5 2次元モデル

第5章 2次元モデル
Chapter 5 2-dimensional model
Contents
1.
2.
3.
4.
2次元モデル
弱形式
FEM 近似
まとめ
2-dimensional model
Weak form
FEM approximation
Summary
1.
2次元モデル
2-dimensional model
次のような2次元偏微分方程式の境界値問題を考える。
Consider the following 2-dimensional partial differential equation with boundary
conditions.
  2u  2u 
 2  2   f
(in )
y 
 x
u
u  0  on 1  ,
 0  on  2 
n
(17) [Kikuchi 5.1]
(18) [Kikuchi 5.2]
1

2
n  l , m 
u u
u
 l m
n x
y
2.
弱形式 Weak form
（１7）の両辺に重み関数（試験関数） v をかけ積分する。
Both sides of equation 17 are multiplied by a test function v , and integrated.
  2u  2u 

 2  2 vdxdy 
 x
y 




f vdxdy
（18）の第２式に v をかけ、その積分と上式との和をとる。
The second one of equation 18 is multiplied by v, and its integration is added to the
above one.
u
 0  2  , v  0  on1  
n

  2u  2u 

 2  2 vdxdy 
 x
y 

u
vd  
 n

u
vd  0
 n



f vdxdy
(19)
弱形式 Weak form
2.
（19）の左辺， Greenの公式を用いる。
Green formula is applied to the left hand side of equation 19
  2u  2u 
  2  2 vdxdy 
 x
y 


u
vd  
 n



f vdxdy
n  2u
u v
u
dx   vd    v  2 dx
 

x

x
n
i 1
i 1 xi
i
i
(19)
n
Green formula
[Kikuchi A.4]’
Then , the weak form is obtained.
 u v u v 

dxdy 


 x x
y y 

u  v  0  on 1 



fvdxdy
(20) [Kikuchi 5.5]
3. FEM 近似 FEM approximation
まず図.3に示すように、領域を三角形要素に分割する。
We now seek an approximation to u by using the weak form.
First, as shown in Fig 3, the domain Ω is subdivided into triangular elements.
3* x3 , y3 
Ω
1 x1 , y1 
*
図.3 三角形要素
fig. 3 Triangular elements
2* x2 , y2 
図.4 三角形要素
fig. 4 Triangular elements
代表要素 T でuˆ を x, y の１次式で近似しよう。
With the representative finite element T , we shall denote
y as the following equation.
uˆ  1   2 x  3 y
uˆ , a function of x,
(21) [Kikuchi 5.6]
節点 <i> (i=1, 2, 3 )での uˆ の値をu i と書くと,次式が成立する。
At node <i> (i=1, 2, 3 ), u  ui , then we have
 u1  1 x1
  
u2   1 x2
u  1 x
3
 3 
y1  1 
 
y2   2 
y3   3 
(22) [Kikuchi 5.8]
すなわち、 That is,
1  1 x1
  
 2   1 x2
  1 x
3
 3 
y1 
y2 
y3 
1
 u1 
 
u2 
u 
 3
 x2 y3  x3 y2
1
 y y

2
3
1 x1 y1 
 x3  x2
1 x2 y2
1 x3
x3 y1  x1 y3
y3  y1
x1  x3
x1 y2  x2 y1   u1 
  (23) [Kikuchi 5.9]

y1  y2  u2 
x2  x1  u3 
y3
逆マトリックスを次の形に書いておこう。
The inverse matrix is written as the following form.
1 x1
1 x
2

1 x3
y1 
y2 
y3 
1
 a1
  b1
 c1
a2
b2
c2
a3 
b3 
c3 
(24)
uˆ  1   2 x   3 y  1 x
 1 x
3


i 1
 a1
y   b1
 c1
a2
b2
c2
1 
 
y   2 
 
 3
a3   u1 
 
b3  u2 
c3  u3 
 ai  bi x  ci y  ui
[Kikuchi 5.11]

 uˆ
 x   2  b1 b2



 uˆ    c c
3
1 2
 y

 u1 
 
b3  u2 
 
u3 
 u1 
 
c3  u2 
u 
 3
(25)
(20）の左辺に対するTからの寄与分は、
To see the contribution of T to the left hand side of equation 20,
 uˆ vˆ uˆ vˆ 


dxdy
T x x
y y 

  b1 
 
 v1 v2 v3   b2  b1 b2
T
 b 
 3


 v1
v2
v3 
 
T
 c1 
 
b3   c2  c1
c 
 3
 u1 
 
bi b j  ci c j dxdy u2 
u 
 3
3  31  i, j  3

c2

 u1 

 
c3 dxdy u2 
u 

 3

 v1
T
kij  
 k11T 

T 
v3   k21
 T 
 k31

v2
 b b
T
i
j
k12 
T
k
T 
22
 
k32
T

 ci c j dxdy


k13    u 
 1
T  
k23
u2 

T  u 
k33   3 

T
(26)
(27)
T
kij   S bi bj  ci c j 1  i, j  3
(28) [Kikuchi 5.26]
1 x1
1
S  1 x2
2
1 x3
(29) [Kikuchi 5.27]
y1
y2
y3
vˆ  1   2 x   3 y  1 x
 1 x
3


 a1
y   b1
 c1
a2
b2
c2
 1 
 
y   2 
 
 3
a3   v1 
 
b3  v2 
c3   v3 
 ai  bi x  ci y  vi
(30) [Kikuchi 5.11]
i 1
また右辺から寄与分は
Also, the contribution of T to the right hand side

T
ˆ
fvdxdy
 v1
 v1
v2
v2
 f1T  

 T  

v3   f 2 
 T  
f

 3 

v3 

T
 a1  b1 x  c1 y 


f   a2  b2 x  c2 y dxdy
a b xc y
3 
 3 3
(31)
Li  ai  bi x  ci y 1  i  3
(32) [Kikuchi 5.12]
3* x3 , y3 
S2 S
1
S3
1 x1 , y1 
*
Li  Si / S 1  i  3
2* x2 , y2 
図.5 面積座標
fig. 5 area coordinates

Li x j , y j


  1 i  j 
 ai  bi x j  ci y j  ij 

 0  i  j 
3*
L1 x1 , y1   1
1*
L1 x3 , y3   0
S1  S
2* L1 x2 , y2   0
(33)
Li を使うと、
uˆ
If Li is used,
uˆ is
は

uˆ 
 ai  bi x  ci y  ui 

i 1
Li  ai  bi x  ci y 1  i  3 

3

3
uˆ   Li ui
i 1
v も（35）と同じ形にする。
The form used in equation 35 is used in the same way for v.
3
vˆ   Li vi
i 1
(35) [Kikuchi 5.13]
まとめ
Summary
• 2次元モデル Model
  2u  2u 
 2  2   f
y 
 x
u
u  0  on1  ,
0
n
(in )
(17) [Kikuchi 5.1]
 on  2 
(18) [Kikuchi 5.2]
• 弱形式 Weak form
 u v u v 


dxdy 
 x x
y y 

u  v  0  on 1 



fvdxdy
(20) [Kikuchi 5.5]
• FEM 近似 FEM approximation
 uˆ vˆ uˆ vˆ 

dxdy 


 x x
y y 

uˆ  vˆ  0  on 1 



ˆ
fvdxdy
ここに
here
uˆ   uii , vˆ   vii
i
[Kikuchi 4.17]の 2次元版
i
ひとつの要素に限定すれば
in an individual element
3
3
uˆ   Li ui , vˆ   Li vi
i 1
i 1
(35) [Kikuchi 5.13]

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