電磁気学C

電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
5/7講義分
電磁場のエネルギー
山田博仁
今後の講義スケジュール
・ 5/7(木)(第5回目)
電磁場のエネルギー、波動方程式
・ 5/14(木)(第6回目)
電磁波の性質 (第1回レポート〆切)
・ 5/21(木)(第7回目)
電磁場の運動量
・ 5/28(木)(第8回目)
電磁波の反射と透過 (第2回レポート出題)
・ 6/4(木)(第9回目)
電磁波の反射と透過、偏波
・ 6/11(木)(第10回目)
電磁波の共振器と導波路 (第2回レポート〆切)
・ 6/18(木)(第11回目)
光導波路と光共振器
・ 6/25(木)(第12回目)
電磁ポテンシャルとゲージ変換 (第3回レポート出題)
・ 7/2(木)(第13回目)
電気双極子による電磁波の放射
・ 7/9(木)(第14回目)
点電荷による電磁波の放射 (第3回レポート〆切)
・ 7/16(木)(予備)
・ 7/23(木)?
定期試験
静電エネルギー
太田昭男新しい電磁気学 p.33
電荷 Q を与えた半径 a の孤立導体球の静電エネルギーを求める
fq
導体上に既に電荷 q が分布している場合、
導体の電位 fq は、
q
fq 
4 0 a
q
dq
dW
∞遠方
a
この状態から、さらに微小電荷 dq を無限遠方から
導体上に運ぶために必要な仕事 dW は、
dW  fq dq
従って、導体上に電荷を少しずつ運び最終的に Q とするために要する仕事 W は、
Q
W   dW   fq dq
0

1
4 a 
0
Q
0
q dq 
Q2
8 0 a
従って、導体球は上記の静電エネルギー W を有すると考えられる(遠隔作用の観点)
帯電した導体球の周りの電場のエネルギー
E (r ) 
帯電した導体球の周りには電場 E(r) が存在する。
E(r)
Q
Q
4 0 r 2
電場の静電エネルギー密度 ue は、教科書 p69
式(5.41)に依れば以下の式で与えられる。
ue 
dr
a
1
1
E  D   E2
2
2
(等方性媒質なら)
従って、導体球の周りの空間に存在する電場の
全エネルギーは、


1
U e   4 r ue dr  4  r 2  0 E 2 (r )dr
a
a
2

Q2
2
 2 0  r
dr
2 2 4
a
16  0 r
近接作用の観点では、電場のエネル
ギーは空間に蓄積されていると考える
Q2

8 0
2


a
1
Q2
dr 
2
r
8 0 a
電磁場のエネルギー
磁場の磁気エネルギー密度 um は、教科書 p152 式(9.51)に依れば以下の式で
与えられる。
1
1
um  B  H   H 2
2
2
従って、単位体積あたりの電磁場のエネルギー密度 u は、以下の式で与えられる
1
1
(等方性媒質の場合)
( E  D  B  H )  ( E 2   H 2 )
2
2
1
1
1
1
ue  E  D   E 2
um  B  H   H 2
2
2
2
2
u  ue  u m 
ここで、ue は電場によるエネルギー密度、um は磁場によるエネルギー密度
ある空間 V 内の電磁場エネルギーは、それをその空間内で体積積分したもので、
U  Ue Um 
1
( E  D  B  H )dV
2 V
物質中(真空中)に時間的に変動しない電磁場が存在する場合、空間に蓄えられ
る電磁場のエネルギー
時間的に変動する電磁場のエネルギー
次に、時間的に変動する電磁場のエネルギーを表す式を導出してみる
以下のベクトル恒等式(教科書 p228の一番上の式)からスタート
div ( E  H )  H  rot E  E  rot H
上式にMaxwellの方程式を代入
B( x, t )
rot E ( x, t )  
t
rot H ( x, t )  ie ( x, t ) 
div ( E  H )   H 
B
D 

 E   ie 

t
t 

B 
 D
  E 
H
  E  ie

t

t



 1
 E  D  H  B   E  ie
t 2
D( x, t )
t
媒質が等方性であるとして、
D  E
BH

E  D   E  D  E  D
t
t
t
時間的に変動する電磁場のエネルギー
従って、 
 1
E  D  H  B   E  ie  div ( E  H )
t 2
上式を、ある領域 V で積分すると、

電磁場に関するエネルギー保存則
 1
E  D  H  B  dV   E  ie dV   div ( E  H ) dV

t V 2
V
V
Gaussの定理
 1
  E  D  H  B  dV   E  ie dV   ( E  H )  ndS
t V 2
V
S
S = E×H を、
Poynting ベクトル
領域 V 内の電磁場 U
ジュール熱による領域 V を囲む閉曲面 S から単位
エネルギー
エネルギー損失
時間に外部に流出するエネルギー
S=E×H
n
Poynting ベクトル S = E×H は、
E
S
dS
電磁場のエネルギーの流れを表す
U
E･ie
V
※ Poyntingベクトルがあるからと言って、
必ずしもエネルギーの流れがある訳
ではない
S
H
時間的に変動する電磁場のエネルギー


U   E  ie dV   S  ndS
t
V
S
電磁場エネルギー
の時間的減少
=
S
S
電磁場のエネルギー保存則
U
熱になって消失す
+
る電磁エネルギー
E･ie
単位時間に外部に流出
する電磁エネルギー
S = E×H を Poynting ベクトルと呼ぶ
u と S との関係は?
単位体積当たりの
電磁場エネルギー: u
単位時間に単位面積を通過する
電磁場のエネルギー、即ち単位
面積を通過する電磁場の電力 P
u
c
電磁波は、単位時間に光速度 c だけ進む
S = E×H
従って、
cu  E  H
の関係がある
電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
電磁場の波動方程式
山田博仁
自由空間でのMaxwell方程式
Maxwell方程式
B( x, t )
t
D( x, t )
rot H ( x, t )  ie ( x, t ) 
t
rot E ( x, t )  
div D( x, t )  e ( x, t )
div B( x, t )  0
ファラデーの電磁誘導則
アンペール・マクスウェルの法則
電場に関するガウスの法則
変位電流
磁場に関するガウスの法則
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷 ρe および伝導電流 ie がゼロ)
B( x, t )
t
D( x, t )
rot H ( x, t ) 
t
rot E ( x, t )  
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x, t )   E ( x, t )
B( x , t )   H ( x , t )
div D( x, t )  0
真空中
D( x, t )   0 E ( x, t )
div B( x, t )  0
B( x, t )  0 H ( x, t )
波動方程式の導出
第1式
  E ( x, t )  
B( x, t )
t
ここで媒質は、等方性かつ線形かつ非分散性と仮定している
D( x, t )   E ( x, t )
B( x , t )   H ( x , t )
両辺の rotation をとる
2
2



D
(
x
,
t
)

E ( x, t )
    E ( x, t )     B( x, t )      H ( x , t )   



t
t
t 2
t 2
ベクトル恒等式
  (  E )  (  E )  E
  H ( x, t ) 
D( x, t )
t
第2式
(  E ( x, t ))  E ( x, t )
0
従って、
   D( x, t )     E ( x, t )  0
 2 E ( x, t )
E ( x, t )  
0
2
t
第3式
波動方程式
練習のため、第2式の rotation をとり、磁場に対する式を求めてみよう
 2 B( x, t )
B( x, t )  
0
2
t
波動方程式導出においての変位電流の役割
変位電流は、MaxwellがAmpereの式に理論的考察を行って付加したものであるが、
仮に、この変位電流の項が無かったとしたら、どんな方程式が導かれるだろうか?
変位電流が無い場合の、自由空間でのMaxwell方程式は、以下のようになる。
rot E ( x, t )  
B( x, t )
t
第1式の rotation をとると、
    E ( x, t )  
rot H ( x, t )  0


  B( x, t )      H ( x , t )
t
t
0
div D( x, t )  0
div B( x, t )  0
第2式   H ( x, t )  0
(  E ( x, t ))  E ( x, t )
0
   D( x, t )     E ( x, t )  0
従って、
E ( x, t )  0
となり、
静電場の場合のラプラスの方程式となってしまう。
波動方程式の意味

2 
    2  E ( x, t )  0
t 

 2 E ( x, t )
E ( x, t )  
0
2
t
 2
2
2 
 2 E ( x, t )
0
 2  2  2  E ( x, t )  
2

x

y

z

t


ここで簡単のため、E(x, t)は x と y には依存せず、z と t のみの関数であると仮定
つまり、 E(x, t) → E(z, t)
 2 E ( z, t )
 2 E ( z, t )
 
0
z 2
t 2
1
v

今ここで、
と置くと、

 2 E ( z, t ) 1  2 E ( z, t )
 2
0
2
2
z
v
t
後で分かるように、v は電磁波が物質中を伝わる速度、真空中の場合には、v は
光速度 c で与えられ、
c
1
0 0
 2.998108 m/s
波動方程式の解
波動方程式
(教科書 p.200 参照)
 E ( z, t ) 1  E ( z, t )
 2
 0 の解は、 E ( z, t )  X1 (vt  z)  X 2 (vt  z) で与えられる。
2
2
z
v
t
2
2
x
+ z 方向に速度 v で進む波 (進行波)
- z 方向に速度 v で進む波 (後退波)
z
y
より一般的には、波動方程式
1  2 E ( x, t )
E ( x, t )  2
 0 の解は、
v
t 2
E ( x, t )  X1 ( t  k  x)  X 2 ( t  k  x) で与えられる。
+ k 方向に進む波
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
 は波の角周波数
参) 伝送線路と電信方程式
送電端
受電端
E
ZL
x
x=0
R: 線路単位長当りの抵抗 (W/m)
L: 線路単位長当りのインダクタンス (H/m)
C: 線路単位長当りの容量 (F/m)
G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)
上記の伝送線路に対して、以下の線路方程式が得られる
 2v
v
 2v
 RGv  ( RC  GL)  LC 2
2
x
t
t
電信方程式あるいは伝送方程式
 2i
i
 2i
 RGi  ( RC  GL)  LC 2
2
x
t
t
無損失線路(R = G = 0)の場合、
 2v
 2v
 LC 2
2
x
t
 2i
 2i
 LC 2
x 2
t
線路上での電圧波と電流波の
伝搬速度 v は、
v 1
LC
であることが分かる
参) 伝送線路上の電圧波の伝搬
x
E
入射波
Vxe j t  V0e xe j ( t  x)  V0e xe j ( t  x)
反射波
ZL
線路上の位置 x での電圧
-x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
+x方向に位相速度ω/βで進む電圧波。 α > 0なら、伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰
ej(ωt±βx) = cos(ωt±βx)+j sin(ωt±βx)は、∓x方向に進む角周波数ω, 位相定数β の正弦波

ここで、 ( v p )

x
vp: 位相速度
V0e x は波の振幅を表し、α > 0 (α < 0)なら、xが増大する方向に振幅が増大(減少)する
x
因みに、波の包絡線の
形状が伝わる速度を群
速度: vgという
d
vg 
d
進行する正弦波
+x 方向に伝搬する正弦波
2 

 1 2
sin(t  kx)  sin 2 f t 
x   sin 2 t 
 


 T
角周波数波数
t1
従って、波数と角周波数の比は、
波の伝搬速度 v 

0
位相角
x=λ
t=0
t=T
k
ある時刻(t = t1)について見てみると、
-x

t x
x   sin 2   
T  

x1
x=0
ある場所(x = x1)について見てみると、
+x -t
0
+t
電磁気学Ⅱ
Electromagnetics Ⅱ
5/14講義分
波動方程式から導かれる電磁波の性質
山田博仁
自由空間でのMaxwell方程式
自由空間でのMaxwell方程式 (自由空間では、真電荷および伝導電流がゼロ)
B( x, t )
t
D( x, t )
rot H ( x, t ) 
t
rot E ( x, t )  
等方性、かつ線形、かつ非分散性の媒質中
D( x, t )   E ( x, t )
B( x , t )   H ( x , t )
div D( x, t )  0
真空中
D( x, t )   0 E ( x, t )
div B( x, t )  0
B( x, t )  0 H ( x, t )
  11  12

ε, μ は、異方性媒質ならテンソル   21  22

 31  32
 13   11 12
 
 23  ,   21  22
 33   31 32
13 

 23  になる
 33 
非線形媒質なら電場や磁場の強さの関数( ε(E), μ(H) )になる (非線形光学で扱う)
分散性媒質なら電磁波の周波数の関数( ε(ω), μ(ω) )になる
等方性かつ線形かつ非分散性の媒質中として上の方程式を解くと、以下の波動方程式
 2 E ( x, t )
E ( x, t )  
0
2
t
 2 B( x, t )
B( x, t )  
0
2
t
が得られる
波動方程式とその解
波動方程式
 2
2
2 
 2 E ( x, t )
0
 2  2  2  E ( x, t )  
2

x

y

z

t


 2 E ( x, t )
E ( x, t )  
0
t 2
ここで、 v 
1

と置くと、
1  2 E ( x, t )
E ( x, t )  2
0
2
v
t

1 2 
   2 2  E ( x, t )  0
v t 

□ E ( x, t )  0
v は電磁波が物質中を伝わる速度
v
1
1 2
□   2 2
v t
真空中の場合に v は通常 c で表記され、
c

ダランベルシアン
1
 2.998108 m/s
0 0
(真空中の光速度)
波動方程式の解は、 E ( x, t )  X1 ( t  k  x)  X 2 ( t  k  x) で与えられる。
+ k 方向に進む波
X1, X2は任意のベクトル関数
括弧の中は波の位相を表わす
- k 方向に進む波
kは波の伝搬方向を示す波数ベクトル
 は波の角周波数
平面波
平面波(波面が平面の波)は、波面に垂直方向に伝搬していく
k · x = 一定値は、ベクトル k に垂直な平面
波面
(等位相面)
z
 t −k · x = α
位相面)が時間発展していく様
子は、平面波が波面に垂直方
向に伝搬する様子を表す。
x3
x2
x1
k
0
x
 t – k・x を波の位相と呼ぶ。
これがある一定値  の面(等
 t3 −k · x3 = α
 t2 −k · x2 = α
 t1 −k · x1 = α
y
k: 波数ベクトル(波の進行方向を表している)
平面電磁波
自由空間を、角周波数  で振動しながら、+ z方向に伝搬する電磁波の中で、
波形が正弦波で表される電磁波を取り上げる。 x, y 方向には一様とする。
電場の波は、
Ex  Ex0 sin(t  kz)
Ey  Ey 0 sin(t  kz)
Ez  Ez 0 sin(t  kz)
で表わせる。
k は波数で、 k 
x
2



v
E
Ex0
z
Ey0
Ez0
y
平面電磁波
電場の波
磁場の波
Ex  Ex0 sin(t  kz)
H x  H x0 sin(t  kz   )
Ey  Ey 0 sin(t  kz)
H y  H y 0 sin(t  kz   )
Ez  Ez 0 sin(t  kz)
H z  H z 0 sin(t  kz   )
rot E ( x, t )  
電場の波と磁場の波
の間には位相差φが
あると仮定している
B( x, t )
に代入、
t
B
 Ez E y 
 E E 
B
B
 E E 

e x   x  z e y   y  x e z   x e x  y e y  z e z

z 
x 
y 
t
t
t
 z
 y
 x
0
E y
0
0
0
φはゼロでなければならない
B
 x
z
t
 kEy 0 cos(t  kz)  H x0 cos(t  kz   )
kEy 0  H x0
By
Ex

z
t
 kEx0 cos(t  kz)  H y 0 cos(t  kz   )
kEx0  H y 0
Bz
0
t
H z 0 cos(t  kz   )  0
H z 0  0
平面電磁波
同様に、 rot H ( x, t )  D( x, t )
t
に代入、
Dy
 H z H y 
 H y H x 
Dx
Dz
 H x H z 





e


e


e

e

e

ez


y
x
y
 x
 x
 z

y

z

z

x

y

t

t

t






0
0

H y
z

Dx
t
H x Dy

z
t
Dz
0
t
0
0
kH y 0 cos(t  kz)  Ex0 cos(t  kz   )
 kHx0 cos(t  kz)  Ey 0 cos(t  kz   )
Ez 0 cos(t  kz)  0
以上の関係より、
Ey
Ex



Hy
Hx

φ=0
kH y 0  Ex0
kHx0  Ey 0
Ez 0  0
ここで、
Ez  H z  0 となる
k

v
   の関係を用いた
平面電磁波
Ey
Ex



Hy
Hx

x
Ez  H z  0
Ex E
E と H (ベクトル)は、波の進行方向に垂直な平面
内に存在(つまり横波)し、互いに直交する。また、
E と H の大きさの比は一定
媒質中での電場と磁場の大きさの比を、媒質の
インピーダンスという
E
H


Z

真空のインピーダンス Z0は、
Z0 
0
 c0  4 c 107  120  377 [W]
0
z
Ey Hy
H
y
何故なら、
c
1
0 0
 3 108 m/s
7
真空の透磁率 μ0は、MKSA(SI)単位系では 0  4 10 (H/m) と定義している。
1
1
(F/m) で与えられる。
従って、真空の誘電率 ε0は、  0  2 
c 0 4  c 2 107
平面電磁波
インピーダンス Z の媒質中を伝搬する電磁波に関して、E と H との間
には以下の関係が成り立つ
x

k 

E  Z  H  ,
k

1 
k 
H   E 
Z
k
k
E
z
y
H
電場の波と磁場の波は同相(同じ時刻に共に節や腹となる)
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り(直線偏波)、正弦関数的に振動する平面電磁波を考える
E( x, t )  e (1) E0 sin( t  k  x)
1  2 E ( x, t )
波動方程式 E ( x, t )  2
 0 に上式を代入すると、
2
v
t
 2
2
2
2 

(
k

k

k
 2
x
y
z ) E ( x, t )  0
v

0
上式が、任意の場所 x、任意の時刻 t で成立するためには、
つまり、 k 
2
2
v2
k  k  k x2  k y2  k z2
角周波数  を、正の値と定義すると、   v k
これを分散 (dispersion) 関係という。
  2 f
f は周波数(振動数)
k
2

と置けば、  
v
f
T
T は周期
1
f
平面電磁波
電場が e(1) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
E( x, t )  e (1) E0 sin( t  k  x) を、
e(1)  (ex(1) , e(y1) , ez(1) )
電場に関するガウスの法則 div E ( x, t )  0 に代入する




div E ( x, t )   ex(1)  e(y1)  ez(1)  E0 sin(t  k x x  k y y  k z z )
y
z
 x

 (k x ex(1)  k y e(y1)  k z ez(1) ) E0 cos(t  k x x  k y y  k z z )
 (k  e (1) ) E0 cos(t  k x x  k y y  k z z )  0
上式が常に成り立つためには、 k e (1)  0 でなければならない
即ち、電場の偏りの方向 e(1) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する
つまり、電場に関するガウスの
法則は、電場の波は横波であ
るということを言っている
e(1)
E( x, t )  e (1) E0 sin( t  k  x)
k
平面電磁波
磁場に対しても e(2) 方向に偏り、正弦関数的に振動する平面電磁波
B( x, t )  e (2) B0 sin( t  k  x) を考え、
磁場に関するガウスの法則 div B( x, t )  0 に代入する




div B( x, t )   ex( 2)  e(y2)  ez( 2)  B0 sin(t  k x x  k y y  k z z )
y
z
 x

 (k x ex( 2)  k y e(y2)  k z ez( 2) ) B0 cos(t  k x x  k y y  k z z )
 (k  e ( 2) ) B0 cos(t  k x x  k y y  k z z )  0
上式が常に成り立つためには、 k  e ( 2)  0 でなければならない
即ち、磁場の偏りの方向 e(2) は、その波の進行方向を表すベクトル k に直交する
磁場に関するガウスの法則は、
磁場の波は横波であるというこ
とを与える
B( x, t )  e (2) B0 sin( t  k  x)
k
従って、
電磁波は横波 !!
e(2)
平面電磁波の性質
つまり、電場および磁場の偏りの方向(偏波方向)は、波の進行方向に対して垂
直。(電場および磁場ベクトル E, B は、波の進行方向に対して垂直面内に存在
する。) また、電場および磁場の偏波方向( E, B の向き)は互いに直交する。
x
k
E
z
y
H
電磁波のエネルギー
1
1
媒質中の電磁場のエネルギー密度 u は、 u   E 2   H 2 で与えられるが、
2
2
E

電磁波の電場と磁場の大きさの間には

 Z の関係がある
H

1
1
従って、  E 2   H 2 つまり、電場のエネルギーと磁場のエネルギーは等しい
2
2
2
2
従って、電磁波のエネルギー密度は、 u   E   H で表せる。
電場も磁場も正弦波関数的に振動している場合、
E  E0 sint  kz
H  H 0 sint  kz
また、E = v B, Z = μv (Z0 = μ0c )
の関係も成り立つことが分かる
u は時間的にも空間的にも変動するが、1周期 (T=2/)について平均すれば、
1
1 T 2
 1
 u   E   sin (t  kz) dt   E02   H 02
2
T 0
 2
平面電磁波の場合、E と H は電磁波の進行方向 k に垂直な平面内にあるので、
k
と表せる。従って、
Poyntingベクトル S は、 S  E  H  vu
k
1
1
 S  v  u  v E02  v H 02
2
2
2
0
ベクトル解析の復習
重要なベクトル恒等式
ラプラシアン
2
2
2
 2  2  2
x y
z
rot gradf    (f )  0
div rot E    (  E )  0
div gradf    (f )   2f  f
(  ) E  E
(スカラー場)
(ベクトル場)
div ( E  H )  H  rot E  E  rot H
ダランベルシアン
2
2
2
1 2
□ 2  2  2  2 2
x y
z
c t
1 2
 2 2
c t
rot rot E    (  E )  (  E )  E
ガウスの定理
ストークスの定理
 F  ndS     FdV
S
V
n
 F  dr   (  F )  ndS
C
S
F
dS
S
V
n
F
S
dS
C
dr

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