FEM勉強会
（第3回）
有限要素法にも応力法と変位法がある。
応力法： 未知数をつりあい力、変形適合条
件より解を求める。
変位法：未知数を適合変位、つりあ
い条件により解を求める。
変形適合条件：支点A,Cでは
たわみがゼロ、支点Bではた
わみがゼロ、かつたわみ角
が連続する。
つりあい条件：
変形適合条件：
 B1  X   B0
 H  0 V  0  M  0
変位法による近似解析とは何か？
試験関数
cx( L  x)
v ( x) 
L2
ポテンシャルエネルギーπ
L
   Wi dx  P s
EI
0
2
2c EI
 3  P s
L
BMD
PL/4
ポテンシャルエネルギー極小の条件：
 /  s  0
Mx
x 2
We 
  EI
2 x
2
EI  2 v( x) 2

(
)
2
x 2
変位法による近似解の求め方
全ポテンシャルエネルギー
 2vx 2 
1 
   (Wi )dx  P p   EI x ( 2 ) dx  P p
2 
x 
全ポテンシャルエネルギー極小の条件

0
v ( x)
 2 v (x)
近似解： v ( x), M x  EI
x 2
例： v ( x)  af ( x)  bg( x)
とすれば、
既知関数
 / a  0,  / b  0
ポテンシャルエネルギー極小の条件
π
近似解
v (x)
０
つりあい点
変位場
真の解
つりあい点
有限要素変位解析法とは？
補間関数
ˆ
u(a) (x, y, z)  H(a) (x, y, z)  U
要素分割
節点変位ベクトル
ˆ
ε(a) (x, y, z)  B(a) (x, y, z)  U
σ (a)  C(a)ε (a)  τ (Ia)
初期応力
荷重ベクトル
ˆ R
KU
R  R B  R S  R I  RC
全体剛性行列
近似解析法：解は一つでない。
RB  
B
a V ( a)
( a)T
C(a) B(a) dV (a)
アイソパラメトリック有限要素法
2 (x2,y2)
1 (x1,y1)
y
0
(x ,y )
4 4
4
4
i 1
i 1
4
4
x   hi xi y   hi yi
i 1
r
0
ｘ－ｙ座標面
u   hi ui
s
写像
x
3
(x ,y )
3 3
1(1,1)
2(-1,1)
v   hi vi
i 1
4
4(1,-1)
3(-1,-1)
ｒ－ｓ座標面
補間関数：
1
h1  (1  r)(1  s)
4
1
h2  (1  r)(1  s)
4
1
h3  (1  r)(1  s)
4
1
h4  (1  r)(1  s)
4
ˆ
u(a) (x, y, z)  H(a) (r, s, t)  U
補間関数とは何か？
f(x)
f(x)
x1
x1
x2
線形補間
x3
x2
2次補間
h1=r(1-r)/2
h1=(1-r)/2
h2=r(1+r)/2
h2=(1+r)/2
r
1.0
h3=1-r 2
1.0
f(x)=h1f(x 1)+h2f(x 2)
f(x)=h1f(x1)+h2f(x2)+h3f(x3)
v
u
y 
x 
y
x
平面ひずみ：
    x
 r   r
     x
  
 s   s
y    
 hi
xi
4 



1
r   x  
r



y    4 i1 hi


xi

y
s   
 s


 x 
1  r 
    J   
 
 
 y 
 s 
u v
 
y x
 xy
hi    
yi   
r
  x 

hi
yi   
s   y 
J
(ヤコビアン行列）
ひずみベクトル
応力
σ  C  ε  CB  ε

弾性ひずみ
σ  C  (ε  ε i )  C  ε  τ I
初期ひずみ

ε   x  y  xy T  B(r, s)  u
ひずみ行列
初期応力(温度、乾燥収縮）
要素剛性行列：
K
(a)

B
(a) T
CB(a) dV (a)
V ( a)
dV  det J  drds
全体剛性行列：
KU  R
荷重ベクトル：
U
：全節点変位ベクトル
R  R B  R S  R I  RC
RB  
H
RS  
H
RI  
B
( a)T
f B(a) dV (a)
a V ( a)
S ( a)T
f S (a) dS (a)
a S ( a)
a V ( a)
(a)T
τ I (a) dV (a)
２次元問題での表面荷重
1
2
fxs
s
 f xS 
fS 

f
 yS 
fys
r
3
4
x,u
RS  
H
S ( a)T S ( a) ( a)
f
t dl (a)
a S ( a)
1
1

(
1

r
)
0
(
1

r
)
0
0
0
0
0


2
HS   2

1
1
 0
(1  r )
0
81  r ) 0 0 0 0
2
2


高次要素か低次要素か？
1
1
4
2
２次元：三角形要素
２次元：高次要素
3
2
3
3次元：四面体要素
3次元：高次要素
平面問題での高次要素補間関数
平面問題での高次要素の例
2
5
s
y
写像
x
，
0
3
1(1,1)
2(-1,1)
1
6
r
5 (-1,0)
0
6 (1,0)
4
3(-1,-1)
ｒ－ｓ座標面
ｘ－ｙ座標面
6
u   hi ui v 
i 1
4(1,-1)
6
 hi vi
i 1
1
h5  (1  s 2 )(1  r)
2
1
h6  (1  s 2 )(1  r)
2
三角形要素や四面体要素などの低次要素では要素
内のひずみが一定となり、応力分布も一定となる。
V
σ
1
1
σ
2
H
２
σ
自由辺
３
3
自由辺
各要素内の応力は一定
一定ひずみ要素分割
高次要素の適用
p
ヤコビアン行列
 hi
1 4  r xi
J  
4 i 1  hi x
i
 s
節点
数値積分法（たとえば、Gauss積分法）
hi 
yi 
r
hi 
yi 
s 
1 1
K (a)    F (a) drds
11
F
( a)
B
( a) T
CB(a) det J
温度応力や乾燥収縮応力の取り扱い
初期荷重
初期応力法
Ptc'
Ptb'
Ptc'
Ptb  tEAb
Ptc  tEAc
Ptb'
FEM解析での取り扱い
応力・ひずみ
関係
σ  C  ε  CB  ε
σ  C  (ε  ε i )  C  ε  τ I
温度問題：
εi  t τ I  C  t
乾燥収縮：
ε i   sh
εi
：初期ひずみ
 I
：初期応力
τ I  C   sh
剛性方程式
KU  R
荷重ベクトル：
RI  
B
a V ( a)
U
：全節点変位ベクトル
R  R B  R S  R I  RC
(a)T
τ I (a) dV (a)

鉄筋コンクリート構造（藤井クラス）宿題

有限要素法の概要

C1：数値計算・シミュレーション

5 2次元モデル

K2-0.68Ⅱ

1A1101 迫上り改良工事 FL GL