正規分布確率密度関数

正規分布確率密度関数
1
 (x  )
f ( x) 
exp(
)
2
2
2 
2
標準正規分布
定義（Standard Normal Distribution）
 標準正規分布の特徴と性質
 標準正規分布の計算
 二項分布の正規分布による近似

定義

正規分布の基準化確率変数
Z
X 
z  0

 1
2
z
標準正規分布密度関数
2
1
z
 ( z) 
exp( )
2
2
累積分布関数
( z )  P(a  Z  b)


(
z)
dz
a
b
 (b)  (a)
z1  z2
( z1 )  ( z2 )
標準正規分布のグラフ
図5.3　標準正規分布
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
P
-3
-2
-1
0
ｘ
1
2
3
標準正規分布の諸変数
範囲
Z
 ( z)
 0
0
0.3989
0
 1
1
0.242
0.6826
2
2
0.054
0.9544
 3
3
0.0044
0.9974
 (z )
標準正規分布の性質
P(a  Z  b)  (b)  (a)
(  a )  ( a )  1
P ( Z  c )  2 ( c )  1
性質の説明
P(a  Z  b)  (b)  (a)
証明： (a)  (a)  1
(a)  P(Z  a)
 P(Z  a)
 1  P( Z  a )
 1  (a )
 (  a )   ( a )  1
証明： P ( Z  c )  2 (c )  1

左辺から
 P(c  Z  c)
 (c)  (c)
 (c)  [1  (c)]
 2(c)  1
二項分布の正規分布による近似
Bi(n, p)
  np,   np(1  p)
2
Z 
X  np
np(1  P )
例題
さいころを500回投げて、２の目が80回以上
100回以下出る確率を求めよ。
解： P(80  X  100)

80
1 5
500 C80 

6 6
420
81
1 5
 500 C81 

6 6
1
 500 C100 
6
100
419
 
5

6
400
1
np  500   83 .3 {np(1  p)}1/ 2  8.3
,
6
P(80  X  100)
80  83.3
100  83.3
 P(
Z
)
8.3
8.3
 P(0.4  Z  2.01)
 (2.01)  [1  (0.4)]
 0.9778  1  0.6554  0.6332
宿題：ｐ103、問題5
参考答案（練習問題５）
（３） 0.0098
（４） 0.5826
（５）ｃ＝2.575

選択問題ｐ１０４、問題７

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