構造力学復習用資料

構造力学復習用資料
津田研究室４年
村上香織
モーメント
力
• 物体に作用する力Fは加速度aおよび質量m
に比例する．（ニュートンの第二法則より）
F=ma
(単位：N=kgm/s2)
• 力はベクトル量
• 力の三要素：「大きさ」・「向き」・「作用点」
モーメント
• モーメントとは任意の点の周りに
回転させようとする力の働きのこ
と． (単位：Nm，kNm)
M=Pl
• 一般的に，時計回りを正，反時
計回りを負とする．
• 手でナットを回す力Pとスパナの
長さlの積PlがモーメントMである．
• スパナの端を持ったほうが楽
lが長いほうがモーメントが大きい
モーメント
• モーメントとは任意の点の周りに
回転させようとする力の働きのこ
と． (単位：Nm，kNm)
M=Pl
• 一般的に，時計回りを正，反時
計回りを負とする．
• 手でナットを回す力Pとスパナの
長さlの積PlがモーメントMである．
• スパナの端を持ったほうが楽
lが長いほうがモーメントが大きい
偶力
• 大きさが等しく平行で，方
向が異なる二つの力のこと
を偶力という．
• 偶力は物体に作用して回
転運動を起こす．
⇒偶力のモーメント
• 例：車のハンドル，水道の
蛇口
偶力
• 大きさが等しく平行で，方
向が異なる二つの力のこと
を偶力という．
• 偶力は物体に作用して回
転運動を起こす．
⇒偶力のモーメント
• 例：車のハンドル，水道の
蛇口
力の合成・分解
同一作用線上の力
•
同一線上の力であれば，力を移動すること
ができる．
P
•
P'=P
同一線上の力は，足し算，引き算ができる．
P1
P2
R= P1+ P2
2力の合成
•
1点に作用する2つの力
は，この2力を2辺とする
平行四辺形の対角線を
用いて，合成することが
できる．
•
合成した力を合力という．
•
例：ゴムのぱちんこで玉
を飛ばす
2力の合成
•
1点に作用する2つの力
は，この2力を2辺とする
平行四辺形の対角線を
用いて，合成することが
できる．
•
合成した力を合力という．
•
例：ゴムのぱちんこで玉
を飛ばす
力の分解
•
三角関数を用いることによ
り，1つの力を2方向の力に
分解することができる．
•
分解したそれぞれの力を分
力という．
•
例：二人でバケツをもつ
荷重
集中荷重
• 集中荷重とは，部材のある
1点に集中して作用する荷
重である．
(単位：N，kN)
P
モーメント荷重
• モーメント荷重とは，部材
のある1点に回転力として
作用する荷重である．
(単位はN･mm，kN･m)
M
分布荷重
•
分布荷重は部材に分布して作用する荷重である．
(単位：N/m，kN/m)
w
w
等分布荷重
w
等変分布荷重
三角分布荷重
w
任意分布荷重
支点と反力
固定端
•
移動も回転も生じない点
•
反力数は3
•
鉛直と水平方向に移動し
ない
•
回転しない：モーメント反
力あり
ピン支点(回転端，ヒンジ)
•
回転が自由な支点
•
反力数は2
•
鉛直と水平方向に移動し
ない
•
回転は自由：モーメント反
力なし
ピン支点(回転端，ヒンジ)
•
回転が自由な支点
•
反力数は2
•
鉛直と水平方向に移動し
ない
•
回転は自由：モーメント反
力なし
ローラー支点（移動端）
•
回転し地面と平行な方向
の移動が可能な支点
•
反力数は1
•
鉛直方向には移動しない
•
水平方向と回転は自由：
水平方向反力，モーメン
ト反力なし
ローラー支点（移動端）
•
回転し地面と平行な方向
の移動が可能な支点
•
反力数は1
•
鉛直方向には移動しない
•
水平方向と回転は自由：
水平方向反力，モーメン
ト反力なし
力の釣り合い
力の釣り合い
• 物体が静止してそのままの状態を保つとき，力は釣
り合っている．
• X軸方向の力の総和が0
• Y軸方向の力の総和が0
• 任意の点に対する力のモーメントの総和が0
SX=0
SY=0
SMA=0
節点
ピン節点(滑節点，ヒンジ)
•
•
•
•
•
モーメントを伝達しない節
点
ピン節点ではモーメント
が0
部材は端部で回転し部
材間の角度は変化する．
節点で伝達される力は，
軸方向力とせん断力の2
つである．
例：トラス構造
ピン節点(滑節点，ヒンジ)
•
•
•
•
•
モーメントを伝達しない節
点
ピン節点ではモーメント
が0
部材は端部で回転し部
材間の角度は変化する．
節点で伝達される力は，
軸方向力とせん断力の2
つである．
例：トラス構造
剛節点
•
•
•
•
モーメントを伝達する節
点
部材端部は相互に剛に
つながっているため，節
点が回転しても部材相互
の角度は不変である．
節点で伝達される力は，
軸方向力，せん断力，
モーメントの3つである．
例：ラーメン構造
応力
応力
• 物体に外から外力を加えると，内部には応力
(内力)が発生する
• 応力は，物体の切断面に生じる(断面力とも
いう)
りんごの実験
• 枝に生っているりんご
は地球からの重力Fを
受けているが落ちない
ということについて考え
る．
N=-F
F
りんごの実験
• りんごのへたを切断し
てみるとりんごは落下
する．
N=-F
F
りんごの実験
• りんごのへたを切断し
てみるとりんごは落下
する．
N=-F
F
りんごの実験
• りんごのへたを切断す
る前に，切断個所の少
し下を指で挟み，押さえ
た状態のまま切断する．
N=-F
F
りんごの実験
• 切断すると下方に引く
力Nが指にかかるのを
感じる．
N=-F
• このとき，指で支えてい
る限り，りんごが落ちる
ことはない．
F
りんごの実験
• 指でりんごを支えたま
ま，反対の手でりんご
を下から支えてみる．
N=0
• 手がりんごに触れると，
指に感じていた力は消
滅する．
N '=-F
F
りんごの実験
• 支える手をはずすと指
に再び力を感じる．
N=-F
F
りんごの実験
• へたは，りんごに作用している重力に釣り合うだけの力でり
んごを支えている.
⇒りんごは力が釣り合い状態
⇒静止
• 手で支えたとき：下からりんごを支える.
⇒りんごに働いていた重力Fの効果を打ち消した.
⇒へたに生じていた力が消えた.
• 物体に外から力(ここでは重力)を加えた場合，それに“応じ
て”物体内部に生じる力を応力と呼ぶ．
サイコロの実験
• サイコロを並べて両側
から圧縮外力Pを加え
る．
• 5つのサイコロを一つの
部材と考える．
• Pは釣り合っている外力
⇒サイコロは静止
サイコロの実験
• 中央のサイコロに注目
する．
• Pが左右のサイコロを
伝わり，Pと同じ大きさ
の力P'が左右から働い
ている．
サイコロの実験
• これらのサイコロを構造部材として考えると， P'は部
材を切断した面に生じていることになる．
• P'のように外力に応じて部材内部を伝わり切断面に
生じる力を応力という．
消しゴムの実験
• 消しゴムを右図のよう
に左手で持ち，右手で
押してみる．
• 消しゴムを建物，左手
を地盤，右手を荷重(外
力)と例えている．
消しゴムの実験
• 左手で消しゴムを持ち，
右手で押すと，消しゴ
ムは曲がり，左手に消
しゴムを押し返そうとす
る力(反力)を感じる．
消しゴムの実験
• 次に，消しゴムを切断し
元の形に重ねる．
消しゴムの実験
• この消しゴムを右手で
押すと，切断した部分
から消しゴムは落ちて
しまう．
• このとき，左手には力を
感じないし，消しゴムは
上部が転落し，下部に
は変形を生じない．
消しゴムの実験
• 消しゴムを切断する前：
変形あり，反力あり
• 消しゴムを切断した後：
変形なし，反力なし
• 消しゴムの切断面には，
くっつき合うための力が
ある
⇒応力
応力の種類
軸方向力(N)
•
部材の材軸方向に引っ
張ったり押したりする力
引張
＋
•
両側に引っ張られるとき
は引張応力，押されると
きは圧縮応力という．
正
圧縮
•
通常は，引張を正，圧縮
を負とする．
(単位はN，kN)
ー
負
曲げモーメント(M)
•
部材に両側から作用して曲
げようとする力
下に凸
＋
•
通常は，下側が引っ張られ
る状態に正(下に凸：＋)，上
側が引っ張られる状態を負
(上に凸：－)とする．
(単位はN･mm，kN･m)
正
上に凸
ー
負
せん断力(Q)
•
部材の軸に直角方向に
部材を断ち切ろうと作用
する力
時計回り
•
一組の反対向きの力か
らなる．
正
•
部材を時計方向に回転さ
せるときに正(＋)，反時
計回りのときに負(－)と
する．
(単位はN，kN)
＋
反時計回り
ー
負
応力図(断面力図)
自由体(free body)
• 部材にかかる応力を求めるとき，部材の一部
を切り出して自由体(free body)として考える
とよい．
• 釣り合いの式により，応力が算定できる
⇒応力が分かると，M，Q，N図が書ける．
自由体(free body)
• 自由体(free body)
は，右図のように，
荷重や支点，節点
で区分される部分
について切り出して
考えればよい．
自由体(free body)
• 水平部材については，部材の左の面，右の面につ
いて下図の方向を正とする．
• 鉛直部材については，せん断力は時計方向に回転
する方向，軸力は引張を正とする．
＋
＋
＋
正
正
正
片持ち梁型
• 片持ち梁型は，自由端(固
定端でない方)からの自由
体を作るとよい．
⇒このようにすると，反力の
計算が不要である．
• 右図の場合，A点から囲ん
だ部分を切り取って自由体
を考える．
P
A
片持ち梁型
P
N図
A
A
l
Q図
• A点から自由体を仮定して断
面力を求める．
SXx=0：N=0
SYx=0：P-Q=0，Q=P
SMx=0：M+Px=0，M=-Px
M
N
P
Q
(+)
A
M図
A
変形図
P
x
A
x
A
単純梁型
• 単純梁型は，まず反力を求
めて，自由体を作る．
• 外力のモーメントが働いて
いないピン支点，ローラー
支点はモーメントが0(連続
梁では0ではない：外力の
モーメントが働くことと同じ
となる)．
• 右図の場合，まず反力を求
める．そのあと，A点から囲
んだ部分と，B点から囲ん
だ部分を切り取って自由体
を考える．
P
l/3
A
2l/3
C
B
単純梁型
① A点での反力をVA，B点の反力をVB
とすると，
SX=0：N=0
SY=0：VA ＋ VB =P
SMA=0：Pl/3- VB l=0，VB =P/3，
VA =2P/3
② Aから囲んだ部分
SXx=0：N=0
SYx=0： 2P/3-Q=0，Q=2P/3
SMx=0： (2P/3)x-M=0，M=(2P/3)x
P
①
A
C
l/3
2l/3
VA
VB
M
②
A
x
N
Q
2P/3
③ Bから囲んだ部分
SXx=0：N=0
SYx=0： P/3+Q=0，Q=-P/3
SMx=0： (P/3)x-M=0，M=(P/3)x
B
x
M
③
N
Q
B
x
x
P/3
単純梁型
• 応力図は右図のように
なる．
N図
A
B
C
Q図
(-)
A
B
(+)
C
変形図
P
M図
A
A
C
B
B
C
変形の概略図の注意点
①支点の変形に注意する
a)固定端では，その点は動かず，かつ材長方向の回転角は0
であること
b)ピン支点では，その点は動かないが，回転はできること
c)ローラー支点では，ローラーに垂直方向には動かず，水へ
右方向および回転はできること
②材が連続する剛節点では，変形後も角度変化がないこと
③モーメント図との関係では，モーメント図は引張側に書かれて
おり，変形図における曲がり方が分かる
モーメントが大きい点は，大きく曲がり，モーメントが0の部分
は直線．モーメントが一定の部分は円弧
ご清聴ありがとうございました．
アンケートの協力，よろしくお願いします．

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