データ構造とアルゴリズム
第5回
スタック
～ データ構造（2）～
1
前回の解答
ROOT
0093
0091
番地
内容
0094
009D 0000
番地
0106
内容
0093
番地
010E
内容
0095
ROOT 00FF
0100
0107
0108
010F
010A
0100
0091
0108
0094
0110
0096
0101
0106
0109
010E
0111
0112
0102
009C
010A
009A
0112
0098
0103
0104
010B
010C
0113
0114
0104
009D
010C
009B
0114
0099
0105
0000
010D
0102
0115
0000
2
前回の復習と補足
抽象データ型としての「リスト」
一定の型の要素を０個以上一列に並べたもの
リスト中のどの位置でも自由に参照，挿入(Insert)，
削除(Delete)の操作を行える
リストの実現方法
配列を用いる方法 ： 「要素の配列」と「最後の要素
の位置を示す変数」で実現
ポインタを用いる方法 ： 「要素」と「次のセルを指す
ポインタ」でセルを構成し，セルを順次つなぐことで，
連結リストを作成し，実現
3
本日の内容：スタック
スタック
抽象データ型としてのスタック
配列によるスタックの実現
単方向リストによるスタックの実現
スタックの利用例
ポーランド記法，逆ポーランド記法
再帰呼び出し(リカーシブ・コール，recursive call）
5
スタック
宿題をする
本を調べる
電話に出る
心の中の
スタック
本
宿題
宿題
宿題
時間の経過
6
スタック(Stack)
スタック：要素の挿入や削除がいつも一方の端
（先頭）からしかできないリスト
後から入れた要素ほど，先に出る
スタックの先頭→
別名
（top）
後入れ先出しリスト
LIFO
(last-in first-out)
push down list
a4
スタックの底→
（bottom）
a1
a3
a2
7
抽象データ型としてのスタック
抽象データ型： データ構造＋操作
スタック
操作
要素を
並べたもの
先頭への要素の挿入
Push
先頭からの要素の取出し
Pop
8
スタックの操作
CREATE(S )：空スタックSを準備しその先頭
の位置を返す
PUSH(x, S )：要素ｘをSの先頭に入れる
POP(S )：先頭の要素を削除する
＜同時にSの先頭の要素を返す場合もある＞
9
単方向リストによるスタックの実現
Push, Popを行うために使用するス
タックの先頭へのポインタ
init
an-1
an-2
a0
スタックの底の要素が格納さ
れているセルのnextはNULL
10
スタックの型定義(単方向リスト版)と
PUSHのプログラム例（p33）
/* セルを表わす構造体の定義 */
struct cell
セルのデータ構造はリストのときと同じ。
{
ここではint型の要素としたが、どのような
int element;
型でも良い。
struct cell *next;
};
…
main()
struct cell型への
…
ポインタを返す関数
struct cell *push(int x, struct cell *init)
{
struct cell *q, *r;
r = (struct cell *)malloc(sizeof(struct cell));
q = init; init =r;
r->element = x; r->next = q;
return(init);
}
11
Pushの実現(単方向リスト版)
Pushが始まる直前
initはあるリストの先頭要素を指す．
Push(x, S) [struct cell *push(int x, struct cell *init)]
① 新しいセル用のメモリを確保し、rはそのセルを指すポインタとする
init
an-1
an-2
a0
r
① r = (struct cell *)malloc(sizeof(struct cell));
12
Pushの実現(単方向リスト版)
Push(x, S)
① 新しいセル用のメモリを確保し、rはそのセルを指すポインタとする
② qにinitを代入する（＝前の先頭要素へのポインタをqに保持しておく）
③ initにrを代入する（＝initを新しい要素用セルへのポインタとする）
init
② q = init;
q
③ init = r;
r
an-1
an-2
a0
13
Pushの実現(単方向リスト版)
Push(x, S)
①
②
③
④
⑤
新しいセル用のメモリを確保し、rはそのセルを指すポインタとする
qにinitを代入する（＝前の先頭要素へのポインタをqに保持しておく）
initにrを代入する（＝initを新しい要素用セルへのポインタとする）
新しいセルに要素ｘを代入
r->nextが，前の先頭要素のセルを指すようにする
init
q
an-1
④ r->element = x;
r
an-2
a0
x
⑤ r->next = q;
14
Pushの実現(単方向リスト版)
Push(x, S)
①
②
③
④
⑤
⑥
呼び出し元
（mainなど）
へ
新しいセル用のメモリを確保し、rはそのセルを指すポインタとする
qにinitを代入する（＝前の先頭要素へのポインタをqに保持しておく）
initにrを代入する（＝initを新しい要素用セルへのポインタとする）
新しいセルに要素ｘを代入
r->nextが，前の先頭要素のセルを指すようにする
新しい要素を指すinitを返す
新要素を指す
initだよ〜
q
init
x
r
⑥ return(init);
an-1
an-2
a0
15
POPのプログラム例
（p33）
スタックが空でない場合は
…
struct cell型へのポインタを返
main()
す関数
…
空の場合はエラーメッセージ
struct cell *pop(struct cell *init)
{
struct cell *q;
if(init !=NULL)
{
q = init; init = init->next;free(q); return(init);
}
else
{
printf(“Error: Stack is empty.\n”); exit(1);
}
return;
}
exit文はプログラムを終了させる標準関数で，この関数が０を返せば正常終了，それ以外を返せば異常終了と
判断される．exit文を使用する場合には，#include <stdlib.h>が必要である．
16
Popの実現(単方向リスト版)
init
Popが始まる直前
an-1
an-2
a0
initはあるリストの先頭要素を指す．
Pop(S)
initがNULLではない場合以下を実行
① qにinitを代入する（＝前の先頭要素へのポインタをqに保持しておく）
init
① q = init;
q
an-1
an-2
a0
17
Popの実現(単方向リスト版)
Pop(S)
initがNULLではない場合以下を実行
①
②
③
④
呼び出し元
（mainなど）
へ
init
qにinitを代入する（＝前の先頭要素へのポインタをqに保持しておく）
initを前の先頭要素の次（＝前の２番目）へのポインタとする
削除するセルの領域を解放
書き換えられたinitを呼び出し元（main関数など）へ返す
init変えました〜
q
③ free(q);
an-1
④ return(init);
an-2
a0
② init = init->next;
18
Popの実現(単方向リスト版)
Pop(S)
initがNULLではない場合以下を実行
① qにinitを代入する（＝前の先頭要素へのポインタをqに保持して
おく）
② initを前の先頭要素の次（＝前の２番目）へのポインタとする
③ 削除するセルの領域を解放
④ 書き換えられたinitを返す
initがNULLの場合
⑤ エラーメッセージを表示して関数を終了
init
⑤ printf(“Error: stack is empty.¥n”);exit(1);
19
スタックの型の定義(配列版)
#define N 100 /* 配列の最大サイズ */
struct stack /* 構造体stackの定義 */
{
int top; int element[N];
};
…
main()
…
データ構造はリスト(配列版)のときと基本的には同じ．
タグ名，メンバー名を変更しただけ．
20
配列によるpushのプログラム例（p34）
void push(int x,struct stack *S)
{
if(S->top >=N || S->top < 0) S->top = N;
if(S->top == 0)
{
printf(“Error: Stack is full.\n”);exit(1);
}
else
{
S->top = S->top-1; S->element[S->top]=x;
}
return;
}
21
配列によるスタックの実現
element
[0]
topはスタックの先頭位置を示すint型変数
ポインタ型変数ではない
(矢印の根元に注意！教科書は一貫性がない。
図2.5はいいが、図2.9はポインタと同じ?!）
[1]
an-1(先頭)
top
［N-1］に，スタックの底を
固定する点がポイント．
要素を挿入/削除するたびに
リスト全体を上げ下げしな
くて済む．
an-2
a1
[N-1]
ス
タ
ッ
ク
が
伸
び
る
方
向
a0(底)
22
Pushの実現
(配列版)
N=7の場合
初期状態
element
Stack型:スタックの要素が入る配列element
スタックの先頭位置を示すtop
から成る構造体で、elementには既に要素あり
[0]
[1]
[2]
(つまりtopの先頭アドレスを指す）
[3]
Sはstack型を指すポインタ
準備ができたら
S
[4]
top 5
push関数を呼ぶ
void push(int x,struct stack *S)
Ｃ
[5] Ａ
Ｂ1
[6] Ａ
Ａ0
23
Pushの実現
(配列版)
①if(S->top >=N || S->top < 0) S->top = N;
element
element
[0]
[1]
S
[2]
top -1 ?
[3]
[4]
S
topが7以上又はtopが負
ならスタックは空
その場合はtop=7とする
[5]
top 8 ? [6]
[0]
[1]
[2]
[3]
[4]
S
top 7
[5]
[6]
24
Pushの実現
(配列版)
topが0ならば、スタックは満杯。
エラーメッセージを表示して関数 top 0
を終了
②
N=7の場合
element
[0] Ａ6
[1] Ａ5
[2] Ａ4
[3] Ａ3
if(S->top == 0)
[4] Ａ
{
2
printf(“Error: Stack is full.\n”);
[5] Ａ1
exit(1);
}
[6] Ａ
0
25
Pushの実現
(配列版)
それ以外の場合：
topを1減らす
topが指しているelementの位置に
要素xを挿入
N=7の場合
element
[0]
[1]
[2]
[3]
③ else
{
S->top = S->top-1;
S->element[s->top]=x;
}
top 4
[4]
top 5
[5] Ａ1
x
[6] Ａ0
26
配列によるpopのプログラム例（p34）
void pop(struct stack *S)
{
if(S->top < N)
{
S->top = S->top + 1;
}
else
{
printf(“Error: Stack is empty.\n”);
exit(1);
}
return;
}
27
Popの実現
(配列版)
N=7の場合
element
topが7未満なら要素はある
その場合は topを1増やす
[0]
[1]
[2]
① if(S->top < N)
{
S->top = S->top + 1;
}
[3]
[4] Ｃ
5
[5] A
Ｂ1
① top 6
[6] Ａ
Ａ0
28
Popの実現
(配列版)
N=7の場合
element
それ以外（N以上）なら
エラーメッセージを表示して関数を終了
[0]
[1]
[2]
else
{
printf(“Error: Stack is empty.\n”);
exit(1);
}
7
[3]
[4] Ｃ
？
[5] Ｂ
[6] Ａ
29
配列によるスタックの実現（参考）
[0]
element
a0 (底)
[1]
a1
スタックの底を，配列
のインデクス[0]に固
定してもよい．
この場合，上下を逆
にする点に注意．
an-2
top
an-1(先頭)
ス
タ
ッ
ク
が
伸
び
る
方
向
[N-1]
30
練習問題
Push
Pop
次の手順で操作を行うと
スタックS1,S2の中身は
最終的にどのようになるか？
Push
Pop
① Push(A,S1)
② Push(B,S2)
③ Push(C,S1)
④ D=Pop(S1)で削除した要素
⑤ Push(D, S2)
⑥ Pop(S1)
S1
S2
31
練習問題
Push
Pop
Push
Pop
① Push(A,S1)
② Push(B,S2)
③ Push(C,S1)
④ D=Pop(S1)で削除
した要素
⑤ Push(D, S2)
C
⑥ Pop(S1)
A
B
S1
S2
32
練習問題
D(=C)
Push
Pop
Push
Pop
① Push(A,S1)
② Push(B,S2)
③ Push(C,S1)
④ D=Pop(S1)で削除
した要素
⑤ Push(D, S2)
⑥ Pop(S1)
A
B
S1
S2
33
練習問題
Push
Pop
Push
Pop
① Push(A,S1)
② Push(B,S2)
③ Push(C,S1)
④ D=Pop(S1)で削除
した要素
D(=C)
⑤ Push(D, S2)
⑥ Pop(S1)
A
B
S1
S2
34
練習問題
A
Push
Pop
Push
Pop
① Push(A,S1)
② Push(B,S2)
③ Push(C,S1)
④ D=Pop(S1)で削除
した要素
D(=C)
⑤ Push(D, S2)
⑥ Pop(S1)
B
S1
S2
35
スタックの利用例1：算術式の評価
大切
予備知識： 数式の表記法
前置表現（prefix notation）
ポーランド記法(polish notation)
中置表現（infix notation）
通常の数式表記法
後置表現（postfix notation）
逆ポーランド記法(reverse polish notation)
ポーランド記法，逆ポーランド記法では括弧
[“（”と“）”]を使わずに数式を表現できる
36
歴史
ポーランド記法は，ポーランドの論理学者
Jan Łukasiewicz(1878-1956) が1920年に
提案
出典http://www.calculator.org/Lukasiewicz.html
1957年には，オーストラリアの計算機科学
者Charles L. Hamblin (1922-1985) がNew
South Wales University of Technologyで，
スタックを実装
出典http://www.csc.liv.ac.uk/~peter/hamblin.html
37
A+Bの表記法
前置表現 （ポーランド記法）
演算子を変数の前に置く
例：+AB 足すことのAB
演算子の優先順位は存在しない．括弧が不要．
中置表現
演算子を変数の間に置く
例：A+B A足すB
演算子の優先順位が存在する．括弧が必要．
後置表現 （逆ポーランド記法）
演算子を変数の後に置く
例：AB+ AとBを足す
演算子の優先順位は存在しない．括弧が不要．
38
後置表現への変換
( A – B ) * ( C + D ) (式1) 演算子 (式2)
(式1)
演算子
(式2)
(A–B) (C+D)＊
(式1) 演算子 (式2)
AB- (C+D)＊
AB–CD+＊
(式1) (式2) 演算子
個々の式を
後置表現に
する
後置表現
39
その他の数式の例
前置表現
ポーランド記法
中置表現
通常の表記法
後置表現
逆ポーランド記法
++ABC
A+B+C
AB+C+
*-AB+CD
(A-B)*(C+D)
AB-CD+*
-*47+53
4*7-(5+3)
47*53+-
-A÷BC
A-B÷C
ABC÷40
練習問題
ア
イ
ウ
エ
逆ポーランド記法では，例えば，式(A-B)*Cを
AB-C*と表現する．次の式を逆ポーランド記法で
表現したものはどれか
（A+B）*(C-D÷E)
AB+CDE÷-*
AB+C-DE÷*
AB+EDC÷-*
BA+CD-E÷*
41
練習問題
（A+B）*(C-D÷E)
（A+B） (C-D÷E) *
AB+ (C-D÷E) *
AB+ (C-DE÷) *
AB+ CDE÷- *
答ア
42
スタックの利用例1：算術式の評価
◆
◆
◆
スタックを使うと，逆ポーランド記法で書かれた
式を左から順に読んで演算処理できる．
処理手順
一要素ずつ読み込み，要素が“数”ならスタック
にPush
“演算子”ならスタックから２つの要素をPopして
演算し，演算結果をスタックにPush
最終的にスタックに式の演算結果が残る
43
算術式の評価例1
例：６＋４＊７
後置表現⇒６ ４ ７ * ＋
4*7
７
４
６
6+28
２８
６
３４
44
算術式の評価例2
例２：６＋｛４＊（７＋４）－３｝
⇒６４７４＋＊３－＋
７＋４
４
７
４
６
４＊１１
１１
４
６
４４－３
４４
６
３
４４
６
６＋４１
４１
６
４７
45
利用例2：再帰呼び出し
（p.35）
(リカーシブ・コール，recursive call）
手続きの中から，さらに自分自身を呼び出すような
処理
再帰呼び出しを利用することで，複雑な処理を非
常に単純なコードで実装できる場合がある
再帰呼び出しを行なうプログラムの実行時にはス
タックメモリが消費される
46
nの階乗（再帰を用いない場合）
n! = n×(n-1)×(n-2)× … ×2×1
int fact(int n)
{
int result = 1;
for( ; n >= 1; n--)
{
result *= n;
}
return result;
}
結果を格納する変数
を用意
47
nの階乗
以下のように表現することができる
n (n 1)! (n 1)
n!
1
(n 1)
3!
階乗を求める関数を
呼び出す
3×2!
階乗を求める関数を
呼び出す
2×1!
階乗を求める関数を
呼び出す
1
48
nの階乗の再帰的計算方法
以下のように表現することができる
n (n 1)! (n 1)
n!
1
(n 1)
3!
階乗を求める関数を
呼び出す
6を返す
3×2!
階乗を求める関数を
呼び出す
2を返す
2×1!
階乗を求める関数を
呼び出す
1を返す
1
49
再帰呼び出しを用いた実装(p34)
スタック
メモリ
int fact(int n)
{
if (n<=0)
{
printf(“Illegal input n = %d¥n”, n);
exit(1)
関数factの中で，関
}
数fact自身を呼出す
else
{
if (N==1) return(1);
else return(n*fact(n-1));
}
return;
}
関数factを呼び出すたびに引数
と戻り番地が積まれていく
戻り番地
nの値
戻り番地
nの値
戻り番地
nの値
50
再帰呼び出しを使用する時の注意
良くない例
int fact(int n)
{
return n * fact(n - 1);
}
スタック
メモリ
注意1
終了条件を，正しく記述しないと
無限に繰り返される
注意2
実行時に与えるデータのサイズが大
きいと，スタックメモリが満杯になり，
プログラムが異常終了する
51
スタックのまとめ
スタック
抽象データ型としてのスタック
連結リストによるスタックの実現
配列によるスタックの実現
スタックの利用例
ポーランド記法，逆ポーランド記法
再帰呼び出し(リカーシブ・コール，recursive call）
52
問題１
010C番地および010D番地からなるセルをリストから削除するには、
何番地の内容をどのように変えればよいか答えよ。
ROOT
0093
0091
番地
内容
0094
009D 0000
番地
0106
内容
0093
番地
010E
内容
0095
ROOT 00FF
0100
0107
0108
010F
010A
0100
0091
0108
0094
0110
0096
0101
0106
0109
010E
0111
0112
0102
009C
010A
009A
0112
0098
0103
0104
010B
010C
0113
0114
0104
009D
010C
009B
0114
0099
0105
0000
010D
0102
0115
0000 53
削除
問題２
0110番地から0115番地に格納されている3要素からなるサブリストを 、
問題１で削除する前のリストの要素009Aの直前に挿入するには、
（
）番地の内容を0110に、（
）番地の内容を010Aに
各々変えればよい。
番地
内容
番地
0106
内容
0093
番地
010E
内容
0095
ROOT 00FF
0100
0107
0108
010F
010A
0100
0091
0108
0094
0110
0096
0101
0106
0109
010E
0111
0112
0102
009C
010A
009A
0112
0098
0103
0104
010B
010C
0113
0114
0104
009D
010C
009B
0114
0099
0105
0000
010D
0102
0115
0000 54
挿入
問題1
番地
内容
番地
0106
内容
0093
番地
010E
内容
0095
ROOT 00FF
0100
0107
0108
010F
010A
0100
0091
0108
0094
0110
0096
0101
0106
0109
010E
0111
0112
0102
009C
010A
009A
0112
0098
0103
0104
010B
010C
0113
0114
0104
009D
010C
009B
0114
0099
0105
0000
010D
0102
0115
0000
0102
に変える
55
問題2
0110
に変える
番地
ROOT
内容
番地
0106
内容
0093
番地
010E
内容
0095
00FF
0100
0107
0108
010F
010A
0100
0091
0108
0094
0110
0096
0101
0106
0109
010E
0111
0112
0102
009C
010A
009A
0112
0098
0103
0104
010B
010C
0113
0114
0104
009D
010C
009B
0114
0099
0105
0000
010D
0102
0115
0000
010A
に変える
56
図を簡略化すると
p(010E番地)
ROOT
0091
0093
0110
に変える
0095
0094
p->next(010A番地)
q(010A番地)
009A
009B
009C
009D
r(0110番地)
0096
0098
0099
010A
に変える
(0000番地)
57
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