プロセス制御工学
３．伝達関数と過渡応答
京都大学
加納 学
Division of Process Control & Process Systems Engineering
Department of Chemical Engineering, Kyoto University
[email protected]
http://www-pse.cheme.kyoto-u.ac.jp/~kano/
講義内容
 伝達関数
 プロセスの過渡応答
 ブロック線図
2
伝達関数
線形微分方程式
dny
d n 1 y
dy
an n  an 1 n 1    a1
 a0 y
dt
dt
dt
d mu
d m 1u
du
 bm m  bm 1 m 1    b1
 b0u
dt
dt
dt
伝達関数
ラプラス変換
Y (s) bm s m  bm1s m1    b1s  b0
G( s) 

U (s) an s n  an1s n1    a1s  a0
 定常値からの変化量で表現，初期条件=0
3
伝達関数とブロック線図
伝達関数
Y (s)
G( s) 
U ( s)
ブロック線図
U (s )
入力
G (s )
伝達要素
Y (s)
出力
4
5
例題３．１
線形微分方程式
~
Fi
dL
A
 Fi  ~ L
dt
2L
ラプラス変換
伝達関数
~

Fi 
 As  ~ L( s )  Fi ( s )


2
L


~
2L
~
Fi
L( s)
G( s) 

~
Fi ( s) 2 AL
~ s 1
Fi
１次遅れ
K
Ts  1
6
例題３．２
線形微分方程式
d2y
dy
du1
a2 2  a1  a0 y  b1
 b0u1  c0u2
dt
dt
dt
ラプラス変換
Y (s)  G1 (s)U1 (s)  G2 (s)U2 (s)
伝達関数
b1s  b0
Y ( s)
G1 ( s) 

2
U1 ( s) a2 s  a1s  a0
c0
Y (s)
G2 ( s) 

2
U 2 ( s) a2 s  a1s  a0
2入力１出力系
講義内容
 伝達関数
 プロセスの過渡応答
 ブロック線図
7
8
過渡応答
 過渡応答
入力の変化に対する出力の時間的変化
入力
U (s )
伝達要素
G (s )
ステップ入力
出力
Y (s)
ランプ入力
インパルス入力
9
過渡応答の特徴
振動周期（T0）
1.8
To
1.6
1.4
行過ぎ量（A
1/B）
減衰比（A2/A1）
A1
1.2
A2
y
1
0.8
B
0.6
Ts
0.4
むだ時間（L）
0.2
整定時間（Ts）
L
Tr
0
0
2
4
6
8
10
立上がり時間（T
r）
t
12
14
16
18
20
10
１次遅れ要素
1次遅れ要素
K
1
0.9
y/K
K
G (s) 
Ts  1 0.632K
0.8
0.7
0.6
ステップ応答
0.5
y(t )  K (1  et /T )
0.4
K
T
定常ゲイン
時定数
0.3
0.2
0.1
0
0
1
T
2
3
4
5
6
t/T
 新しい定常状態における出力値はKである．
 時定数Tに等しい時間が経過すると，出力の変化幅は
最終的な変化幅の63.2%に達する．
7
例題３．３
定常ゲイン
伝達関数
~
2L
~
Fi
L( s)
G( s) 

~
Fi ( s) 2 AL
~ s 1
Fi
時定数
１次遅れ
K
Ts  1
11
1次遅れ要素と積分要素
dL
A
 Fi  a L
dt
K
G(s) 
Ts  1
1次遅れ要素
物質収支式
dL
A
 Fi  Fo
dt
伝達関数
K
G (s) 
s
積分要素
12
積分要素
積分要素
K
G (s) 
s
 傾きKの直線となる．
y(t )  Kt
13
14
２次遅れ要素
2
２次遅れ要素
K
G( s)  2 2
 s  2s  1
1.8
 =0 .1
1.6
0.2
1.4
0.4
y/K
1.2
0.7
1
0.8
K
ζ
定常ゲイン
減衰係数
1.0
0.6
2.0
0.4
0.2
0
0
2
4
6
8
10
t/
 新しい定常状態における出力値はKである．
 振動する場合（ζ＜１）としない場合（ζ≧１）がある．
12
14
15
２次遅れ要素
２次遅れ要素
K
G( s)  2 2
 s  2s  1
特性方程式
 2 s 2  2s  1  0
特性根（極）





>1
1
0<<1
0
<0
s
    1
2

共に負の実根
負の重根
共に実部が負の複素根
共に虚根
実部が正の根が存在
安定
非振動
安定
非振動
安定
振動
安定限界 振動
不安定 －
安定性と振動性
K
G( s) 
( s  p1 )( s  p2 )
p1  a  jb , p2  a  jb
K
G (s)  2
s  2as  a 2  b 2
K
b

b (s  a)2  b 2
ラプラス逆変換
K at
g (t )  e sin bt
b
安定性 振動性
16
安定性と振動性
K
G( s) 
( s  p1 )( s  p2 )
p1  a  jb , p2  a  jb

K 
1
1
G( s ) 



2 jb  s  (a  jb) s  (a  jb) 
K
( a  jb ) t
( a  jb ) t
g (t ) 
e

e


2 jb
K at

e (cos bt  j sin bt )  (cos bt  j sin bt )
2 jb
K at
 e sin bt
b
17
18
安定性と振動性
Im
安定
s-平面
不安定
Re
非振動
安定限界
 すべての極の実部が負であれば，安定．
１つでも実部が正の極があれば，不安定．
 すべての極が実数であれば，非振動．
１つでも複素数の極があれば，振動．
19
例題３．４
２次遅れ要素
K
G( s)  2 2
 s  2s  1
特性方程式
 2 s 2  2s  1  0
特性根（極）
s
    1
2

むだ時間要素
むだ時間要素
G(s)  e
 Ls
 時間Lだけ，入力に対して出力が遅れる．
20
講義内容
 伝達関数
 プロセスの過渡応答
 ブロック線図
21
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ブロック線図
伝達要素
Y (s)  G(s)U (s)
加え合わせ点
C (s)  A(s)  B(s)
引き出し点
A(s)  B(s)  C (s)
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ブロック線図
PC
1
Y
R
D
1  PCH
1  PCH
閉ループ伝達関数
開ループ（一巡）伝達関数
PC
1  PCH
1
1  PCH
PCH
おわり
 宿題？
24

PowerPoint プレゼンテーション

制御系の特性

演習1