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Ｋ中間子原子核
－今そこにある課題－
土手昭伸（ＫＥＫ）
 現状のレビュー
 簡単な模型を用いた ppK- の計算
• Simple Correlated Model
• Test on two nucleons system
• Result of ppK-
 まとめ
K中間子原子核
レビュー
岡さんからのメール…
…（略）…
そこで、土手さんには、2日の午後にK－原子核のセッションで、
（１）
（２）
（３）
（４）
（５）
ご自分のこれまでの仕事をレビューしながら、
K－原子核では、どういう点が重要で、
どこまでが、これまでに明らかになり、
どの点が依然として未解決のままであるか、
また、これらの未解決点を土手さんとしては、
どのように解決しようと思っているのか、
というような点に焦点をあててトークをしていただきたいのです。
…（略）…
（１）自分のこれまでの仕事のレビュー
Akaishi-san and Yamazaki-san’s study
Phenomenological KN potential (AY KN potential)
Strongly attractive.
1. free KN scattering data
2. 1s level shift of kaonic hydrogen atom
3. binding energy and width of Λ(1405)
= K- + proton
KN
I 0
V
Y. Akaishi and T. Yamazaki, PRC 52 (2002) 044005
Very attractive I=0 KN interaction makes …
Deeply bound; Binding energy of K- > 100 MeV
Discrete state; Below Σπ threshold
... Deeply bound kaonic nuclei
According to the study with
Collaboration with
Akaishi-san and Yamazaki-san
Antisymmetrized Molecular Dynamics
Total system is treated in a fully microscopic way.
+ G-matrix
NN repulsive core is adequately smoothed out
by following conventional nuclear physics.
+ Phenomenological KN interaction
Strongly attractive, especially in I=0 channel
Kaonic nuclei has interesting properties…
AMD + G-matrix + AY KN interaction
studies revealedBinding
… energy of KNucleus-K- threshold
= 104 MeV
0.0
1. E(K) ppnK
> 100 MeV
various6BeK
light nuclei
pppK forpppnK
8BeK
E(K) [MeV]
-20.0
9BK
(simple AMD)
-40.0
2.
Drastic change of the structure of 8Be,
Σπ threshold
-60.0isovector deformation in 8BeKWidth (Σπ, Λπ)
-80.0
3. Highly
-100.0
Density (/fm^3)
0.0
0.41
0.10
0.83
0.20
dense state is formed in K nuclei.
88BeKBe
maximum
density
>
4ρ
0
-120.0
averaged density
Rrms 2～4ρ
1.42 0fm
fm
Rrms
== 2.46
-140.0
4. Proton
-160.0
ββ
0.55
== 0.63
- /fm^3
Central density
= 0.10
0.76
/fm^3
satellite
in pppK
4.5 normal density
A. D., H. Horiuchi, Y. Akaishi and T. Yamazaki,
PLB 590 (2004) 51; PRC 70 (2004) 044313.
（２）Ｋ－原子核では、どういう点が重要
Dense system
Lots of interesting
phenomena!
Decay mode
NN repulsive
core
KN→πY
KNN→YN
☆ Strongly attractive
I=0 KN interaction
（３）どこまでが、これまでに明らかに
 KN interactionが非常に引力的なら、高密度の方向へ行きそう。
40Caのような大きな原子核でも、
非常にKaonが深く束縛する場合、最大密度は２ρ０に達する。
局所的に密度が高くなる。
RMF計算、NL-SHを使用
J. Mares, E. Friedman and A. Gal, Nucl. Phys. A770, 84 (2006)
（３）どこまでが、これまでに明らかに
 ppK- “Prototype of K cluster”の計算
TotalB .E.
Γ
Faddeev
(KN N -πΣN )
55 ～ 70 M eV
95 ～ 110 M eV
Faddeev
(KN N -πΣN )
59 M eV
32 M eV
N .V .Shevchenko,
A .G aland J.M ares
arXiv:nucl-th/0610022
Y.Ikeda and T.Sato
YKIS '06
A TM S
48 M eV
61 M eV
T.Yam azakiand Y.A kaishi
P hys.Lett.B 535,70 (2002)
AM D
< 53 M eV
～100 M eV
ppK-の全束縛エネルギー
50 ～ 70 MeV
A .D ote and W .W eise
H YP '06 proceedings
(arXiv:nucl-th/0701050)
（４）どの点が依然として未解決のままであるか
高密度状態？
KN相互作用が非常に引力的
Kaonの近くに核子が引き寄せられ、高密度状態が形成される可能性
平均二核子間距離が小さくなり、核子間斥力芯が重要に。
我々（土手・赤石・山崎）は
Conventionalな核物理の方法＝G-matrix法
に基づき、適切にNN斥力芯を処理し計算を行った。
その結果、高密度状態が得られた。
G-matrix法の適用限界を超えていたのでは？
斥力芯がなまされすぎた結果の高密度状態？
（４）どの点が依然として未解決のままであるか
Decay width？
深く束縛し、主崩壊チャネルであるΣπが閉じても、
KNN→YN (Non-mesonic decay, 二核子吸収)
がある。
その効果は

2
に比例。もし高密度状態だと…
少数系でもその効果は同様なのか？
参考
BK >100 MeVでは
全崩壊幅 Γ～50 MeV
RMF計算、NL-SHを使用 (PbはL-HS)
J. Mares, E. Friedman and A. Gal, Nucl. Phys. A770, 84 (2006)
（４）どの点が依然として未解決のままであるか
“Effective” KN potential の作り方
• Weise流（現在、土手が使ってるもの）：自由空間での散乱振幅に基づく
Ｔ行列
Strongly
attractive
+…+
…
+…
• 赤石さん流（前に、土手が使ったもの）：原子核中であることを核子の方は考慮
Ｇ行列
+…+
…
+…
Strongly
attractive
Pauli blocking, 一粒子エネルギー
• Oset流（多分、土手が使わないもの）：中間状態のkaonの媒質効果も考慮
Weakly
attractive
…
+…+
+…
M. Lutz,
Phys. Lett. B426,
12 (1998)
（４）どの点が依然として未解決のままであるか
“Effective” KN potential の作り方
僕ら（土手、Weise、多分赤石さんも）の疑問
核物質や大きい原子核なら、中間状態のkaonが
媒質効果を受けるのは正しいだろう。
しかし ppK- のような非常に少数系でも重要なの？
傍にいる一つのprotonが媒質の働きをするの？
• Oset流（多分、土手が使わないもの）：中間状態のkaonの媒質効果も考慮
Weakly
attractive
…
+…+
+…
M. Lutz,
Phys. Lett. B426,
12 (1998)
（４）どの点が依然として未解決のままであるか
様々な実験結果
4He
(stopped K-, n) ppnK-
Invariant mass of p and Λ
H. Fujioka et al. @ FINUDA
M. Iwasaki et al. @ KEK
ppnK- (T=0)
B.E. = 169 MeV
Γ < 25 MeV
ppKB.E. = 116 MeV
Γ = 67 MeV
16O
Heavy ion collision
N. Herrmann et al. @ GSI
ppnKB.E. = 150 MeV
Γ ～ 100MeV
(in-flight K-, n) 15OK-
T.Kishimoto et al. @ BNL
15OK-
B(K) = 90 MeV
（４）どの点が依然として未解決のままであるか
様々な実験結果
4He
(stopped K-, n) ppnK-
M. Iwasaki et al. @ KEK
ppnK- (T=0)
B.E. = 169 MeV
Γ < 25 MeV
Invariant mass of p and Λ
H. Fujioka et al. @ FINUDA
批判
 Final state interaction?
K-pN→ΛNによるΛ若しくはＮが
娘核と相互作用して作られた。
ppK
V. K. Magas,
E.- Oset, A. Ramos and H. Toki,
PRC74,
B.E.025206
= 116 (2006)
MeV
Γ = 67 MeV
追試で確認されず。
 6Li targetでは6Li中のdeuteron clusterに
K-が吸収された結果。
M. Agnello et. al., NPA775, 35 (2006)
16O
Heavy ion collision
N. Herrmann et al. @ GSI
ppnKB.E. = 150 MeV
Γ ～ 100MeV
(in-flight K-, n) 15OK-
T.Kishimoto et al. @ BNL
15OK-
B(K) = 90 MeV
（５）これらの未解決点をどのように解決？
• 高密度状態？
G-matrixを経由せず、斥力芯を直接扱う。
少数系なら厳密計算、ＡＭＤでやるならUnitary correlatorの使用か？
T. Neff and H. Feldmeier,
Nucl. Phys. A713, 311 (2003)
• 二核子吸収について
少数系は密度分布は一様でなく、構造を持つことが多い。
系がコンパクトであっても大きくならない可能性はないか？
ppK3fm
Nucleon
Kaon
（５）これらの未解決点をどのように解決？
• KN potentialの作り方
“少数系のK中間子原子核でも、
中間状態のkaonの変化を考慮しなければならないのか？”
実験で深く束縛した少数系のK中間子原子核が見つかればいいのだが…
（すみません、答えになってません。）
反応の観点からの研究
スペクトルの計算 … 比連崎さん、山縣さん（奈良女）
小池さん（理研）
（6）重要なこと
• クォークレベルからのΛ（１４０５）の研究
竹内さん（日本社会事業大）、根村さん（理研）
• Λ（１４０５）がダブルポール
慈道さん（基研）
• 違った描像でのＫ中間子原子核の研究
•Λ＊原子核 … 岡さん、安井さん（東工大）
•スキルム模型による ppK- の研究 … 西川さん（東工大）、近藤さん（国学院）
• Kaonic 3,4Helium atom 2pレベルのシフト
早野さん（東大）、竜野さん（東大）、板橋さん（理研）
簡単な模型を用いたppK-の計算
Collaborating with W. Weise (TU Munich)
赤石さん、ありがとう。
1. Simple Correlated Model
Model wave function of ppK-

 SCM  N 1/ 2  r1 , r2 , rK
Normalization
factor
Spatial part
 S 0
 NN  K 
TN 1

T 1/ 2,Tz 1/ 2
Spin w. f.
(NN)
Isospin w. f.
Detail of the spatial part


    
   
 
 r1 , r2 , rK  G r1 G r2 F r1 , r2  G ' rK F ' r1 , rK F ' r2 , rK

NN correlation function

G '  r   exp   r

2
G ri  exp    ri 


K
K
2


 
F 'r , r   1


2
F r1 , r2  1   f nNN exp  nNN r1  r2 


n
i
K
1. Simple Correlated Model
 NN  K 
TN 1

T 1/ 2,Tz 1/ 2
S 0 ,
In this model, I assume only one configuration;
total nucleon’s spin S=0 and total nucleon isospin TN=1.
Other configurations are ignored. Therefore, this model is very simple.
 
 
G ri , G ' rK
Single particle motion of nucleons and kaon is described with
a single Gaussian, G(ri) and G’(rK), respectively.
Two nucleons’ wave functions are assumed to be the same G(ri).

F r1 , r2

The NN correlation is described with 1 minus superposition of several Gaussians.


F ' ri , rK  1
i  1, 2 
We don’t introduce a correlation between a nucleon and a kaon.
1. Simple Correlated Model
Few remarks
• This model corresponds to the AMD case where all wave packets
come together to the origin. But the NN correlation is respected.
• The angular momentum is very restricted.
The orbital angular momentum of each particle measured from the center
is zero and the relative one between any two particles are also zero.
• If we choose the variational parameters μ and γ independently,
it is impossible to separate the wave function of the center-of-mass motion
from the total wave function.
The relation
mK


MN
should be held to separate the CM motion completely.
1. Simple Correlated Model
Energy variation
This model wave function has the real variational parameters,

G 'r 
F r , r 

 G ri


K
NN
n
f 

 
 F r1 , r2
NN
n

NN
n
1

1 r
2
n
 rN 
rn  r1   
 r1 
which are included
in the spatial part wave function.
n 1
N 1
2
These real parameters are determined
by the Simplex method
to minimize the total energy of the system.

This time,
The width parameters of the Gaussians
in the NN correlation are fixed to those of
Kamimura Gauss.
2. Test on 2N system
First, I checked the reliability of this model in case of pp system.
The model wave function is as follows.


 NN T 1,T
 SCM  N 1/ 2  r1 , r2 S  0


N
    
 r1 , r2  G r1 G r2 F r1 , r2
N ,Z
1

 
2
G ri  exp    ri 




F r1 , r2  1   f
 Variational parameters

n
NN
n

 f  are determined by the Simplex method.
NN
n
  are fixed to those of Kamimura Gauss.
NN
n

2
NN

exp n r1  r2 


2. Test on 2N system
NN potential to test
3500
3000
I’d like to know whether this model works
correctly under a potential such as Av18-like
which has a strong repulsive core or not.
But the Av18-like potential used in calculating
ppK- does not make two protons bound.
So, I enhanced the long-range attraction of
this potential slightly so that two protons are
bound.
Av18-like 1E
2500
Dote_HC2
2000
1500
1000
500
0
0.0
-500
0.5
1.0
1.5
2.0
The test potential is shown as the pink line
(Dote_HC2) in the left panel.
As can be seen, the repulsive-core part of this
potential is almost the same as that of
the Av18-like potential shown as the blue line.
2. Test on 2N system
Solve in two ways
I solve the same Hamiltonian by two methods.
H Nucl  T Nucl  V NN  T CM ( Nucl )
2
T Nucl
2
p
 i
i 1 2mN
2
T CM ( Nucl )
Test potential (Dote_HC2)
2
P

, P   pi
2(2mN )
i 1
• One way is the SCM model that will be applied to the calculation of ppK-.
• The other way is the Gaussian diagonalizing method. (GDM)
The relative wave function rel r  is expanded by so-called Kamimura Gaussians.
b 
 rel  r    Cn exp bnr 2  , bn  b1   N 
n 1
 b1 
N
We solve the Schroedinger equation H rel  rel
with the Gaussian base exp  b r 2   n  1 N  .
 n 
n 1
N 1
 E  rel
by the diagonalization
2. Test on 2N system
Result
Method
Base number
SCM (Kamimura Gauss)
GDM
5
6
7
8
9
25
Kinetic
26.84
23.93
23.51
24.15
24.00
24.21
Pot NN
-31.25
-30.35
-29.01
-30.53
-30.42
-30.70
Total E.
-4.41
-6.42
-5.50
-6.38
-6.42
-6.49
r1  0.1 fm,
r1  0.2 fm,
rN  9.0 fm
r25  20 fm
• As for the GDM, I have confirmed that the solution is sufficiently
converged up to the base number 25.
This GDM solution can be regarded as the exact solution of this Schrodinger equation.
• The SCM method almost achieved to the exact solution when the base number is 9.
2. Test on 2N system
Relative wave function
3500
0.8
GDM
N=25
3000
0.7
[MeV]
2500
2000
0.6
Test
potential
0.5
Av18-like 1E
Dote_HC2
Kamimura
base N=25
SCM KG N=5
1500
0.4
SCM KG N=6
1000
0.3
SCM KG N=7
0.2
SCM KG N=8
0.1
SCM KG N=9
SCM
N=9
500
0
0.0
-500
0.5
1.0
1.5
2.0
0.0
[fm]
3. Result of ppKHamiltonian
H  T  V NN  V KN  S    V KN  P    T CM
2
2
2
p
p
T  i  K
2mK
i 1 2mN
2
T CM
2
P

, M  2mN  mK , P   pi  p K
2M
i 1
2
V NN  V NN  1E    Vn  1E  exp  bn  r1  r2  


n
This time, Coulomb force is neglected.
2
V KN  S  P      vKN , S  P  wave  rK  ri ,  
i 1
  rK  ri 2 
1 4 s
1
vKN , S  wave  rK  ri ,    

FKN    3/ 2 3 exp 
2
a
2 M N
 as
s


  rK  ri 2 
1 4 s
1
vKN , P  wave  rK  ri ,    

CKN    3/ 2 3 exp 
2 
a
2 M N
 aP
P

KN potential
s
  MN
S-wave potential
  rK  rN 2 
1 4 s
1
vKN , S  wave  rK  rN ,    

FKN    3/ 2 3 exp  
2
a
2 M N
 as
s


P-wave potential
  rK  rN 2 
1 4 s
1
vKN , P  wave  rK  rN ,    

CKN    3/ 2 3 exp  
2 
a
2 M N
 aP
P

1, Gaussian shape
as=ap=a
2, Energy dependent
FKN   : KN scattering amplitude
CKN   : KN scattering volume
Chiral SU(3) theory
3, P-wave potential including derivative operator.
KN potential
1.
The relation between T matrix and scattering amplitude
T
4 s
FKN  
MN
s
  MN
2. Self energy at the low-density limit
Klein-Gordon eq.
   mK2  p 2        0
3.
The optical potential from the self energy
Optical potential V  
V

2
TKN

2
Finite range (normalized Gaussian)
Two-body interaction
vKN  
     T 
TKN 3
  rK  rN 
2
vKN
  rK  rN 2 
TKN
1
 

exp  
2
a
2  3/ 2 a 3


KN potential
S-wave scattering amplitude
2.5
Re F(Kp)s
Im F(Kp)s
Re F(Kn)s
Im F(Kn)s
2.0
Fcm [fm]
1.5
1.0
0.5
0.0
-0.5
300
350
400
450
500
 1405
-1.0
Kaon's energy w [MeV]
  s  MN
KN potential
Cn  2Cp
P-wave scattering volume
0.25
Re Cp
Im Cp
3
Cp,cm [fm ]
0.20
0.15
0.10
 1385
0.05
0.00
300
350
400
-0.05
Kaon's energy w [MeV]
  s  MN
450
500
Procedure of the present calculation
• Self-consistency of kaon’s energy is taken into account.
Assume the values of the binding energy of kaon itself “B(K)”.
H  T  V NN  Re V KN S    Re V KN  P    T CM




B  K  Assumed    mK
The Hamiltonian is determined.
Perform the energy variation by the Simplex method.
Then, calculate the binding energy of kaon
with the obtained wave function.
B  K Obtained
Check B  K Obtained  B  K  Assumed
If Yes
If No
Finished !
Procedure of the present calculation
Remarks
• The imaginary parts are ignored in the current study.
H  T  V NN  ReV KN S    ReV KN  P    T CM
 i ImV KN  S    i ImV KN  P  
• The kaon’s binding energy “B(K)”
B(K) = -EK = -(Etotal – Enucl)
[pp] in ppK- + K
Enucl
p+p+K
0
B(K)
Etotal
[ppK-]
Etotal   SCM H  SCM
Enucl   SCM H Nucl  SCM
3. Result
of
ppK
There doesn’t exist any self-consistent solution
for the
range
Kamimura Gauss, N=10,
r1=0.1
fm, rparameter
N=9.0 fm
P-wave int. : non-perturbative
a < 0.67
fm.
a; range parameter [fm]
Self consistency
This result
is the same as that obtained in the previous
AMD a=0.67
study reported in YKIS’06
and so on.
250
a=0.7
a=0.67 fm
a=0.8
a=0.9
a=1.0
Ref
Obtained B(K) [MeV]
200
a=0.70 fm
150
a=1.00 fm
100
a=0.80 fm
50
a=0.90 fm
0
0
50
100
150
Assumed B(K) [MeV]
200
250
3. Result of ppKProperty
a
0.67
0.70
0.80
0.90
1.00
Assumed B(K)
200
147
106
87
73
[fm]
[MeV]
The total binding energy of ppK- is 42 – 76 MeV.
Kinetic
517.24
371.31
264.89
211.47
173.63
Pot (NN)
-11.64
-22.78
-27.81
-27.86
-26.75
Pot (KNs)
-410.15
-321.22
-242.88
-198.04
-167.15
Pot (KNp)
-171.68
-87.57
-46.66
-31.32
-22.16
Total E.
-76.24
-60.27
-52.46
-45.75
-42.44
B(K)
200.13
148.49
108.15
87.73
75.28
Rel (NN)
1.06
1.15
1.29
1.40
1.49
Rel (KN)
0.70
0.79
0.91
1.00
1.09
[MeV]
cf) It doesn’t exceed 53 MeV in the previous AMD study.
[MeV]
[fm]
3. Result of ppKProperty
a
0.67
0.70
0.80
0.90
1.00
Assumed B(K)
200
147
106
87
73
Kinetic
517.24
371.31
264.89
211.47
173.63
Pot (NN)
-11.64
-22.78
-27.81
-27.86
-26.75
[fm]
[MeV]
[MeV]
The relative
distance
between
two
nucleons
is
larger
than
1.0
fm.
Pot (KNs)
-410.15 -321.22 -242.88 -198.04 -167.15
If the
is 0.5
fm, they
don’t-22.16
touch.
Pot size
(KNp)of a nucleon
-171.68 core
-87.57
-46.66
-31.32
ThisTotal
result
that of the
previous
study.
E. is the same
-76.24 as -60.27
-52.46
-45.75AMD
-42.44
[MeV]
B(K)
200.13
148.49
108.15
87.73
75.28
Rel (NN)
1.06
1.15
1.29
1.40
1.49
Rel (KN)
0.70
0.79
0.91
1.00
1.09
[fm]
まとめ
簡単な模型によるppK-の計算
• ＮＮ相互作用として、強い斥力芯のあるもの（Av18-like）を用い、ppK-を調べた。
• ＫＮ相互作用はカイラル理論に基づくものを使用。
s-wave型だけでなくp-wave型も含んでいる。
• 模型波動関数は非常に簡単なものにした。
核子系はＬ＝Ｓ＝０、Ｔ＝１の成分のみ。
但し、二核子間には相関関数を導入し斥力芯を適切に避けられるようにした。
• 前回のＡＭＤでの計算との違い
 角運動量、アイソスピンに関してVariation After Projectionになっている。
 p-wave KNポテンシャルを非摂動的に取り扱った。
• 結果
 全束縛エネルギー 42 ～ 76 MeV
（a=1.00 ～0.67fm…前回同様レンジに下限が生じる）
 二核子間平均距離は1 fmを下回らない。
 基本的には前回のＡＭＤの結果と似ている。
現状のまとめ
• KN相互作用が非常に強い引力であれば、密度は高くなれそう。
• ppK-はいくつかのグループが計算したところ、全束縛エネルギーは50～70MeV。
• ＫＮ相互作用の取り扱いを始め、まだ分かってないことが多いように思える。
（自分だけかもしれないが…）
• 高密度状態になるかどうかは、少数系であればG行列を経由せずに
直接計算することではっきりするであろう。
• 実験結果は続々と出てきているが、まだ誰もが認めるような結果は
無いように思える。更なる実験が期待される。
また、理論サイドも実験に直接貢献できるような研究が必要なのでは。

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