法による推論の例(結果） ￢ P∧￢P＝空 ￢ ￢ 14 不確実な事実・知識による推論 例外（非単調性）に起因する不確実性： - サーカムスクリプション - デフォルト推論 曖昧さに起因する不確実性： - 信頼性係数（ＣＦ：Certainty Factor) - ファジィ理論 - Dempster-Shafer(DS)理論 15 非単調論理による推論 論理体系の単調性： Ａ⊂Ｂ ならば Ｔｈ（Ａ） ⊂Ｔｈ（Ｂ） Ｘ： 矛盾の無い命題（公理）の集合 Ｔｈ（Ｘ）： Ｘから証明される定理の集合 ＊拡張： 公理系に推論規則を適用することにより 論理式の集合（定理群）を得ること 非単調論理(non-monotonic logic)： 単調性が成立しない論理体系 ←例外を含む知識（常識・・）が存在、・・ 16 例外への対処 知識の適用対象を限定することによる 古典（述語）論理への帰着： - サーカムスクリプション 様相記号の導入による古典論理の拡張： - デフォルト推論 17 閉世界仮説とサーカムスクリプション 閉世界仮説(closed world assumption)： ￢P(x)が証明できなければP(x)は真とする ～ 実世界では不成立、人間の通常の推論過程 サーカムスクリプション(極小限定) ： 述語P(x)に関する命題A(P)が成立している場合 A(φ）∧(∀x)[{φ(x)∧ ￢E(φ）} → P(x)] → (∀x) [P(x) →φ(x)] E:例外 18 閉世界仮説とサーカムスクリプションの例 P≡BLOCK: (∀x)[BLOCK(x)→(x=a∨x=b∨x=c)]:閉世界仮説 A(φ）∧(∀x)[φ(x) → BLOCK(x)] → (∀x) [BLOCK(x) →φ(x)] ここでφ(x) ≡ (x=a ∨x=b ∨ x=c)とすれば、 (∀x)[(x=a ∨x=b ∨ x=c) → BLOCK(x)] → (∀x)→[BLOCK(x)(x=a ∨x=b ∨ x=c)] φ(x)≡RED (x)とすれば、 [RED(a)∧RED(b)∧RED(c)] ∧(∀x)[RED(x) → BLOCK(x)] →(∀x) [BLOCK(x) →RED(x)] 19 デフォルト推論 Ｐが成立ち、￢Ｑが証明されていなければ、 Ｒが成立つ； Ｐ：ＭＱ Ｒ Ｐ：前提 Ｑ：仮定 Ｒ：帰結 Ｍ：様相記号 正規デフォルト規則： Ｐ：ＭＱ Ｑ 拡張： 公理系に推論規則を適用することにより 論理式の集合（定理群）を得ること - 多重拡張 ～ 拡張結果が複数通り出現 - 演繹結果が規則の適用順序に依存 20 デフォルト推論の例 鯨(x) → 脊椎動物(x) 鯨(x) → ￢翼がある(x) 哺乳類(x) → ゆったり 鯨(x) → 水棲(x) (x) 鯨(x) → 恒温動物(x) ￢翼がある(x) → ￢飛ぶ(x) 哺乳類(x) → ￢魚類(x) 鯨(x) → ゆったり(x) 恒温動物(x) ∧￢飛ぶ(x)：Ｍ哺乳類(x) 哺乳類(x) 21 信頼性係数による推論 血液感染症診断支援・MYCINで最初に導入 後向き推論の効率化に有効 理論的裏付けに乏しい 更新規則：前件（左辺）C1＊C２ ・・、 後件(右辺)Ａ CF(右辺)= CF(左辺) CF(規則) CF(C1∧C２ ・・ ∧Cｋ)=min(CF(Ci ) ) CF(C1∨C２ ・・ ∨Cｋ)=max(CF(Ci ) ) ～当初 その後は、 =CF(C1)+CF(C２)(1-CF(C1))・・ 22 ＭＹＣＩＮにおける知識の例 事実型： ・培養基の場所は血液である(1.0) ・培養基の菌は好気性である(0.25) ・培養基の菌は大腸菌である(0.75) (): 確信度 プロダクションルール型： もし 感染症の種類が一次敗血症であり、 培養基の場所が無菌の場所であり、 培養された菌の入口が胃腸管と推定される ならば、 その菌はバクテロイドである兆候がある(0.7) 23 ＭＹＣＩＮにおける推論の例 0.4+0.54(1.0-0.4)=0.72 後向き推論： 結論を仮定して、 ルールの前件部を チェックすることにより、 結論の確からしさを チェック 0.5+0.8(1.0-0.5)=0.9 24 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] ベイズネットワークにおける確率推論 ベイズの定理に基づく不確実な情報に 基づく推論 確率変数間の依存関係に関する知識を グラフとして保持・更新 ・ノード： 確率変数 ・アーク： ノード間の因果関係の存在 25 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] 確率集合関数 コルモゴロフの公理系 P(E)≧０ P(Ω) =１ Ω：基礎空間（事象の全体集合） Fi が互いに独立（素）の時 P(F1∪Ｆ２ ∪・・ ∪Ｆｋ) = P(F1) ＋ P(Ｆ２ ) ＋・・ ＋P(Ｆｋ) 26 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] 基本的な性質 1. 2. 3. 4. P(φ）= 0 φ:空集合 E⊇Fの時 P(E)≧P（F) P(Ec)=1 - P(E) Ec :Eの補集合≡Ω- E P(E∪F)=P(E)+P(F)- P(E∩F): 確率の加法公式 27 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] 条件付確率と乗法定理 事象E,Fに関して， 条件付確率： P(E/F) = P(E∩F)/P(F) 確率の乗法公式： P(E∩F)= P(F) P(E/F) = P(E) P(F/E) ●E,Fが独立の時， P(E∩F)= P(E) P(F) 28 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] ベイズの定理 Fi が互いに独立（素），かつ F1∪Ｆ２ ∪・・ ∪Ｆｋ= Ω P(E) = P(E/F1)P(F1)+ P(E/F２)P(F２) +・・・ + P(E/Fｋ)P(Fｋ) ベイズの定理： P(Fi/E) = P(E/Fi)・P(Fi) / P(E) = P(E/Fi)・P(Fi) / ｛P(E/F1)P(F1)+ P(E/F２)P(F２) +・・・+ P(E/Fｋ)P(Fｋ) ｝ 29 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] ベイジアンネットの性質 ネットワークにおける全ての変数に対し，その親 に条件付けされた各ノードの結合確率を規定す るだけでOK 以上で規定された条件付き確率は大域的に無 矛盾であることが保証 各ノードにおける条件付き確率の集合は ネットワークにおける全てのノードの唯一の結合 確率分布を規定 確率変数：｛真，偽｝ 30 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] ベイズネットワークの例 「ボーナス」－「収入」： ボーナスが真のとき， 収入が真の確率0.8 偽の確率0.2 ボーナスが偽のとき， 収入が真の確率0.3 偽の確率0.7 31 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] ベイズネットワークのアルゴリズム 1. 2. 3. 観測された変数の値をノードにセット 親ノードも観測値も持たないノードには 事前確率分布を付与 確率を伝播し，知りたい対象の変数Xの 事後確率を計算 32 第１2回 不確実性の取り扱い [email protected] ベイズネットワークの例：確率計算 P(収入）＝P(収入/ボーナス）・P(ボーナス）＋ P(収入/￢ボーナス）・P(￢ボーナス） ＝0.8・0.6 + 0.3・(1.0-0.6) = 0.6 P(旅行）＝P(旅行/収入）・P(収入）＋ P(旅行/￢収入）・P(￢収入） ＝0.2・0.6 + 0.5・(1.0-0.6) = 0.32 33 ファジイ理論による推論 米・L.A.Zadehが提案 (1965) 確からしさを0～１の実数値で表現：主観 membership(所属度)関数による連続表現 μ(f(x)∧g(y))=min{μ(f(x)), μ(g(y)) } μ(f(x)∨g(y))=max{μ(f(x)), μ(g(y)) } 34 推論の例(エアコンの制御） 温度３０度のときの目盛？ 快適 → 切る やや暑い → 弱にする 暑い → 強にする 35 推論結果(エアコンの制御） 温度３０度 大きい方を選択 (1x0.4+2x0.4+ 3x0.2+4x0.6+ 5x0.6)/(0.4+0.4+ 0.2+0.6+0.6) =3.3 36
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