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バーチの法則と状態方程式
バーチの法則
Vp= a(M) + br
Vp(km/sec) = -1.87+3.05 r (g/cm3)
状態方程式：バーチ・マーナハン(Birch-Murnaghan)の状態方程式、
ビネー(Vinet)の状態方程式
Subducted slabs are
stagnant in the mantle
transition zone, and then
collapsed into the lower
mantle (from Fukao et al.
1992; 2001)
核マントル境界に超低速度層の存在 部分溶
融の可能性：重いマグマが安定に存在するので
はないか？
青色：速い地震波速度
（低温）
赤色：遅い地震波速度
（高温）
Cor
e
Slow Vp
High Vp
Core
4. Birch’s Law
Francis Birch (geophysicist) (1903–1992),
• Birch’s Law
– Birch (1961a)によって報告された
空隙がなくなる圧力条件では，VPが密度と平均原子量の関数になってい
る
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
平均原子量（M ）とは・・・
Mg2SiO4の場合
Mg  24.3050(6)
Si  28.0855(3)
O  15.9994(3)
M Mg 2 SiO4 
VPと密度の間に一次関数関
係
24.31 2  28.09  16.00 4

7
 21.10
1 GPaまでのVPと密度の関係．珪酸塩や酸化物の結
果．
V [km/s] 1.87  3.05r[g/cm3 ]
20  M  22
P
音速の測定
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
– Birch (1961b)
VPと密度の関係式
VP  aM   br
“As a provisional hypothesis,
it will be postulated that the
velocity-density relations, as
expressed above, hold for all
changes of density in the
Earth’s mantle, however
produced. ”
圧縮による密度変化や化学組成が変わる（ただし平均原子量は不変）こと
による密度変化は弾性波速度へ同じ変化をもたらす
平均原子量が同じ異なる物質のBirchの関係式の傾き
最密構造（例：Corundum, rock salt, perovskite）では3以下
それ以外（例：Olivine, quartz）では傾き4以上
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
内核
外核
VΦと密度の関係．衝撃実験結果と地球マントルや核との比
較．
4. Birch’s Law
• Birch’s Law
VP 
4
K 
3
r

VS 
r
V 
K
4 2
 VP  VS
r
3
2
K:体積弾性率，μ:剛性率，VΦ:バルク音速
Birch’s lawに対する温度の効果はあるのか
密度
：温度上昇に伴い減少  VP増加
体積弾性率：温度上昇に伴い減少  VP減少
剛性率
：温度上昇に伴い減少  VP減少
現実はそれぞれの効果を合わせたもの
The outer core density: lower by 7 - 10 % than
that of pure iron (Anderson and Issak, 2002; Shanker
et al., 2004).
High solubility of O and Si in molten iron may explain the
density deficit of the core.
8
After Fiquet et al. (2004)
Fe
Theory (Steinle-Neumann
Et al. (2001)
NRIXS
(Mao et al. (2001)
at 300K
IXS Fiquet et
al. (2001) at
300 K
PREM
inner
Shock
core
Brown and McQween
(1986) at 3000-6000 K
Discrepancy:
IXS and Shock vs NRIXS ?
Temperature effect on Birch law ?
40
4. Birch’s Law
• 核物質のVP
40.0
42.0
核物質のVPはBirch’s lawに
従う
44.9
VP  a  r  b
rcore  xrFe  1  xrFeX
Vcore
55.8
35.9
VFe VFeX

1  x VFe  xVFeX
Badro et al. (2007)
x:鉄の核中での体積比率
49.9
44.0
BL35XU Optics: Baron et al. (2000)
Si (9, 9, 9) and Si(11,11,11)
Instrument configuration
X-ray beam size 70x70 μm2
41
キンバライトマグマ中に見られるカンラン岩（Garnet Peridotite
Xenolith from the Bulfontein Floors, Kimberley, South
Africa）
カンラン石：暗緑色
（ペリドート）
斜方輝石：薄い緑色
ザクロ石：赤い鉱物
（ガーネット）
単斜輝石：鮮やかな
緑色
ダイヤモンド、、、、
Photo courtesy of F. R. (Joe) Boyd
and Steve Richardson
670km
Bulk sound velocity
Vf (km/sec)
400km
670km
Mg3Al2Si3O12
220km
spinel
P
Mg2SiO4
garnet
Fe3Al2Si3O12
T
olivine
Fe2SiO4
Density g/cm3
温度、圧力、組成、相転移依存性」
復習
670km
Bulk sound velocity
Vf (km/sec)
400km
670km
Mg3Al2Si3O12
220km
spinel
P
Mg2SiO4
garnet
Fe3Al2Si3O12
T
olivine
Fe2SiO4
Density g/cm3
温度、圧力、組成、相転移依存性」
復習
Bulk sound velocity Vbと密度の関係
１．温度変化：
温度が変化したときのVbとrの変化
lnVb = (d -1)/2 = constant = 1.5~2.5, where d ~4-6
c
c
lnr p
２．圧力変化：
圧力が変化した場合のVbとrの変化（等温）
lnVb
lnr
~ (Ks’-1)/2 = 1.5~2.5, where Ks’~4-6
T
３．組成変化: 鉄の効果は明瞭
４．相転移の影響
lnVb
= (dc-1)/2 = constant = 1.5~2.5, where dc~4
lnr P
の証明
ln Vb=(lnKs-lnr)/2
ゆえに
lnKs
-1
lnr
lnVb =
lnr P
=
(dc-1)
ここで
dc：Anderson-Gruneisen Constant 温度によらず一定
dc=
lnKs
lnr
=P
lnKs =
lnV P
a
lnKs
T
= constant
P
圧力が変化する場合のVbとrの変化（等温）
lnVb
~
lnr T
(Ks’-1) ~ 1.5~2.5
lnVb
lnr
=
T
=
lnr
{
ln Ks-ln r
T
lnKs
-1}
lnr Ｔ
lnKs
= Ks’ KT/Ks
lnr Ｔ
=Ks’ =4~6
地球内部物質の状態方程式
Equation of State
通常の固体の状態方程式
Birch-Murnaghanの状態方程式
(Birch-Murnaghan equation of State
やわらかい物質に対する状態方程式
Vinetの状態方程式
(Vinet Equation of State)
Mie’s potentialからBirch-Murnaghanの状態方程式を導くこと。
熱力学的関係式
等温体積弾性率と断熱
体積弾性率
= agTKT

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