システム応答

第5週：
時間応答（１）
1/12
 過渡応答
定常応答
ラプラス変換
1次系
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7/12
動的システムの時間応答
伝達関数G(s)，入力U(s)が既知のとき，出力Y(s)は先の伝達関数
の定義より，Y(s)=G(s)U(s)となる．このとき出力の時間応答は出
力Y(s)の逆ラプラス変換から求めることができる．
y (t )  L1[G ( s)U ( s)]
また，たたみ込み積分を用い，求めることもできる．
t
y (t )  ( g * u )(t )   g (t   )  u ( )d
0
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入力信号の一部の例
インパルス信号
s領域
u(t)
t領域
1
0 t  0

 t  0
0
t
インディシャル信号
s領域
1
s
u(t)
t領域
1 t  0

0 t  0
1
0
t
ランプ信号
s領域
t領域
1
s2
t t  0

0 t  0
u(t)
0
t
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１次系（電気モデルによる一例）
R:電気抵抗
C:コンデンサ
i(t):電流
R
G( s) 
K
1  Ts
ei (t)
入力電圧
e (t )  Ri(t )  eo (t )

i
 e (t )  1 t i ( )d

 o
C 0
ラプラス変換
Ei ( s )  RCsEo ( s )  Eo ( s )
 ( RCs  1) Eo ( s )
Eo ( s)
1

Ei ( s) RCs  1
i (t)
C
eo (t)
出力電圧
E ( s)  RI ( s)  Eo ( s)

 i
 E ( s)  1 1 I ( s)
o


Cs
I ( s )  CsEo ( s )
K  1, T  RC
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10/12
１次系（インパルス応答）
伝達関数
G( s) 
K
1  Ts
入力信号
出力の時間領域
U ( s)  1
y (t )  L1[Y ( s )]
K /T 

L 
 s  1 / T 
1
出力のs領域
t
K T
 e
T
Y ( s )  G ( s )U ( s )
K

1  Ts
K /T

s 1/ T
y(t)
K
T
0
t
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１次系（インディシャル応答）（１）
伝達関数
G( s) 
K
1  Ts
入力信号
1
U (s) 
s
部分分数分解
K 1
A
B


1  Ts s 1  Ts s
両辺に (1+Ts)s をかける
出力のs領域
Y ( s )  G ( s )U ( s )
K 1

1  Ts s
 KT K


1  Ts s
K
K


s 1/ T s
K  As  B (1  Ts )
 ( A  BT ) s  B
恒等式より
 A  BT  0

 BK
 B  K , A  KT
K 1  KT K



1  Ts s 1  Ts s
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１次系（インディシャル応答）（２）
出力の時間領域
出力のs領域
y (t )  L1[Y ( s )]
K
K
Y ( s) 

s 1/ T s
1 
1
 K 

 s s 1/ T 
1 
1
 KL1  
 s s  1 / T 
t
 

 K 1  e T 


y(t)
K
0.95K
0.632K
t
0
T [秒] 3T [秒]
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