大規模連立一次方程式を解くためインターネットサービ

大規模連立一次方程式を解くための
インターネットサービスシステムの構築
趙涛(東京大学)
鄭波(東京大学)
張紹良(名古屋大学)
2007年３月７日
流れ






研究背景
既存システムの紹介
本システムの目的
本システム使用流れ
本システム構築と実装
まとめ
背景１大規模連立一次方程式は様々な領域に
必要不可欠


















航空管制 Air Traffic Control
天体物理学 Astrophysics
生化学 Biochemistry
化学工学 Chemical Engineering
反応速度論 Chemical Kinetics
サーキット物理学 Circuit Physics
コンピュータシステムシミュレーション Computer System Simulation
人口統計学 Demography
経済学 Economics
有限要素法 Finite Element Analysis
流体力学 Fluid Flow
線形計画法 Linear Programming
原子炉デザイン Nuclear Reactor Design
海洋学 Oceanography
石油工学 Petroleum Engineering
パワーシステムネットワーク Power System Networks
構造工学 Structural Engineering
測量学 Surveying
自然現象
分
析
定式化
偏微分方程式
Ax = ｂ
A:大規模連立一次方程式
離散化
背景２連立一次方程式解法開発の現状

直接法




Gauss消去法
LU分解
．．．
反復法

定常反復法






Ｊａｃｏｂｉ法
Ｇａｕｓｓ－Ｓｅｉｄｅｌ法
ＳＯＲ法
ＳＳＯＲ法
．．．
非定常反復法








ＧＭＲＥＳ法
ＧＣＲ法
共役勾配法(Conjugate Gradient法)
双共役勾配法（Bi-CG法）
CGS法
Bi-CGSTAB法
GPBi-CG法
．．．
係数行列のサイズが小さい方
程式だけに適用
大規模連立一次方程式、特に
大規模疎行列に適用
どの反復法もすべての方程式
を解けるとは言えない
解法の選択はユーザに困難で
ある
背景３利用者と研究者それぞれの立場
 大規模連立一次方程式の解法を利用する人は利用
者と呼ぶ。利用者は自分の方程式に一番有効な解
法のみに興味にもつ。
 大規模連立一次方程式の解法を開発する人は研究
者と呼ぶ。研究者は解法の実際のパフォーマンスを
把握したい。
利用者の場合
解法実装のために様々可能な手段



プログラム言語：Fortran、C++など
線形計算ライブラリ：LAPACK、Templatesなど
数学ソフトウェア：Matlab、Mathematicsなど
どんな方法でも、解法の実装は難しい。一般の場合は
利用者
研究者
研究者の場合
方程式のデータを集めるために様々な手段



方程式を提供するウェブサイト：Matrix market、Netlibなど
関連研究室からもらう
関連会社からもらう
以上の方法でも、方程式のデータは不足する。実際に
方程式の出所は利用者ーー
利用者
互いに有利である
研究者
既存システム１ーーITBL
 ITBLは反復法評価のインターネットシステムである
http://www.itbl.jp
利
用
者
方程式の解
方程式の提供
• 研究者は新解法を開発
しても、自分で登録できない
解法
方程式
解法の評価を見れる
研
究
者
既存システム２ーーMatrix Market
 Matrix marketは行列データを提供するウェブサイトである
http://math.nist.gov/MatrixMarket/
利
用
者
方程式の提供
• 方程式のデータベースと
して豊富であるが、計算
サーバの性能はない
方程式
方程式データのダウンロード
研
究
者
既存システム３ーーMatlab
 Matlabは数値解析ソフトウェアである
利
用
者
アルゴリズムを実装して、方程式を解くことができる
ライブラリ
• 方程式のデータベースが
ない
• 解法も登録できない
方程式を入力して、解法を検証できる
研
究
者
既存システムの比較
ITBL
Matrix
Market
Matlab
本システム
方程式のデータベース
○
○
×
○
解法のデータベース
×
×
×
○
計算サーバ
○
×
○
○
目標
本研究の目的
インターネット上に利用者と研究者の間交流の場を提供する
利
用
者
方程式の解
方程式の提供
解法
• 方程式のデータベース
• 解法のデータベース
• 計算サーバ
方程式
ZZZシステムと呼ぶ
解法の提供
解法の検証
研
究
者
本システムの使用流れーー実例
 方程式データ
行列ORSREG 1は数値油層モデルの構築問題から得る行列である。
行列の形は
数値型：
対称性：
サイズ：
非ゼロ要素数：
 解法
GPBi-CG法
適用範囲は
数値型：
対称性：
複素数
非対称
実数
非対称
2205 × 2205
14133
本システムの使用流れーー計算タスク入力画面
計算タスク
入力画面
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Algorithms Add
追加
G
O
追加
本システムの使用流れーー計算タスク入力画面
計算タスク
入力画面
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方程式追加
Algorithms Add
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G
O
追加
解法追加
本システムの使用流れーー方程式入力画面
方程式入力画面
計算タスク
入力画面
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G
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本システムの使用流れーー方程式入力画面
方程式入力画面
計算タスク
入力画面
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G
O
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Vector
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書式
行列
ベクトル
本システムの使用流れーー書式入力画面
方程式入力画面
計算タスク
入力画面
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G
O
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書式入力画面
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本システムの使用流れーー書式入力画面
方程式入力画面
計算タスク
入力画面
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書式入力画面
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書式登録
G
O
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内部書式
書式検索
本システムの使用流れーー方程式入力画面
方程式入力画面
計算タスク
入力画面
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G
O
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書式入力画面
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本システムの使用流れーー方程式入力画面
方程式入力画面
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書式入力画面
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入力した書式
本システムの使用流れーー行列入力画面
方程式入力画面
計算タスク
入力画面
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G
O
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書式入力画面
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行列入力画面
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本システムの使用流れーー行列入力画面
方程式入力画面
計算タスク
入力画面
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G
O
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書式入力画面
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行列アップロード
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（ORSREG
1）
行列入力画面
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内部行列
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行列検索
本システムの使用流れーー方程式入力画面
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G
O
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書式入力画面
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行列入力画面
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本システムの使用流れーー方程式入力画面
方程式入力画面
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入力画面
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G
O
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書式入力画面
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行列入力画面
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アップロード
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した行列NEXT
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本システムの使用流れーーベクトル入力画面
方程式入力画面
計算タスク
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G
O
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行列入力画面
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本システムの使用流れーーベクトル入力画面
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O
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行列入力画面
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ベクトルアップロード
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内部ベクトルNEXT
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（すべて１）
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本システムの使用流れーー方程式入力画面
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行列入力画面
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本システムの使用流れーー方程式入力画面
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本システムの使用流れーー計算タスク入力画面
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G
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書式入力画面
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行列入力画面
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本システムの使用流れーー計算タスク入力画面
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入力した方程式
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O
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（GPBi-CG）
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解法検索
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G
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行列入力画面
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書式入力画面
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計算進捗
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ベクトル入力画面
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…
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計算結果画面
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本システムの使用流れーー計算結果画面
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入力画面
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G
O
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計算中画面
Computing
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残差収束履歴
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本システムの構築図
データベース
 方程式のデータベース
 計算サーバ
 解法のデータベース
解法
方程式
設定
ユーザ
結果
Internet
Webサーバー
計算サーバー
本システム実装１ーー方程式データベース
 行列書式のツールの構築

ZZZ行列書式定義言語を開発した

だれでも行列書式を定義できる
自分の行列
＋
例：
書式定義書
登録
ZZZシステム
たくさんの行列を受けられる
複素数MM書式
(\\%(~<br>)*<br>)*
<int:{ROW_NUM;}>
<sp>+<int:{COL_NUM;}>
(<sp>+<int:{NONZERONUM;}>)?
(<br><sp>*<int:{ROW;}><sp>+
<int:{COL;}><sp>+<number:
{ELE_REAL;}><sp>+
<number:{ELE_IMAGE;}>)*<br>*
本システムの実装２ーー解法データベース
 ZZZプログラム言語を開発した
例、GPBiCG法はZZZ言語で実装できる
．．．
its = its + 1;
while(rLog > -12 && its < max_time) {
print("its = ");print(its);
print(", rLog = ");println(rLog);
PnHn = RnHn + (Pn0Hn0 Pn0AGn0) * beta_n0;
PnAHn = A * PnHn;
tmpd1 = r0 ^ RnHn;
tmpd2 = r0 ^ PnAHn;
alpha_n = tmpd1 / tmpd2;
Rn1AGn0 = RnHn0 - RnHn (RnAHn0 + Pn0AHn0 * beta_n0 - PnAHn) * alpha_n;
Rn1Hn = RnHn - PnAHn * alpha_n;
Rn1AHn = A * Rn1Hn;
if(its == 2) {
Rn1Hn;
．．．
t2 = Rn1AHn ^
本システムの実装２ーー解法データベース
 ZZZプログラム言語の紹介
 データ型



int
string
boolean
 運算



算術運算: +, -, *, /
比較運算: <, <=, >, >=, ==, !=
論理運算: &&, ||, !
 フロー制御


選択(if)
ループ(while)
 内部関数



abs()
log()
…

doubl
e

comp
lex

matri
x
本システムの実装３ーー計算サーバ
即時通信
即時通信
ユーザ
Webサーバ
ZZZ計算サーバと通信できる
計算サーバ
他のサーバ
いつでも、どこからでも計算サーバを利用することで、必要な計算
結果を入手できる
まとめ
 方程式のデータベースを構築して、どの利用者も
自分の方程式をアップロードできる
 解法のデータベースを構築して、どの研究者も自
分の解法をアップロードできる
 計算サーバを構築して、いつでも、どこからでも必
要な計算結果を入手できる

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