実験屋のための実践的核反応論

実験屋のための実践的核反応論
東大CNS
下浦
享
はじめに
(目標)
「核反応で、何をどうやれば何がどの程度わかるか?」についてのセンス
を磨き、実験提案や実験解析に実践的に生かせるようになろう
(素朴な疑問)
• 核反応モデルの背後にある基本的考え方、予言能力、限界は？
• 計算コード(ECIS, DWUCK, ...)は結局何を計算しているのか？
• 手計算で何がわかり、計算コードの出力から何を読み取るのか？
• その他(受講者からの疑問を歓迎する)
(内容)
非相対論的な散乱の量子論の解説を中心にする
(資料)
プレゼンテーションに加えて、実際の計算のための公式、コードの使い方、
advance level の公式などのメモを提供する
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• おさらい
• 重イオン反応の運動学
• 低エネルギー重イオン反応の運動学
• アイソスピン
• 一粒子配位とアイソスピン
• 核構造模型と核反応
• 核構造模型間の関係
1
•基底の取り方と相互の関係
r dr j qr V r 
2 
• 核反応によるプロジェクション
•演算子の固有状態とエネルギー固有状態
• 複合粒子をプローブとした直接反応
• プローブの構造と相対運動
2
2
0
おさらい
弾性散乱(平面波ボルン近似)
PWBA
el
T


1
2 
3
1
2 2

 
  

 d r V r exp i k  k '  r
3
q  2k sin

2
 k 
2
r
 dr j0 qrV r 
2
2






2


j
qR
a
 
2
2
PWBA
1
    2 T  RR  exp qa 
f
 2  j0 qR

 qR
R

2
 t  R 2 

 V0
 V0
 
V r    dt
exp
; V0 

2
2
4a  1  expr  R  / a 
2
2 2a
r


 
• 平面波ボルン近似では、T行列(散乱振幅)は、ポテンシャルのフーリエ
変換で記述される。
• 相互作用が強いとこの近似はよくない。
• 吸収の効果は入らない
弾性散乱(Eikonal近似=Glauber模型)
Eikonal
el
T
f
Eikonal
v

b db J 0 qb1  b 
2 
i 2 

   ik 0
b db J 0 qb1  b  
q  2k sin

2
 k 
ik R
J1 qR : Black Disk
q
b   expi  b  : P rofilefunction

1 
 b  
dzV b , z : P haseshift function



v


1
Eikonal
Tel

b db J 0 qb dzV b , z for  b   1
2 

2 
1
3

d
r V ( x, y, z ) exp i q x x  q y y  0 z  ; q z  0
3 
2 
 
 


• Eikonal近似では、T行列(散乱振幅)は、Profile function (2次元)のフー
リエ変換で記述される。
• 吸収の効果 (重イオン散乱)
• 相互作用の無限次のべきを含んでいる。(b)~1+i(b)と近似すると、
平面波ボルン近似と同じような表式になる
弾性散乱の Eikonal近似(例) (Profile function)
V0  100 MeV
W0  40 MeV
R  5 fm
a  0.65 fm
64
amu
68
Tin  240 MeV
  4
k  6.39 fm-1
  0.359
虚ポテンシャルによる吸収効果
実ポテンシャルによる位相の変化
弾性散乱の Eikonal近似(例) (Glauber 模型)
V0  100 MeV
W0  40 MeV
R  5 fm
a  0.65 fm
64
amu
68
Tin  240 MeV
  4
k  6.39 fm-1
  0.359
 tot  2849mb (Eikonal),2861mb (Exact)
 el  1491mb (Eikonal),1431mb (Exact)
 R  1359mb (Eikonal),1431mb (Exact)
Black: Eikonal
Blue : Exact
θ(deg)
弾性散乱が光学ポテンシャルで記述できるなら
 
 
()
( )
 k , r ,  , ,  k , r ,   , の近似として




• 弾性散乱チャネルの波動関数、散乱振幅はポテンシャル問題
を解けばよい。
• a+A → b+B 反応を記述するΨの主要成分が弾性散乱だとする
と、Ψの近似として、ポテンシャル問題の解を用いればよさ
そう。
• Ψを、(平面波＋球面波)ではなく、(弾性散乱による散乱波)+
(球面波)と書き直す。 (弾性散乱による散乱波)を、歪曲波と呼
ぶ。
• Eikonal近似で得られた波動関数を用いた記述。角運動量表示
による厳密なものは教科書(Satchler, 河合・吉田など)を参照
のこと
歪曲波ボルン近似(DWBA)









 
 
()
 k , r ,  ,   k , r     ...
 
 
( )
( )
 k  , r ,   ,    k  , r      ...
 
 
 

)

(
( )
T k , k     k  , r     Vˆ r ,     k , r   
()





: P ost Form
 
 

)

(
( )
   k  , r     Vˆ r ,    k , r   




: P riorForm
 
 
()
   
( )
   k  , r F r , r   k , r (   or  )
 
   
ˆ
F r , r       V r , r ,       : Form Factor





歪曲波と形状因子を計算すればよい
歪曲波（Eikonal 近似）
V0  100 MeV
W0  40 MeV
V0  iW0
V r   
1  expr  R  / a 
R  5 fm
a  0.65 fm
64
amu
68
Tin  240 MeV
  4
k  6.39 MeV/c
  0.359
V r ( )
ｚ (fm)
ｚ (fm)
()
ρ(fm)
ρ(fm)
非弾性散乱（運動量表示）
T '


 

 ~ 
k , k '   d 3 q Dq  ~tr q VaN q 


V3
~ 
2
VaN q    3 / 2 exp  q  ( : range of interaction)


~tr q   Gj q Y*m qˆ 
~


2 
~
 tr q   Y*m qˆ  exp  qa2 
W-S density の場合
2
4


a
a
2
 j2 qR  4  qR j1 qR  4  qR j0 qR
R
R


 

Dq    q0  q // 
 2  

 
1
bdb J 0 q0  q  b 1  b 
 q0  q   
2 
2 


Distortion の効果 (q=q0 にピーク)
～ k’ を z 軸とした弾性散乱の広がり程度の平均値
弾性・非弾性散乱から何がわかるか
• 弾性散乱の角度分布～Profile function の2次元 Fourier 変換
ポテンシャルの大きさ、表面の厚さ、引力の強さ、吸収の強さ。
• 角度分布の形は、移行角運動量（~遷移密度の Fourier 変換）で
決まる。(cf. PWBA) 歪曲波の影響
qy
qy
F(q)
D(q)
qx
0
q0=k
弾性散乱の角度分布の拡がり
qx
0
jl(qR) の振動パターン
重イオン反応における運動学
運動量
ドブロイ波長
ドブロイ波長

ˆ
p  i
 h

p  k 

 
for plane wave: exp ik  r


m ; p  k

proton
alpha
C
Pb
electron
pion
100
λ (fm)

1000
10
1
0.1

0.1
重イオンのドブロイ波長は十分短い
： Eikonal近似、古典近似
1
10
100
T (MeV)
1000
10000
運動学―エネルギー運動量保存―
2体反応 A(a,b)B の非相対論的運動学(実験室系)
b
A


a
B
m' ; p'  mv '


m ; p  mv
反応前
M ;P0

 反応後
M ' ; P'  M 'V '
p2 1
1 2
2
T
 M totVCM
  vrel
2m 2
2
p '2 P '2
1
1
2


 Q  M totVCM   ' v'2rel Q
2m' 2 M '
2
2
mM
m' M '
M tot  m  M  m' M ' ;  
; '
M tot
M tot


 

 
p
相対運動の運動量変化
VCM 
; vrel  v ; v 'rel  V 'v '
mM



M  
 p  p' 運動量移行
m'  m , M '  M のとき Q   Ex , q   vrel  v 'rel  
M tot
エネルギー移行
運動学―エネルギー運動量保存―
2体反応 A(a,b)B の非相対論的運動学(重心系)
b
A
a
B


m ; pc  mvc



M ; Pc   pc  MVc
反応前


m' ; pc '  mvc '



M ' ; Pc '   pc '  M 'Vc '
反応後
M
1 2
1
Tc 
T   vrel   ' v'2rel Q
mM
2
2


   

 
p
VCM 
; vrel  v ; v 'rel  V 'v '  Vc 'vc '
mM
相対運動の運動量変化



M  
 pc  p'c  が運動量移行になる
m'  m , M '  M のとき q   vrel  v 'rel  
M tot
運動学
実験室系と重心系の変換：速度図
反応後の粒子の速度
v’
VCM
V’

v’c
c
V’c
M
1
2
T Q
 ' v'rel 
mM
2
m
v
VCM 
mM
M'
v'rel
v 'c 
m' M '
m'
V 'rel
V 'c 
m' M '
2
 2v'VCM cos
v'c2  v'2 VCM
v' sin 
tan c 
v' cos  VCM
運動学
低エネルギー重イオン反応ではクーロン力が重要
Sommerfeldパラメータ(クーロン力の強さ)
S 
 zZ
v
;β

c


m ; pc  mvc



M ; Pc   pc  MVc
最近接距離
d0 
2 S 2 S


 c S
k
v
Tc
クーロン障壁
VCoul r   c

zZ
; RC  r0 a1/ 3  A1/ 3
RC
r0  1.2  1.5 fm
A, Z
a, z

核力による核反応
最近接距離が核半径の和より小
さい
＝重心系の運動エネルギーがクー
ロン障壁より大きい
ときにおこる
運動学
Grazing Angular Momentum / Grazing Angle
L   S cot

2
: Rutherfordorbit
L  kRC kRC  2 S  ; sin
2
gr
 gr
2

S
kRC   S
gr
運動学 (イラスト図)
複合核の基底状態を基準にした、軽い(安定)核どうしの反応における、
エネルギー-角運動量関係
内部励起
エネルギーの増加
角整列による全角
運動量の分離
運動学 (エネルギー・角運動量・アイソスピン)
重い核/不安定核どうしになると…
運動学的には
質量の和 < 複合核の質量
クーロン障壁の増加
Stabe -> n-rich
E(A1+A2) – E(A) => Larger
molecular band pushed up
? Surface transparency
12C+12C – 24Mg : 16 MeV
12C+20C – 32Mg : 38 MeV
反応論的には、
反応する核の Collectivity の増加
複合核系の殻構造
エネルギー・角運動量・アイソスピンの交換（散逸過程/摩擦）
相対運動のエネルギー・角運動量が入射核・標的核へ散逸
ダイナミクスは？状態方程式？…
複合核過程に至るまでに、様々な効果―深部非弾性散乱－
→ 超重元素生成の困難さ
アイソスピンについて
(ふたたび直接反応へ)
アイソスピン表現
あるプローブによる遷移密度のアイソスピン表現
 : 遷移のアイソスカラー(0)/アイソベクトル(1)
陽子励起の遷移密度≠中性子励起の遷移密度なら
アイソスカラーとアイソベクトルが混じっている
t : プローブのアイソスカラー0/アイソベクトル1
 粒子はアイソスカラーのプローブ
t : アイソスカラー/アイソベクトルのプローブでみ
た、標的のアイソスカラー/アイソベクトル励起
cf. G.R. Satchler, NPA472,215(1987)
核構造模型と核反応
Cluster structure vs.
Single-particle model
8Be
Wiringa et al. (GFMC)
PRC62,14001 (2000)
Ab initio calc. based on singleparticle wave fn. predicts
cluster structure of 8Be
What is different? What is the same?
Cluster structure vs. “Shell-model”
Cluster Coordinate  Single-Particle Coordinate
HO wave function:
Hermite Polynomial ×Gaussian
n
n
i 1
i 1
2
2
r

nR

i


 2  1 n 
ri  R ; R   ri
n i 1
Gaussian part of single wave function 
Gaussian for “cluster” × Gaussian for Relative motion
Gaussian both for the Cluster and Single-particle picture
Hermite Polynomial  Quantum number of Single-Particle Levels
Cluster coordinate  Polynomial of “R”
Transformation between Cluster & SP coordinates
Cluster Coordinate  Single-Particle Coordinate
Example: 16O(0+) :
12C[(1s)4(1p)8]
+ α[(1s)4]
1S (0 ) :1  R 0 ; 2S (2 ) : R 2   ;
3S (4 ) : R 4   ; 4S (6 ) : R 6  
4
 1 4  2 1 4 2
  
R   ri ; R    ri  2  ri  rj 
4 i 1
16  i 1
i  j 1

Antisymmetrization:
(1s) states are fully occupied by
12C:
r1-r4 should be included in poly.
Lowest (g.s.): [3s (4hw) : R4] and
   
 ri  rj rk  rl 
terms in [3s : R4] only are meaningful.
[(1p)4 (4hw)]
Ground state in Cluster representation =
Ground state of Single-particle representation
Cluster Coordinate  Single-Particle Coordinate
Example: 16O(0+) :
12C[(1s)4(1p)8]
+ α[(1s)4]
1S (0 ) :1  R 0 ; 2S (2 ) : R 2   ;
3S (4 ) : R 4   ; 4S (6 ) : R 6  
(Cluster) Excited states
2nd 0+ : 6hw (cluster coordinate) [gs: 4hw]
 1p-1h (2hw) + 2p-2h (1hw×2]) in single-particle picture
3rd 0+ : 8hw (cluster coordinate) [gs: 4hw]
 1p-1h (4hw) + 2p-2h ([1hw,3hw] + [2hw,2hw])
+ 3p-3h(1hw,1hw,2hw) + 4p-4h (1hw×4) in single-particle picture
4th 0+ : 10hw (cluster coordinate) [gs: 4hw]
 1p-1h (6hw) + 2p-2h + 3p-3h + 4p-4h + 5p-5h + 6p-6h
Excited state in Cluster representation =
Coherent sum of many configuration in single-particle representation
[collective] : Huge model space is required
1p-1h terms contribute transition strength via 1-body operator for L-S
closed shell nuclei
Configuration mixing in cluster/s.p.
01  c11 1  c12  2  c13 3 ...
02  c21 1  c22  2  c23 3 ...
0 k
2

r
0
 i 1   ckjc1 j  j
i

 ab 1

j
2
r
 i 1   2
i
2
r
 i j
i

2
r

i i 2  for 2 configuration
If mean square radii of the bases are different, a considerable
transition strength is expected.
複合粒子をプローブとした直接反応
今後の予定
• 非弾性散乱
• Isovector と Isoscalar
• 核応答
• 集団性、相関
• 非束縛状態 (共鳴、連続状態)
• 閉じたチャネルとの結合と共鳴
• 共鳴状態の“波動関数”
• 3体系の漸近形
• 非束縛状態への反応
• その他 (核融合、分子的共鳴などなど[手に余りそうですが…])

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