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本日のメニュー（6/9）
• 「考える」ということ
– 理性的・合理的な思考とはどういうことか
– それを形式的・客観的な手法で記述・定式化できるか
⇒ 論理学
– それを機械によって実現できるか
⇒ 人工知能
• 人工知能は何を実現しえたか、人間の認知研究
とどのような関わりを持つか。（次回も）
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本日のキーワード
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論理学・記号論理
数学基礎論
形式体系
チューリングマシン
チャーチ・チューリング
の提唱
• 形式体系の限界
• 記号処理
• チューリングテスト
• 人工知能
• ダートマス会議
• （人工知能関係のキ
ーワードは次回資料）
2
はじめに
• 機械が考えたり、人間のようにふるまったりす
るのを考えるのは楽しいし簡単
– 鉄腕アトム、C3PO/R2D2 等のロボット、
HAL (2001 Space Odessey)、等々
– しかし（研究者の目から見ると）不自然な点も多い
• 技術的に極めて困難なことが易々と実現されている
• 逆にそれほど難しくないことがさも難しいように扱われる
• 過度の擬人化、等々
• 一方で、（真面目な研究対象として）「考える」こ
とを解明しようとする、それを機械で実現しよう
とするのはどういう発想に拠るのだろう？
3
そもそもなぜコンピュータか
• からくり人形や時計は知能を持ちうるか。
• 自動楽器は音楽の演奏か
• 「チェスを指す人形」（ケンペレン作）
• 計算器（パスカル、ライプニッツ、バベッジ）
• コンピュータは他の機械と何が違うか。
• コンピュータに知能が実現できると考える
先験的な根拠はあるのか。
• コンピュータは人間の認知を実現しうるの
か、それについてどんな知見を与えるか。
4
そもそもなぜコンピュータか（２）
• コンピュータは：
– 計算を行う機械である
– 記号処理機械である
– 特定の仕事をする機械ではない。どのような情報処理
も（プログラムされれば）実行できる。
⇒ 汎用機械、万能機械である
• 人間は：
– 脳・神経細胞 300億個
– １０億年の進化
– 66 億の人口 ...
5
そもそもなぜコンピュータか（３）
• コンピュータの登場（1950 年代）に至るまで
– 論理学の整備（紀元前から）
– 思考の手段・表現としての記号・言語
（Leibniz（17C）以来）
– その延長上での記号論理の誕生（19C）
– 数学の形式化と基礎付け（数学基礎論：19C 末～）
– 形式的体系、記号論理の発達（20C 前半）
– 神経系の計算モデル（McCulloch & Pitts, 1943）
⇒ パーセプトロン、ニューラルネット
– サイバネティックス（Wiener 1948）
– （情報理論： Shannon 1948）
6
論理学（Logic）
• 人間が筋道だって、理性的・合理的に物事を思考・
推論する過程・構造そのものを対象とする学問。
• 古典的にはやはりアリストテレスにより集大成され
る（名辞論理）。
– 「三段論法（syllogism）」：
「A は B である」、「B は C である」なら
「A は C である」
– これに否定・限量（「ある」、「すべての」）を加えた 256 通
りのパターンを分類し、「正しい推論」 24通りを抽出。
• 下って Leibniz（17 世紀）の「普遍言語」
7
論理学（２）
• 大きな転換は 19 世紀以降：
Boole, de Morgan, Frege らにより、記号論理
（命題論理・述語論理）が築かれる。
• Russell & Whitehead による
Principia Mathematica (1910) は
そういった（古典）記号論理の集大成。
– 数学の基礎付け（論理化）を図ったもの
⇒ 「ヒルベルト・プログラム」
– 論理実証主義の先導役（Wittgenstein と合わせ）
– 最初の人工知能プログラム（Logic Theorist）の題材
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記号論理
• 「古典論理」（20C 初頭までの記号論理）
– 命題論理（ブール代数、他）
– 述語論理（Frege）
– その集大成が Russel & Whitehead
• 20C 以降の論理
–
–
–
–
–
–
（直観主義論理、構成的論理）
様相論理
多値論理
ファジイ論理
量子論理
その他
9
命題論理
• 命題を記号 𝑃, 𝑄, 𝑅, … で表す
– 値は真・偽（1 / 0）のいずれか
• 命題間の演算記号を導入する
– 標準的には￢（否定 not）、かつ（∧ and）、または（∨
or）、ならば（→ implies）、同値（≡ equivalent）
𝑃
￢𝑃
𝑃 𝑄
𝑃∧Q
𝑃 𝑄
𝑃 ∨Q
𝑃 𝑄
P→Q
𝑃 𝑄
P≡Q
0
1
0 0
0
0 0
0
0 0
1
0 0
1
1
0
0 1
0
0 1
1
0 1
1
0 1
0
1 0
0
1 0
1
1 0
0
1 0
0
1 1
1
1 1
1
1 1
1
1 1
1
• それによる命題論理式で論理関係を表す
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述語論理
• 命題論理に加えて述語記号を導入する
– 述語：真偽を値とする関数 𝐹 𝑥 , 𝐺 𝑥, 𝑦 , …
– 𝑥, 𝑦等の変項（変数）は「個体」を表し、
適当な「議論領域」を定義域とする
– 新たな論理記号として全称記号 ∀𝑥: 𝐹 𝑥 、特称
記号（存在記号）∃𝑥: 𝐹 𝑥 を導入する
• １変項述語は議論領域の部分集合を表す
集合 𝐴 = 𝑥 | 𝐴(𝑥)
• 高階の述語論理
– 述語の変項に述語を許したもの
（定式化の仕方はいろいろある）
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恒真性、公理系
• どのような解釈のもとでも真である論理式を
トートロジー（tautology）、より一般には恒真
式と呼ぶ。例： A∨￢A、A→A
– 参考：「存在仮定」： ∀𝑥: 𝐹 𝑥 → ∃𝑥: 𝐹 𝑥 か？
• 記号論理の公理系
– 少数の公理（となる論理式）と変形規則により、
他の論理式（＝定理）を導く形式的体系
– 目標はすべての恒真式を定理として表すこと
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完全性、決定可能性
• 命題論理
– すべての恒真式を過不足なく表す公理系が存在する（完全性）
– すべての論理式について、それが恒真式（＝定理）か否かを決定
するアルゴリズムが存在する（決定可能性）
• 述語論理
– すべての恒真式を過不足なく表す公理系が存在する（完全性）
– 任意の論理式が恒真式か否かを決定するアルゴリズムは存在し
ない（決定不能性）
• 高階論理（=自然数論を含むような）
– すべての真である論理式を定理とする公理系は存在しない。
– 特に真であって定理でない論理式が必ず存在する（不完全性１）
– その公理系の無矛盾性はその公理系では証明できない（不完全
性２）
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数学の基礎付け・形式化
•
•
•
•
Peano: 自然数の公理系
Dedekind, Cantor, Weierstrass: 実数論
Cantor: 集合論
Hilbert: ユークリッド幾何学の公理系
• David Hilbert （1862～1943）
– 20世紀最大の数学者
– 数学のあらゆる分野に貢献
– 「ヒルベルトの２３の問題」
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数学基礎論
• 数学・論理学の定式化に対する立場
– 論理主義（Logicism: Russell）
数学は形式論理の上に構築できる。
道具立てが複雑になり、数学ではあまり支持されない。
– 形式主義（Formalism: Hilbert）
数学は形式的な記号操作の上に構築できる。
さらに、記号系は「有限の立場」で与えられる。
現在の主流の立場だが、原理的な意味での「有限の立
場」は Gödel の不完全性定理により限界が示される。
– 直観主義（Intuitionism: Brouwer）
構成的に扱えるもののみを数学の対象とする。
制限が多いため少数派だが、コンピュータ上の構成数
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学の発展により別の形で復活。
形式体系（Formal Systems）
• 191～30 年代に計算概念の様々な定式化が提
案される。
–
–
–
–
–
–
帰納関数（Gödel など）
λ-calculus （Church, Kleene）
Post 正準系（Post）
チューリングマシン（Turing）
（Combinatory logic （Curry, Schönfinkel））
（レジスタマシン：もっと後世）
• これらはすべて数学的には同等であることが示
される（計算できる関数：「一般帰納関数」）
– 参考：量子力学における波動力学と行列力学
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形式体系（２）
• 様々な形で現代にも大きな影響を及ぼして
いる
– プログラミング言語
記号処理言語 (Lisp/Scheme)、論理型言語
(Prolog)、関数型言語 (Haskell, ML, APL）等々
– チューリングマシン（コンピュータの理論モデル）
– 自動証明
• 論理学の定理証明
• 数学の定理証明
• プログラムの正当性
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チューリングマシン（Turing Machine）
• Alan M. Turing (1912～1954）
– 計算可能性の理論
チューリングマシン
「チャーチ・チューリングの提唱」
– 暗号解読（戦時中）
– コンピュータ開発
（Colossus、ACE, Manchester Mark 1 等）
– 「チューリングテスト」
• 「チューリング賞（Turing Award）」に名を残す。
コンピュータ科学の最高賞
• 伝記：Hodges, A. (1983). Alan Turing: The Enigma.
New York: Simon & Schuster
• Imitation Game (2014: 映画）
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チューリングマシン（２）
• 「計算」のモデルとなる仮想的な機械。
• といっても構成は簡単。構成部品は：
– 有限個の状態を持つ本体
– 長さが無限（無制限）のテープ
– それを読み取る本体のヘッド
• マシンはヘッドからテープの１文字を読み取り
、それに応じてテープの移動、本体の状態の
変更を行う（だけ）。
• 例：（英語 Wiki ページ）
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チューリングマシン（３）
• チョムスキー階層との関係
– チューリングマシンは０型言語（帰納可算言語）を
受理・生成できる。
• テープの本数を増やしても本質的な能力は変わらない。
• 現在のコンピュータ（レジスタマシン）と実質的に同等の
能力（ただしメモリが無限大（無制限）として）
– ３型言語（正規言語）：有限状態オートマトン
– ２型言語（文脈自由言語）：
スタックマシン（プッシュダウンオートマトン）
– １型言語（文脈依存言語）：
有限テープの（線形拘束の）チューリングマシン
20
チューリングマシン（４）
• 万能チューリングマシン
（Universal Turing Machine: UTM）
– ある特別なチューリングマシンで、任意のチューリング
マシン TM に対し、それと同じ出力を行うように初期
設定できる（TM の動作を模倣（シミュレート）する）。
– 仕掛けのタネは、TM の機能を「プログラム」として
UTM のテープに仕込み、それにしたがって TM の動
作を逐次模倣する。
– 現在のコンピュータの理論的モデルになっている。
– UTM で UTM 自身も模倣できる（エミュレーション）
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チャーチ・チューリングの提唱
（Church-Turing Thesis）
• 様々な形式体系が互いに同等であることに基づいた「仮
説」
• 「（実効的に）計算可能な関数は、すべて一般帰納的関数
である」
• 「任意の計算可能な関数は、適当なチューリングマシンに
より機械的に計算できる」
• ただし「計算可能」とは、人間が普通の意味で考えつく「計
算」すべてを含む概念で、厳密な定義はない。
（むしろ、上が厳密な定義を与えているという面もある。）
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形式的体系の限界
• 「チューリングマシンの停止問題」 (1936)
与えられた TM の計算が終了して停止するか
を、すべての TM について判定できるような
チューリングマシンは存在しない。
– P(x): プログラム P を入力データ x で実行する
– （背理法の仮定）
H(P, x): 任意の P, x に対し、P(x) が停止するなら
yes を、停止しないなら no を返す。
– M(P): H(P, P)=yes なら停止せず、H(P, P)=no なら
停止する。
– M(M) は停止するか？
（停止するとしてもしないとしても矛盾：なぜか？）
23
決定不能問題
• 「ゲーデルの不完全性定理」 (1931)
停止問題と深い関連あり。
– 形式的論理体系では、真偽が決定
できない命題が必ず存在する。
– その論理体系の無矛盾性は、
そのような命題の例である。
• 他にも様々な決定不能問題が知られている。
• 多くの未解決問題は解決可能かどうかさえ
未解決（！？）
人間の知の限界を示す（!?）
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人工知能の揺籃期
• 形式的体系の理論、「チャーチ・チューリングの
提唱」は、（広い意味での）「計算」という概念で捉
えられる人間の知的活動を機械化しうる可能性
を示している。
• 第２次大戦中および戦後に登場するコンピュータ
は、そのような「計算機械」（記号処理機械）を具
現化したものである。
• その他の技術的・理論的発展もそれを下支えし
ている（サイバネティックス／制御理論、神経系
の計算モデル、情報理論等々）
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チューリングテスト（Turing Test）
• （1950 年の論文： “Computing Machines and
Intelligence” ： Web 資料 [TT 1～3] 参照）
• いわゆる「イミテーション・ゲーム」
人間のマネをする機械（コンピュータ）を人間が
見破れなければ、機械は知能を持っているとして
よい。
• 知能についての操作的（、便宜的）な「定義」
• 知能についての相対的な捉え方ではあるが、一
方で「人間中心主義的」でもある。
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チューリングテスト（２）
• 哲学では深刻・まともにに受け止められて
いる、らしい。
– J.R. Searle: 「中国語の部屋」など
（チューリングテストの意義への「反論」）
– 人工知能と言えばチューリングテストしか知ら
ない哲学者もいる？
• 人工知能への批判は、チューリングテスト
や不完全性定理絡みで論じられることが
多い。
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チューリングテスト（３）
• 話として魅力的・教訓的だが、現実問題と
して知能についての十分な定義・判定条件
を与えているかはかなり疑問
– チューリングテストを通らなくても知能を持って
いると言えるプログラムが存在しうる。
（人間は？）
– チューリングテストを通っても知能を持ってい
るとは言えないプログラム（人工無脳？）。
参考： J. Weizenbaum と “ELIZA”
– 実際の「チューリングテスト」：Loebner Prize
• 「知能」よりは「人格」の実現が必要？
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参考書
• チューリングテスト、心や意識
– D. R. Hofstadter & D.C. Dennett (Eds.)
“The Mind’s I”, Basic Books 1981.
坂本（監訳）「マインズ・アイ」 , TBS ブリタニカ
1992/2001.
• 形式的体系、計算可能性、人工知能
– D. R. Hofstadter. “Goedel Escher Bach: An Eternal
Golden Braid” Basic Books 1979.
野崎他訳「ゲーデル、エッシャー、バッハ、．．．」、
白楊社 1985.
• （他にも教科書・啓蒙書は多数あり）
29
参考書（人工知能）
• 歴史・分野概観
– P. McCorduck （黒川利明訳）：
「コンピュータは考える」、培風館、1983
(Machines Who Think, Freeman & Co. 1979)
– M. ボーデン（野崎他訳）：「人工知能と人間1,2」、
サイエンス社 1986
• 入門書
– P.H. Winston（長尾・白井訳）：
「人工知能」、培風館、1980
– E. Rich（広田・宮村訳）：
「人工知能」、マグロウヒルブック、1984
– B. Raphael（溝口・内田・岩田訳）：
「考えるコンピュータ：人工知能入門」、近代科学社、1986
– 白井良明、辻井潤一：
「人工知能」、岩波講座情報科学 22、1982
30
人工知能について（Web）
• 人工知能学会ホームページ
http://www.ai-gakkai.or.jp/jsai/
– 人工知能のやさしい説明「What‘s AI」
– 人工知能学会誌「私のブックマーク」
• John McCarthy のページ
http://www-formal.stanford.edu/jmc/index.html
– What is Artificial Intelligence? (Q&A)
• Marvin Minsky のページ
http://web.media.mit.edu/~minsky/
• T.Dunn, A.Dyess, B.Snitzer
“An Introduction to the Science of Artificial Intelligence”
• http://www.aaai.org/AITopics/pmwiki/pmwiki.php/AITopi
cs/BriefHistory
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人工知能の誕生（１）
• 「ダートマス会議」（Dartmouth Conference:
Dartmouth Summer Research Conference on
Artificial Intelligence）（1956 夏）
• J. McCarthy らの発議により開催された「会議」
（というか、合宿：１カ月に及ぶブレーン・ストーミング）
• “Artificial Intelligence (AI)” という名称及び分野
の発祥とされている。
– もっとも名称そのものは（会議名にもあるように）すで
に前年の提案書にもあるし、これを採用するかどうか
についてはかなりの議論があったらしい。
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人工知能の誕生（２）
ダートマス会議出席者
• 発起人サイド
•
– John McCarthy†(2011)
– Marvin Minsky
– Nathaniel Rochester†
– Claude Shannon†
その他の出席者
– Ray Solomonoff †(2009)
– Oliver Selfridge†
– Trenchard More
– Arthur Samuel†
– Herbert Simon†
– Allen Newell†
50周年記念会議スナップ(2006)
33
John McCarthy
Marvin Minsky
Herbert A. Simon
Oliver Selfridge
Ray Solomonoff
Allen Newell
Arthur Samuel（左）
Claude Shannon 34
人工知能の誕生（３）
• ダートマス会議の時に実際に動いていた人工知能
プログラムは、Newell, Simon による「LT (Logic
Theorist, Logic Theory Machine)」だけ（？）
• また Samuel によるチェッカーズ（ゲーム）プログラ
ムは、最初期の AI プログラムであるにも関わらず
、学習機能を有し、プログラマ（Samuel）よりも強く
なったという意味で画期的だった。
IBM にとっても宣伝効果が大きかった。
– IBM は後にチェスの “Deep Blue”, “Watson” のスポン
サーにもなる。
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初期の人工知能（１）
• 参考書
– Edward A. Feigenbaum & Julian Feldman (Eds.).
Computers and Thought. McGraw-Hill 1963/1995
（阿部・横山訳「コンピュータと思考」、好学社、1969）
– Marvin Minsky (Ed.) Semantic Information Processing.
MIT Press, 1968.
– James Slagle: Artificial Intellingence: The Heuristic
Programming Approach. McGraw-Hill, 1971.
（南雲・野崎訳：「人工知能－発見的プログラミング」、
産業図書、1972）
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初期の人工知能（２）：題材
• ゲームのプログラム
– チェス、チェッカーズ、トランプ、５目並べ等
• 数学・論理学の問題解決、定理証明
– 解析（積分）、幾何の図形問題、LT（前述）等
• 問題解決、質問応答システム
• パターン認識
• 認知過程のシミュレーション
– EPAM （Feigenbaum）、GPS （Newell & Simon）
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初期の人工知能（３）
• Slagle の SAINT（大学初年級の積分）
（SAINT は 11 分）
（18 分：解けたうちでは最長）
• MIT 期末試験の 54 問中 52 問が解けた。
• （積分、一般に数学の記号計算は、後に人工
知能からは独立していく。）
Mathematica Integrator
38
人工知能の歴史：大まかな動向
• 状態空間と探索（60 年代）
• 知識表現と推論（70・80 年代）
問題領域固有の知識と一般的推論技法の分離
• 学習・自己適応（80 年代以降）
• 能動的・分散的処理（90 年代以降）：「エージェント」
• 人工知能の「復興」（2000年代以降）
– 統計的・確率的処理、大規模データに基づく処理
– 「古典的分野」における成果（ゲーム等）
– 環境・世界の中での知能
– 人工知能技法の各種の応用
– “Technological Singularity”
39
人工知能は何を目指すか（１）
• 人工知能の二面性（２つの対極）
高度な知的機能の実現
コンピュータ
科学・技術
中間地帯
人間の認知活動の実現
心理学・認知科学
40
人工知能は何を目指すか（２）
• コンピュータ科学として
– 高度な知的処理の実現
– そのための理論・技法の研究・開発
– 高度な処理機能を持つツールの実現
• 問題（解決）主導的
– ⇒ 知能・問題解決の一般理論
– 人間を手本にする
人間はどう解いているか、それをコンピュータ上に実
現・応用できるか
41
人工知能は何を目指すか（３）
• 認知科学として
– 人間のもっている知的能力の研究・解明
– 人間の（必ずしも「知的」とは限らない）認知活動の研
究・解明
– そのためのモデル・理論の研究・開発・検証
• 認知科学研究においては：
–
–
–
–
情報処理的（計算論的）アプローチの最右翼
形式化・理論化の厳格な適用
「モデル化」（認知モデル）、「メタファ」としての意義
⇒ 「理論心理学」、「理論認知科学」
42
人工知能は何を目指すか（４）
×
×
×
△
△
○
○
○
○
○
○
△
△
膨大な統計的計算の処理（会計等）
高度な科学技術計算
膨大な数値計算： πの１兆桁計算等
数式の記号的計算 →数式処理
論理学・幾何学などの定理証明
ゲーム・パズル
問題解決一般
自然言語理解
視覚・聴覚等による外界の認識
高度な専門性を要する領域での問題解決
学習：環境への適応、自己改変
ロボット（外界への働きかけ）
自己組織化、人工進化
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人工知能は何を目指すか（５）
• 問題解決型
– 解決すべき課題が主体（人間・コンピュータ）と
は独立に設定され、結果が客観的に評価可能
– 人間と同じやり方である必要はない
⇒ 「超知能」の実現
– 典型例
• 知能ゲーム・パズル
• 数式処理
• 科学的発見、高度な知識・技能を要する作業
⇒ 「エキスパートシステム」
• 一般的な問題解決（道順探索など）
44
人工知能は何を目指すか（６）
• 人間中心型
– 人間が普通に行う活動を、コンピュータに実現
させる。
– あくまで人間が基準（規範）
人間を「超える」ことには意味がない（たぶん）
– 典型例
• 自然言語理解、自然言語による対話
• 概念理解・学習
• 人間の認知過程のシミュレーション
EPAM, 認知アーキテクチャ
• （音楽理解、音楽作成）
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人工知能は何を目指すか（７）
• 知覚・行動
– 人間の活動のうち、自動的（無意識的）に行わ
れるものをコンピュータに実現させる
– 視覚（画像・情景理解、文字認識）、聴覚（音声
認識、音楽理解）、行動（歩行・動作）等
• 学習・知識獲得
– 自身で知識を獲得したり、環境に適応していく
• 記号的学習（概念学習等）
• ニューラルネット
• 確率モデル等のパラメタ強化学習
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（実働）モデルの意義
• 心理学・言語学などで言う「モデル」
⇒ 「記述的モデル」
⇔ 「認知アーキテクチャ(Cognitive Architecture)」
• 実際に「動かして」みせることの重要性
– 明確に意識されていなかった仮定、背景、プロセスなどを
すべて厳密に定義・定式化・実現する必要がある。
– それを通じて、暗黙に仮定されていたこと、及びそれがい
かに大きいかが明らかになる。
– 反面、「動く」ようにするために様々な制約が生じ、本来の
姿をゆがめる危険もある。
47
本日の課題
• チューリングテストに関する Turing の論文
を読んでみる（訳・原文とも：できれば全文
版も）。
• そこに示されているアイディアや議論につ
いて理解し、また自分の考えをまとめてみ
る。
• 人工知能の研究（とりあえず初期）につい
て、資料を調べてみる。
– 人工知能の歴史（英語 Wiki）
48
天使・悪魔問題
• 登場人物
– 天使：常に必ず本当のことを言う
– 悪魔：常に必ずウソをつく
• 人間（本当・ウソのいずれを言うかわからない）を
加えた変形版もある
• 約束事（ルール）
– 質問は答えられるものに限る
– 各登場人物は互いの正体を知っている
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「天国への道」（オリジナル問題）
• 天国・地獄への分かれ道に人物が１人いて、天使・
悪魔のいずれかではあるが、外観からはどちらかわ
からない。
この人物に１回だけ質問して、どちらが天国への道
かを知ることはできるか？
• （変形版）
分かれ道に３人の人物、天使・悪魔・人間の１人ず
つがいるが、誰がどれかはわからない。
– １回の質問では天国への道はわからないことを示せ。
– ２回質問すれば（質問は誰に聞いてもよい）、天国への
道を知ることが出来ることを示せ。
50
天使・悪魔問題（１）
• A, B 等は天使・悪魔のいずれかである。
以下のそれぞれを A / B が発言したとき、それぞ
れの正体について何がわかるか。
1. A: 「B は天使だ」
2. A: 「私と B とは同じタイプだ」
（＝両方天使か、両方悪魔）
3. A: 「B は悪魔だ」
B: 「それはウソだ」
4. A: 「私が天使なら B は悪魔だ」
5. A: 「C は天使だ」
B: 「A は悪魔だ」
C: 「A, B は２人とも天使だ」
51
天使・悪魔問題（２）
• A, B に「はい、いいえ」のいずれかで答えられる質
問をしたとする。
1. A, B の一方が天使で一方が悪魔とする。
両者に同じ質問をしたとき、返ってくる答え
（はい／いいえ）は必ず異なっているか？
2. A, B のいずれも答えられない質問はあるか。（ただし
未知の事項（答えがわからない事項）の質問は除く）
•
関連問題：次の□に同じ文字列を入れて、どちら
も正しい文になるようにせよ（できるか？）
–
–
である
でない
52
天使・悪魔問題（３）
• A がある１文を発言したため、A, B が両方天使である
ことがわかった。そのような文の例を示せ。
• A がある１文を発言したため、A は悪魔、 B は天使で
あることがわかった。そのような文の例を示せ。
• A がある１文を発言したため、B は悪魔であることはわ
かったが、A が天使か悪魔かはわからなかった。その
ような文の例を示せ。
• （他の組合せについても同様に考えてみよ）
53
天使・悪魔問題と記号論理
• 以上に掲げたような天使・悪魔問題、さら
には同種の「論理パズル」一般は、適当な
論理式による定式化によって、論理式の
上での機械的な計算で答えが導ける。
• 天使悪魔問題の「２大原理」
「A が天使である」という命題を A で表す
– A が X と発言すれば A≡X は真である
– A が A≡X と発言すれば X は真である
54
天使・悪魔問題（２）
• A, B に「はい、いいえ」のいずれかで答えられる質
問をしたとする。
1. A, B の一方が天使で一方が悪魔とする。
両者に同じ質問をしたとき、返ってくる答え
（はい／いいえ）は必ず異なっているか？
2. A, B のいずれも答えられない質問はあるか。（ただし
未知の事項（答えがわからない事項）の質問は除く）
•
関連問題：次の□に同じ文字列を入れて、どちら
も正しい文になるようにせよ（できるか？）
–
–
この文は肯定文
この文は肯定文
である
でない
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