Plasma概論

2005.05.17
Plasma概論
1. The equation of state of plasma
incl. shielded interaction
between plasma particles
2.gas-plasma transition as a function of T
１．プラズマの状態方程式
先週のおさらい
F
P
V
• 自由エネルギーを分布関数で表現し、体積
微分を行う。
F  T ln  e
n
 En T
§２ Eq3
e
 ( p , q ) / T
  NT ln  e
dpdq
N
§２ Eq6
2
Fideal
2
p
,
理想気体ではエネルギーはpの２次形式  ( p, q ) 
2m
e
 T
1
dp  dq  V
e
3 
( 2 )
3
3
 p 2 mT
 mT 
4p dp  V 
2 
 2 
2
 eV  mT 
Fid   NT ln


 N  2 

32




3
32
相互作用のある系での方法
（分布関数への相互作用の組み込み）
e xp( ( p, q) / T )
 e xp( K i ( p) / T ) * e xp(U (q ) / T )
i
理想気体では０である相互作用U(空間座標）を
組み込み、自由エネルギーＦを表現する。
1   i K i / T 3  U ( q1 ,q2 ....,q N ) / T 3
F  T ln   e
dp   e
dq
N! 

F  Fid  Finteraction (U )
4
相互作用の積分
• 仮定１：相互作用は２体相互作用のみ
• 表式１：相互作用は２体間相対距離のみで記述可
能
• 仮定２：３体以降も２体衝突の重ね合わせで記述
可能
• 表式２：相互作用は運動エネルギーに比べて微少
 dq e
3 U ( q ) T
1  N ( N  1) N  2

U ( r ) T

V
(e
 1)dV1dV2   1


2

VN 
2
N
U ( r ) / T

V
(
e
 1)dV
2

2V
5
1   i K i / T 3  U ( q1 ,q2 ....,q N ) / T 3
F  T ln   e
dp   e
dq
N! 

F  Fid  Finteraction (U )
に、先ほどの相互作用の積分を適用し、さらに
N
x
2V
2
 (e
U ( r ) / T
 1)dV
とおき、次の近似を行うと
ln(1  x ) ~ x ,
e( U / T )  1 ~ U / T
6
相互作用に基づく自由エネルギー
のー般表式
2
N T U
2
Finteraction  
4

r
dr

2V T
この方法はＵのｒに対するべき形式を適用して相互作用エネルギー
を計算可能である。しかし、ｒのべき数が３以下では即ち、Ｕ～ｒ－３
までは積分は発散し計算できない。
プラズマの相互作用potentialはすでに求めたように
Ｕ＝ＵＣｏｕｌoｍｂ＋shield=q0/r*exp(-r/L)
即ち、直接このpotentialを代入しては求めることができない。
7
湯川型相互作用で支配される
プラズマの取り扱い
• 仮定１：プラズマは全体としては中性である。
• 仮定２：プラズマは理想気体からわずかにしかずれ
ていない（U<<T)
• 仮定３：プラズマ粒子は存在している空間に一様に
しかも互いに独立に分布している。
• 仮定４：相互作用は２体間のみとする
Coulomb energy=<0>+interaction＝Uself+Uint
<Uself>=0
8
• 荷電粒子系の静電エネルギー
1 
単位長さあたりの電気力線
U    E   DdV
2 
のエネルギー＊電束密度
1
     DdV
2
1
1
   (D )dV    (  D )dV
2
2
1
1
   D  dS   dV
2
2
 0   i qi ni
9
i番目の電荷の位置に作られる
i
電気ポテンシャルの総和
U  U self  U int
qb 1
qb
1
 qa   qa 
2 a b rab 2 a b rab
Uself=ある電荷qaが自分自身で作る場の静電エネルギー
Uint=ある電荷qaにそれ以外のすべての電荷が作る場の
静電エネルギー
Debyeによると、
b 
qb
40 r
e
 r  Debye

qb
40 r

qb
40 Debye
10
熱力学的自由エネルギーと
全エネルギー
F
2  F 
E  F  TS  F  T
 T
 
T
T  T 
これを利用して空間積分の発散を回避しながら、自由エネルギー
Fを計算し、その空間微分から状態方程式を導出する
エネルギーの温度積分の境界条件：
温度を無限大にしたとき相互作用エネルギーが０（仮定２）
Finteraction
U int
   dT 2
T
（§３－３ P6～７参照）
11
The equation of state of a plasma
F  Fideal  Finteraction

2 1
1
2 2
 Fideal 
Ne Z
32
3 80
VT

32
これをVで微分して

NT 1 1
1
2 2
P

Ne Z
32
32
V
3 80 V
T

32
１．理想気体に比べて圧力は低くなる => ?
２．温度があがると理想気体にちかづく => ?
12
従って核融合プラズマでも理想気体の状態方程式が使える
２．Gas からPlasmaへ
１．中性ガス＋プラズマの混合状態を考える。
n0,nion,ne これらがある統計的平衡状態にある状況を
仮定する => 熱プラズマ
２．これらの気体は理想気体の条件を満たし、
あるエネルギー状態Eをしめる密度はBoltzmann分布に従う。
n=g exp(-E/T) T：気体温度 g:統計重率
３．中性気体（エネルギー順位E0)、一価イオン（エネルギー順位
Ei=E0+Eionization ,電子（運動エネルギー：Pe2/2me）
４．中性気体の状態数、プラズマの状態数（＝イオン＊電子）の比
は
nionne gion ge

e xp(
n0
g0
Eionization
T
2
Pe

)
2mT
13
Sahaの熱平衡式
• 電離過程は
電子と中性ガスの衝突現象
が支配的なので電子についてはすべての
運動量に関して積分を実行する。
nion ne gion ge

e xp(
n0
g0
E ionization
T

3
2
d pe
Pe
)  3 e xp(
)
h
2mT

E ionization 2meT 3 2
gion ge

e xp(
)(
)
2
g0
T
h
14
Ge=2S+1=2, gion=(2L+1)(2S+1), g0=(2L’+1)(2S’+1)
電離度（degree of ionization)
０:gas
1:plasma
電離度を導入し、温度に対して電離度が０から１にどう変化するか
を調べる
nion
nion n0


n0  nion 1  nion n0
気体の全圧力が一定の条件下で温度に対する電離度の変化を
調べる。
Ptotal  P0  Pion  Pe  T (n0  nion  ne )
 T (n0  2nion )  Tn0 (1  nion n0 )  const.
15
• Saha Eq
nion
2 gi  2meT   Eionization


 e
2
n0
g0  h 
32
2
T
2
• 圧力の式
 ni 
    n0
 n0 
 ni 
P  n0T (1  2 )
 n0 
16
2

 ne ni n0   ni n0  n0 


 P   1  2 ni n0 n0T 
2

1   /(1   ) 
 
T  1  2 (1   ) 
2

1  

 
T  1   2 
こうして、電離度として、圧力一定の条件でTの関数として
 1
を得る。
P  g0
1  
T  2 gi
32
 h  Eion T

 e
 2mT 
2
17
水素ガスの電離 Eionization=13.6eVに対する電離度の温度依存
degree of ionization(P=1E-1Pa)
degee of ionization(P=1E2Pa)
P_const_E-1_data
ionization
degree(H,P=100kPa)
degree of ionization (H)
1
0.8
0.6
0.4
Vi=13.6eV
0.2
0
0
4
4
4
5000 1 10 1.5 10 2 10 2.5 10
temperature(K)
4
18

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