スライド 1

２章開水路における急変流
不等流(1)
２－１急変流とは
① 断面形状や底面形状が急激に変わる流れ
② 急変部は一般に短いので摩擦を無視できる
③ 流れが連続的に変化する場合はベルヌイの式、不連続部を伴って
変化する場合は運動量の式を用いる
f ( x)
２－２不等流における連続式
df
x
dx
予備知識　Taylor展開
1
f ( x  x)  f ( x)  f '( x)x  f ''( x)x 2 
2!
 f ( x)  f '( x)x
x
x
f ( x)
x  x
x
V
A
x
A
A
x
x
V
V
x
x
x
A 
V


Q  AV   A   x  V 
 x
x 
x


V
A
A V
2
 AV  A
 x V  x 
 x 
x
x
x x
V
A
A
 x V  x  0
x
x
V
A
A
V
0
x
x

高次の微小項

 AV   0
x
AV  Constant  Q
２－３不等流対するベルヌイ式の適用と比エネルギー
Text 3.5 (上) P83-91
1
v
(v  x)2
2g
x
2
v
2g
h
D
z
x
h
h  x
x
z
z  x
x
2断面間にベルヌイ式を立てる
L
v
z
h
1 
v 
zh
 z  x  h  x 
 v  x 
2g
x
x
2g 
x 
2
2
高次微小項
v
v
2
2
v  2v x  x  v  2v x
x
x
2
z
h
v v
x  x 
x  0
x
x
g x
 
v2 
zh
0
x 
2g 
v v 1 v 2

g x 2 g x
v2
zh
 Constant
2g
開水路の不等流を解くための基礎式の１つ
v2
z h
 Constant ＝総水頭
2g
位置水頭
水深水頭
D
速度水頭
L
v2
z h
 Constant
2g
開水路のベルヌイの式を直接扱う前に、水深と速度水頭の持つ性質
について詳しく調べる。このため水路底面を基準にとったより簡単
な式を考える。
v2
Eh
2g
• これを比エネルギー(Specific Energy)と呼ぶ。
• これは、水深（圧力）水頭と速度水頭の和であり、相互の依存関係を表す。
E が一定ならば h が増えれば v が減る。逆も言える。
• 一方、E = H – z なので河床が上がると比エネルギーは減少する。
２－５比エネルギーと水深
広長方形断面水路を考える
v2
Q q
E  h
に v 
 （q : 単位幅流量）を代入する。
2g
Bh h
v2
1 q2
q2
E  h
 h
 h
2
2g
2g h
2 gh2
• q が一定のもとで h による E の変化、E による h の変化を調べる。
•極値を調べる。
E
q2
q2
 1  3  0　→ hc  3
h
gh
g
において極値を持つ。このときの E は、
限界水深
2
q 1
1 3 1 3
Ec  hc 
 hc  hc 2  hc
2
2 g hc
2 hc 2
h
別の q に対して
Eh
3
 Ec  hc
2
ある q に対して
3
E h
2
別の q に対して
q2
E  h
2 gh2
hc
E
3
Ec  hc
2
E
q2
 1  3  0　において　q  hvを代入すると、
h
gh
2
 v 
q
hv
v
1 3  1 3  1
0  
1

 gh 
gh
gh
gh


2
2 2
v  gh
v
Fr 
gh
Frは
2
は長波の伝播速度である。
とおいて、これをフルード数(Froude Number)と呼ぶ。
の最小値が
E
、すなわち
Fr
1
において現れることを示す。
vc  gh
qが一定で、Eが同じでも2つの水深が生じ得る。
h
ある q に対して
Eh
3
E h
2
q2
E  h
2 gh2
hc
E
3
Ec  hc
2
① h  について見ると、この状態の流速は
hc
v
q q hc vc
 
 vc  ghc  gh
h hc
hc
v
 Fr 
1
gh
この状態の流れを常流(Sub Critical Flow)と
言い、この時の水深を常流水深という。
②次に h  について見ると、この状態の流速は
hc
q q hc vc
v  
 vc  ghc  gh
h hc
hc
v
 Fr 
1
gh
この状態の流れを射流(Super Critical Flow)と
言い、この時の水深を射流水深という。
まとめ
q
E
限界水深 hcは流量が一定のとき比エネルギー
を最小にする
水深である。
q2
3
hc  3 において最小値 Ec  hc となる。
g
2
同一の流量 q のもとで、同一の比エネルギーを与える水深が２つ
存在する。
h  hc なる水深hを常流水深、このときFr  1となる。
h  hc なる水深hを射流水深、このときFr  1となる。
両者を対応水深（交代水深）という。
問題
幅10mの長方形断面水路にQ=18m3/sの水が流れている。水深が1.2m
のとき、
(1) 比エネルギーを求めよ。
Q
18
v2
1.52
v

 1.5 (m/s) E  h 
 1.2 
 1.315(m)
bh 10 1.2
2g
2  9.8
(2)限界水深を求めよ。
q 2 3 1.82
hc  3

 0.69 (m)
g
9.8
(3)限界水深の時の比エネルギーを求めよ。
3
Ec  hc  1.037 (m)
2
(4)この流れは常流か射流か。
h  hcよって常流
２－６比エネルギーと流量
比エネルギーEが一定のときのqとhの関係を調べる。
v2
q2
2
2
E  h
 h
を変形して、　q

2
g
(
E

h
)
h
2g
2 gh2
h  E, h  0 で q  0
h
●極値は、
q
 2 g (1)h 2  2 g ( E  h)2h
h
E
 2 g (2 E  3h)h  0
2
すなわち、
2
hc  E
3
2
E
3
q
qc
あるqについて２つの水深が生じ、
常流水深、射流水深が発生し得る。
h
qが最大となるのは h  hc
の時で、この時のqは
常流水深
E
q2  2g ( E  h)h2
2
hc  E
射流水深
3
qc
qc

より
ghc
3
2
q
2
2 2 
2 2 
qc  2 g ( E  E )  E   g  E  E   ghc 3
3 3 
3 3 
2
 qc  ghc 3
限界流量
まとめ
限界水深 h は、比エネルギー E が一定のとき、流量 q を最大に
c
する水深である。
2
2 
hc  E において流量の最大値　qc  g  E 
3
3 
3
問題
ダムの越流部から測って E=1.2mの
水位を保つ貯水池がある。
E  1.2(m)
①越流する流量は単位幅あたりいくらか？
越流部において限界水深が現れ、
2
2
hc  E  1.2  0.8(m)
3
3
よって、　q  ghc3  9.8  0.83  2.24(m2 / s)
②このとき、頂部で Fr =1 となることを確かめよ。
Fr 
vc
q


ghc hc ghc
ghc 3
ghc 3
1
2
hc  E
3
２－７急変流の水面形方程式
ベルヌイの式に戻って
Text 3.5 (上) p83-91
7.1 (下) p1-7
E
d 
V2 
zh
0
dx 
2g 
d
z  E  0
dx
dE
dz
dE d 
V2 
  ここで、   h 
 dx
dx
dx dx 
2g 
Q AV BhV
q
長方形断面を考え q  

 hV より V 
B
B
B
h
dE d 
q 2  dh d  q 2  dh
 h
= + 
2 
2 
dx dx 
2 gh  dx dh  2 gh  dx
 q 2  dh
=  1- 3 
 gh  dx
dE  q 2  dh  V 2  dh
dz
2 dh
  1- 3    1  1  Fr   
dx  gh  dx  gh  dx
dx
dx
dh
1 dz
したがって、
 2
dx Fr  1 dx
急変流の水面形方程式
I
等流水深が
常流 h  hc
II
III
dh
1 dz
 2
dx Fr  1 dx
hc
x
(1) 常流の場合 ( Fr < 1 )
断面 I において
断面 II において
断面 III において
dz
0
dx
dz
0
dx
dh
0
dx
dh
0
dx
dz
0
dx
dh
0
dx
I
II
III
dh
1 dz
 2
dx Fr  1 dx
等流水深が
射流
hc
h  hc
x
(2) 上流も下流も射流の場合 ( Fr > 1 )
断面 I において
断面 II において
断面 III において
dz
0
dx
dz
0
dx
dh
0
dx
dh
0
dx
dz
0
dx
dh
0
dx
I
II
III
dh
1 dz
 2
dx Fr  1 dx
上流が常流
下流が射流
h  hc
h  hc
x
(1) 上流が常流( Fr < 1 )、下流が射流の ( Fr > 1 )の場合
断面 I において dz  0
dx
断面 III において dz  0
dx
dz
しかし、ここでは
0
dx
dh
0
dx
dh
0
dx
dz
なので矛盾する。
0
dx
になり得るのは分母 = 0 の場合のみ。すなわちIIにおいては
即ち、限界水深となることが必然化される。
IIにおいても
dh
0
dx
が起きる。
dh
0
で
dx
h  hc
一様勾配（水平）で幅が変化する長方形断面水路の水面形
dE d 
V2 
d 
1 Q2 
 h
  h
2 2 
dx dx 
2g 
dx 
2g B h 
dh Q 2  1 dB 2 1 dh 2 


 2
 2

dx 2 g  h dx
B dx 
dh Q 2  1 dB
1 dh  dh 
Q2 
Q 2 dB


 2 3
 2 3
  1  3 2   2 3
dx g  h B dx B h dx  dx  gh B  gh B dx
2
dh 
q2 
q 2 dB dh
q
h dB
 1  3   2

1  Fr 2  3
dx  gh  gh B dx dx
gh B dx

3
h
dh
dz
2
c h dB

1  Fr  3
 0
dx
h B dx
dx



2
q
hc 3 
なので
g
hc 3 1
2
dh
dB
h
B
ゆえに、

dx 1  Fr 2 dx
A
平面
B
hc 3
2
dh
dB
h
B

dx 1  Fr 2 dx
C
B
hc 
縦断
h  hc
常流( Fr < 1)の場合
Aで
Bで
Cで
x
分母 > 0
dB
dh
0
0
dx
dx
dB
dh
0
0
dx
dx
dB
dh
0
0
dx
dx
3
Q2
B2 g
A
平面
B
hc 3
2
dh
dB
h
B

dx 1  Fr 2 dx
C
B
hc 
h  hc
縦断
x
射流( Fr > 1)の場合
Aで
Bで
Cで
分母 < 0
dB
dh
0
0
dx
dx
dB
dh
0
0
dx
dx
dB
dh
0
0
dx
dx
3
Q2
B2 g
A
平面
B
hc 3
2
dh
dB
h
B

dx 1  Fr 2 dx
C
B
h  hc
縦断
h  hc
上流側で常流( Fr < 1)
h  hc
hc 
3
Q2
B2 g
x
下流側で射流( Fr > 1)
dB
dh
dB
dh
0
0
Aで
0
0
Cで
dx
dx
dx
dx
dB
dh
Bでは
 0 なので、有限値
 0 が生ずるためには、
dx
dx
分母 = 0 すなわち Fr  1, h  hc となることを要す。

Download Report