Surface Curvature and Shape Reconstruction from Unknown Multiple Illumination and Integrability Joel Fan and Lawrence B. Wolff CVIU 1997 宮崎大輔 概要 • ヘッセ行列を求める手法の解説 • 求めたヘッセ行列を用い – ガウス曲率の符号で物体表面を分割 – それをさらに凹凸で分割 (スライド:17枚) Image irradiance equation • 物体表面の点: (x, y, z(x, y)) {z(x, y)∈C2} • 表面法線ベクトル: (p, q, -1) • pとqはgradient space変数 z y z y p zx q z y z x z x • Image irradiance equation I ( x, y) R( p, q) 点(x, y)の輝度Iは、reflectance map Rを用いて、 表面の方向(p, q)で表される ヘッセ行列 • ヘッセ行列(Hessian matrix)は z xx z xy H z yx z yy • z(x, y)はC2なのでzxy=zyx(積分可能性制 約) つまり、ヘッセ行列は3自由度 • ヘッセ行列は、表面の曲率に関する情報 を表す→ガウス曲率の符号、凹凸 ガウス曲率の符号と凹凸 • |H|をヘッセ行列Hの行列式、単位ヘッセベ クトルを(nx, ny, nz)とすると、ガウス曲率K の符号は 2 sign (K ) sign (| H |) sign (nx nz n y ) • nx nz ny2 0 の場合、nx>0なら凸、nx<0なら凹 Ratio mapの定義 • Ratio image i1,2は、二つの画像I1とI2を用いて以 下のように定義される I 1 ( x, y) i1, 2 ( x, y) I 2 ( x, y) • Ratio map: ratio imageのreflectance map • 光源s1,s2での画像をI1,I2とする。RiをIiに関する reflectance mapとすると、ratio map r1,2は I1 ( x, y) R1 ( p, q) i1, 2 ( x, y) r1, 2 ( p, q) I 2 ( x, y) R2 ( p, q) 3つの画像のratio map • 画像I1(x,y), I2(x,y), I3(x,y)があるとする i1, i2, r1, r2を以下のように定義 I1 ( x, y) R1 ( p, q) i1 ( x, y) i1,3 ( x, y) r1,3 ( p, q) r1 ( p, q) I 3 ( x, y) R3 ( p, q) I 2 ( x, y) R2 ( p, q) i2 ( x, y) i2,3 ( x, y) r2,3 ( p, q) r2 ( p, q) I 3 ( x, y) R3 ( p, q) Image irradiance equationの微分 • 前頁の2式をxとyで微分すると下式を得る i1x i1 y r1 p r1q z xx z xy I RH i r z i r z yy 2 x 2 y 2 p 2 q yx • Iは既知なのでRが求まればHが求まる r1 ( p, q) p R r2 ( p, q) p r1 ( p, q) q 1 R1 p r1 R3 p r2 ( p, q) R3 R1q r1 R3q q R2 p r2 R3 p A B R2 q r2 R3q C D • r1, r2, R3は分かるので、R1p, R2p, R3p, R1q, R2q, R3q が求まればRが求まる 式変形 • 前頁の結果から z xx z yx 1 HR I ここで、z xy z yx z xy 1 D B i1x z yy | R | C A i2 x i1 y i2 y なので Di1y Bi2 y Ci1x Ai2 x これを変形すると R2 q i1 y R 1q R (r1i2 y r2 i1 y ) 3q R 1q R i2 x 1 p R 1q R i1x 2 p R 1q R (r1i2 x r2 i1x ) 3 p R 1q i2 y Gradient ratio constants • 5点(x0,y0),…,(x4,y4)を選ぶと下式が導かれ る R2 q R1q R3q i ( x , y ) ( i i i i )( x , y ) i ( x , y ) i ( x , y ) ( i i i i )( x , y ) 1y 0 0 i2 y ( x0 , y0 ) 1 2y 2 1y 0 0 2x 0 0 1x 0 0 1 2x 2 1x 0 0 R1q i ( x , y ) ( i i i i )( x , y ) i ( x , y ) i ( x , y ) ( i i i i )( x , y ) i ( x , y ) 1y 1 1 1 2y 2 1y 1 1 2x 1 1 1x 1 1 1 2x 2 1x 1 1 R1 p 2 y 1 1 i2 y ( x2 , y2 ) R1q i2 y ( x3 , y3 ) R i ( x , y ) (i i i i )(x , y ) i ( x , y ) i ( x , y ) (i i i i )(x , y ) 2 p i ( x , y ) 1 2y 2 1y 4 4 2x 4 4 1x 4 4 1 2x 2 1x 4 4 2y 4 4 1y 4 4 R1q R3 p R 1q ヘッセ行列が求まる • 比率 R2q R1q , R3q R1q ,...,R3 p R1q は、5点(x0, y0), …, (x4, y4)を選ぶ事により求まる • R1qに任意の値を入れると、ヘッセ行列が 求まる • ヘッセ行列により、ガウス曲率の符号、凹 凸、物体形状が分かる (c) Daisuke Miyazaki 1997 All rights reserved. http://www.cvl.iis.u-tokyo.ac.jp/
© Copyright 2024 ExpyDoc